y∈[-RR],过(0,y,0)且与y轴重直的平面与圆柱被截部分的截面是一个矩形, 它的底为2√R2-y2,高为(y+R)nO。因此 A(y)=2√R2-y2(y+Rt 所求体积为 =2anyR2-y2d+R」 括号中第一项是一个奇函数在对称区间上的积分,其值为0:第二项的积分 恰为半径为R的上半个圆的面积,因此 I=R3tanO。 读者不难发现,如用与x轴垂直的平面与之相截,截面是直角梯形,用与z轴 垂直的平面与之相截,截面则是弓形,处理都会繁复一些。因而应对不同问题作 具体分析,寻求事半功倍的最佳方案。 五.旋转体的体积 由已知平行截面面积计算体积的公式有一个直接的推论,这就是求旋转体体 积的公式。 设空间立体Ω为由平面图形 {(x,y)0≤y≤f(x),a≤x≤b} 绕x轴旋转一周而成的旋转体(图347)。如用在点(x,0)处与x轴垂直的平面截 此立体,所得截面显然是一个半径为f(x)的圆,即截面积为 A(x)=[f(x)] 因此 丁(x)a y=f(r) 图34.7 例3.44求椭圆x+y=1所围图形绕x轴旋转一周所得椭球的体积 解由于y 利用对称性可得y [R,R] ，过 (0, y, 0) 且与 y 轴重直的平面与圆柱被截部分的截面是一个矩形， 它的底为 2 2 2 R  y ，高为 (y  R)tan 。因此 ( ) 2 ( )tan 2 2 A y  R  y y  R 所求体积为             R R R R V y R y dy R R y dy 2 2 2 2 2 tan 。 括号中第一项是一个奇函数在对称区间上的积分，其值为 0；第二项的积分 恰为半径为 R 的上半个圆的面积，因此  tan 3 V  R 。 读者不难发现，如用与 x 轴垂直的平面与之相截,截面是直角梯形，用与 z 轴 垂直的平面与之相截，截面则是弓形，处理都会繁复一些。因而应对不同问题作 具体分析，寻求事半功倍的最佳方案。 五．旋转体的体积 由已知平行截面面积计算体积的公式有一个直接的推论，这就是求旋转体体 积的公式。 设空间立体  为由平面图形 {(x, y)| 0  y  f (x), a  x  b} 绕 x 轴旋转一周而成的旋转体（图 3.4.7）。如用在点 (x, 0) 处与 x 轴垂直的平面截 此立体，所得截面显然是一个半径为 f (x) 的圆，即截面积为 2 A(x)  [ f (x)] 。 因此   b a V f x dx 2  [ ( )] 。 例 3.4.4 求椭圆 1 2 2 2 2   b y a x 所围图形绕 x 轴旋转一周所得椭球的体积。 解 由于 2 2 a x a b y   ，利用对称性可得