复旦大学：《高等数学》课程精选教案_定积分的几何应用

教案 定积分的几何应用 教学内容 与曲边形的面积、变速直线运动的路程一样,自然科学、社会科学和生产实 践中出的一大类量都是累积效应的结果,它们可以用 Riemann和式的极限来刻 画,即用定积分来度量。本节讲解定积分的几何应用,主要是以下几方面的内容: (1)微元法; (2)平面图形的面积 (3)已知平行截面面积的立体体积和旋转体的体积 (4)曲线的弧长及其曲率 (5)旋转曲面的面积。 教学思路和要求 微元法是由局部性态的讨论最后合成整体的累积效应、即定积分的方法, 要详细讲透其思想,使学生在今后能够举一反三地使用 (2)在用推导公式时,注意说明选取微元的着眼点与理由,并注意说明整体 微元如何导出,使学生学会灵活运用微元法; (3)注意几何背景的说明,并结合实际例子说明一些图形的特点与画法,以 及积分区间的选取 (4)注意指出对于复杂的几何图形,在计算时要具体问题具体分析,可能要 分几部分来讨论,不能直接套用公式。最好举例说明处理方法。 教学安排 .微元法 为说明具有哪些特征的量有望用定积分刻画我们再度分析一下=C( 的概念。 首先,对固定的函数f,/取决于积分区间。定积分具有一个十分重要的性 质:可加性,即[a,b]被分为许多部分小区间,则I被相应地分成许多部分量Ml, 总量Ⅰ等于诸部分量之和,即I=>M,。凡能用定积分描述的量都应具有这种 可加性的特征。 其次,由于可加性,问题便化为部分量M的计算。对连续函数∫,记 (x)=J(h,则有r(x)=f(x),所以 △=I(x+△x)-1(x)=f(x)dx+o(dx)。 由此可见,对于能用定积分刻画的量,其在区间微元[x,x+ax]上的部分量应能 近似地表现为dx的线性函数,即M≈f(x)kx,而且其误差应是比dx高阶的无穷 小 上面的dx是自变量的微分,在应用中常被称作x的微元。它是一个变量

教 案 定积分的几何应用 教学内容 与曲边形的面积、变速直线运动的路程一样，自然科学、社会科学和生产实 践中出的一大类量都是累积效应的结果，它们可以用 Riemann 和式的极限来刻 画，即用定积分来度量。本节讲解定积分的几何应用，主要是以下几方面的内容： （1） 微元法； （2） 平面图形的面积； （3） 已知平行截面面积的立体体积和旋转体的体积； （4） 曲线的弧长及其曲率； （5） 旋转曲面的面积。 教学思路和要求 （1）微元法是由局部性态的讨论最后合成整体的累积效应、即定积分的方法， 要详细讲透其思想，使学生在今后能够举一反三地使用； （2）在用推导公式时，注意说明选取微元的着眼点与理由，并注意说明整体 微元如何导出，使学生学会灵活运用微元法； （3）注意几何背景的说明，并结合实际例子说明一些图形的特点与画法，以 及积分区间的选取； （4）注意指出对于复杂的几何图形，在计算时要具体问题具体分析，可能要 分几部分来讨论，不能直接套用公式。最好举例说明处理方法。 教学安排 一．微元法 为说明具有哪些特征的量有望用定积分刻画，我们再度分析一下   b a I f (t)dt 的概念。 首先，对固定的函数 f ， I 取决于积分区间。定积分具有一个十分重要的性 质：可加性，即 [a,b] 被分为许多部分小区间，则 I 被相应地分成许多部分量 i I ， 总量 I 等于诸部分量之和，即   i I I 。凡能用定积分描述的量都应具有这种 可加性的特征。 其次，由于可加性，问题便化为部分量 I 的计算。对连续函数 f ，记   x a I(x) f (t)dt ，则有 I(x)  f (x) ，所以 I  I(x  x)  I(x)  f (x)dx  o(dx)。 由此可见，对于能用定积分刻画的量，其在区间微元 [x, x  dx] 上的部分量应能 近似地表现为 dx 的线性函数，即 I  f (x)dx ，而且其误差应是比 dx 高阶的无穷 小。 上面的 dx 是自变量的微分，在应用中常被称作 x 的微元。它是一个变量。一

方面,在变化过程的每一时刻,即相对静止时,它是一个有限量:另一方面,其 变化趋势则以0为极限,即是一个无穷小量。记微分形式f(x)dx为d,在应用 中常被称作量I(x)的微元。总量/即是微元d=f(x)dx的积分。 我们宁愿把f(x)dx称作微元,而不直接称为的微分,原因在于实际应用时, 往往和上述由积分导出微元d的过程相反,微元法是由微元f(x)dx出发导出 积分,即由局部性态的讨论最后合成整体的累积效应。 如果我们要处理某个量,它与变量x的变化区间[a,b有关,而且 (1)满足关于区间的可加性,即整体等于局部之和 (2)它在[x,x+x]上的部分量M近似于dx的一个线性函数,即 M-dI=o(dx),其中d=f(x)dkx称之为量的微元 那么,以微元d=f(x)dkx为被积表达式,作积分即得 I=」f(x)dr。 诸如弧长、面积、体积、引力、压力、功等几何量和物理量都具有某种可加 性,且其小增量均可用微元近似表示,从而它们都可用定积分计算。 在应用问题中往往略去关于M-d=o(dx)的验证 二.面积问题(直角坐标下的区域) 考察由曲线y=f(x),y=g(x)和直线x=a,x=b(a<b)所围平面图形 的面积。 先设f≥g,变量x的变化区间为[a,b]。显然,面积具有关于区间的可加性。 在区间微元[x,x+a]上,相应的小曲边形(图3.4.1中阴影部分)面积△A近似 等于高为f(x)-g(x),宽为dx的矩形面积,即 △4≈[f(x)-g(x)dx, 所以,面积微元为 dA=f(x)-g(x)ldx 于是,所求的面积 A= [(x)-g(x)]dx 如果删去条件∫≥g,同样可得 xx+dx b da=f(x)-g(x) dx 图 3.4.1 从而 A=[1/(x)-g(x)ldx 例34.1求由抛物线y=x2及直线y=3x所围图形的面积(图342)。 解先求出两曲线交点为(0,0)和(3,9)。如果以x为积分变量,取积分区间 为[0,3],有 A=(3 如果以y为积分变量,则应取积分区间为[0,9],此时 y 图342

方面，在变化过程的每一时刻，即相对静止时，它是一个有限量；另一方面，其 变化趋势则以 0 为极限，即是一个无穷小量。记微分形式 f (x)dx 为 dI ，在应用 中常被称作量 I(x) 的微元。总量 I 即是微元 dI  f (x)dx 的积分。 我们宁愿把 f (x)dx 称作微元，而不直接称为 I 的微分，原因在于实际应用时， 往往和上述由积分 I 导出微元 dI 的过程相反，微元法是由微元 f (x)dx 出发导出 积分，即由局部性态的讨论最后合成整体的累积效应。 如果我们要处理某个量 I ，它与变量 x 的变化区间 [a, b] 有关，而且 （1） 满足关于区间的可加性，即整体等于局部之和； （ 2 ） 它 在 [x, x  dx] 上 的 部 分 量 I 近 似 于 dx 的 一 个 线 性 函 数 ， 即 I  dI  o(dx) ，其中 dI  f (x)dx 称之为量 I 的微元。 那么，以微元 dI  f (x)dx 为被积表达式，作积分即得   b a I f (x)dx 。 诸如弧长、面积、体积、引力、压力、功等几何量和物理量都具有某种可加 性，且其小增量均可用微元近似表示，从而它们都可用定积分计算。 在应用问题中往往略去关于 I  dI  o(dx) 的验证。 二．面积问题（直角坐标下的区域） 考察由曲线 y  f (x)， y  g(x) 和直线 x  a， x  b （ a  b ）所围平面图形 的面积。 先设 f  g ，变量 x 的变化区间为 [a, b] 。显然，面积具有关于区间的可加性。 在区间微元 [x, x  dx] 上，相应的小曲边形（图 3.4.1 中阴影部分）面积 A 近似 等于高为 f (x)  g(x) ，宽为 dx 的矩形面积，即 A  [ f (x)  g(x)]dx， 所以，面积微元为 dA [ f (x)  g(x)]dx。 于是，所求的面积    b a A [ f (x) g(x)]dx。 如果删去条件 f  g ，同样可得 dA| f (x)  g(x)| dx， 从而    b a A | f (x) g(x) | dx。 例 3.4.1 求由抛物线 2 y  x 及直线 y  3x 所围图形的面积（图 3.4.2）。 解 先求出两曲线交点为 (0, 0) 和 (3, 9) 。如果以 x 为积分变量，取积分区间 为 [0, 3] ，有     3 0 2 A (3x x )dx 2 9 3 1 2 3 3 0 2 3        x  x 。 如果以 y 为积分变量，则应取积分区间为 [0, 9] ，此时          9 0 3 dy y A y x y O (3, 9) 图 3.4.2 2 y  x y  3x

9 3 三.面积问题(极坐标下的区域) 考察介于曲线r=r(0)与射线O=a和θ=B(0≤a<B≤2z)间的曲边扇 形的面积,其中r()是连续函数(图343)。 r= r(8 以O为积分变量,在区间微元[,+d0上 对应的小曲边扇形的面积近似于圆扇形的面积, 即△4≈[r(0)d0,所以面积微元 dA=-[r(O)2d0, 于是 图3 A=fIr(e)de 例3.4.2计算心脏线r=a(+cos)(-x≤b≤x)所围区域的面积(图 3.4.4)。 解由图形的对称性,只要计算该图形的上半部分的面积,其两倍便是所求 图形的面积。由面积计算公式得 A=2·a2(1+cos)d cos 3·1丌 图344 四.已知平行截面面积求体积 设空间立体9介于过x=a和x=b点且垂直于x 面积A(x) 轴的两平面之间,已知它被过x点且垂直于x轴的平 面所截出的图形的面积为A(x)(图345)。显然,在 区间微元[x,x+dx]上,Ω的体积微元为一母线与x 轴平行、高为dx,底面积为A(x)的柱体体积,即 a x xtdx b dv A(x)dx, 所以 图34.5 ∫ 例3.4.3已知一直圆柱体的底面半径为R 斜面丌1过其底面圆周上一点,且与底面r2成夹角O, 求圆柱被兀1,x2所截得部分的体积。 解取圆柱底面圆周中心为原点,底面z2为xy 平面,z1与圆周交点在y轴上(图346)。这样,对一 图346

2 9 3 3 2 2 9 0 2 2 3             y y 。 三．面积问题（极坐标下的区域） 考察介于曲线 r  r() 与射线    和    （ 0     2 ）间的曲边扇 形的面积，其中 r( ) 是连续函数（图 3.4.3）。 以  为积分变量，在区间微元 [,  d] 上 对应的小曲边扇形的面积近似于圆扇形的面积， 即 A r  d 2 [ ( )] 2 1   ，所以面积微元 dA r  d 2 [ ( )] 2 1  ， 于是     A r  d 2 [ ( )] 2 1 。 例 3.4.2 计算心脏线 r  a(1 cos) （      ）所围区域的面积（图 3.4.4）。 解 由图形的对称性，只要计算该图形的上半部分的面积，其两倍便是所求 图形的面积。由面积计算公式得        0 2 2 (1 cos ) 2 1 A 2 a d      0 2 4 2 4a cos d   2 0 2 4 8 cos  a d 2 2 2 3 4 2 2 3 1 8a a        。 四．已知平行截面面积求体积 设空间立体  介于过 x  a 和 x  b 点且垂直于 x 轴的两平面之间，已知它被过 x 点且垂直于 x 轴的平 面所截出的图形的面积为 A(x) （图 3.4.5）。显然，在 区间微元 [x, x  dx] 上，  的体积微元为一母线与 x 轴平行、高为 dx ，底面积为 A(x) 的柱体体积，即 dV  A(x)dx， 所以   b a V A(x)dx。 例 3.4.3 已知一直圆柱体的底面半径为 R，一 斜面  1 过其底面圆周上一点，且与底面  2 成夹角  ， 求圆柱被  1， 2 所截得部分的体积。 解 取圆柱底面圆周中心为原点，底面  2 为 xy 平面，  1 与圆周交点在 y 轴上（图 3.4.6）。这样，对 x b x a x+dx 图 3.4.5 面积 A(x)

y∈[-RR],过(0,y,0)且与y轴重直的平面与圆柱被截部分的截面是一个矩形, 它的底为2√R2-y2,高为(y+R)nO。因此 A(y)=2√R2-y2(y+Rt 所求体积为 =2anyR2-y2d+R」 括号中第一项是一个奇函数在对称区间上的积分,其值为0:第二项的积分 恰为半径为R的上半个圆的面积,因此 I=R3tanO。 读者不难发现,如用与x轴垂直的平面与之相截,截面是直角梯形,用与z轴 垂直的平面与之相截,截面则是弓形,处理都会繁复一些。因而应对不同问题作 具体分析,寻求事半功倍的最佳方案。 五.旋转体的体积 由已知平行截面面积计算体积的公式有一个直接的推论,这就是求旋转体体 积的公式。 设空间立体Ω为由平面图形 {(x,y)0≤y≤f(x),a≤x≤b} 绕x轴旋转一周而成的旋转体(图347)。如用在点(x,0)处与x轴垂直的平面截 此立体,所得截面显然是一个半径为f(x)的圆,即截面积为 A(x)=[f(x)] 因此 丁(x)a y=f(r) 图34.7 例3.44求椭圆x+y=1所围图形绕x轴旋转一周所得椭球的体积 解由于y 利用对称性可得

y [R,R] ，过 (0, y, 0) 且与 y 轴重直的平面与圆柱被截部分的截面是一个矩形， 它的底为 2 2 2 R  y ，高为 (y  R)tan 。因此 ( ) 2 ( )tan 2 2 A y  R  y y  R 所求体积为             R R R R V y R y dy R R y dy 2 2 2 2 2 tan 。 括号中第一项是一个奇函数在对称区间上的积分，其值为 0；第二项的积分 恰为半径为 R 的上半个圆的面积，因此  tan 3 V  R 。 读者不难发现，如用与 x 轴垂直的平面与之相截,截面是直角梯形，用与 z 轴 垂直的平面与之相截，截面则是弓形，处理都会繁复一些。因而应对不同问题作 具体分析，寻求事半功倍的最佳方案。 五．旋转体的体积 由已知平行截面面积计算体积的公式有一个直接的推论，这就是求旋转体体 积的公式。 设空间立体  为由平面图形 {(x, y)| 0  y  f (x), a  x  b} 绕 x 轴旋转一周而成的旋转体（图 3.4.7）。如用在点 (x, 0) 处与 x 轴垂直的平面截 此立体，所得截面显然是一个半径为 f (x) 的圆，即截面积为 2 A(x)  [ f (x)] 。 因此   b a V f x dx 2  [ ( )] 。 例 3.4.4 求椭圆 1 2 2 2 2   b y a x 所围图形绕 x 轴旋转一周所得椭球的体积。 解 由于 2 2 a x a b y   ，利用对称性可得

x Tab 当a=b时,就得到以a为半径的球体积为-mn3。 曲线的弧长 设有曲线L的方程为y=f(x)(a≤x≤b),其中∫具有连续导数。今欲求其 弧长s(图3.4.8) 用微元法。设区间微元[x,x+x]对应于小y 弧段PO,该弧段之长△s可用它在P处切线段 PT的长度来近似,即 △s≈ds=y(dx)2+(dy) 1+f(x)2d 于是曲线L的弧长为 s=√1+[f(x)dx 图3.4.8 当弧L用参数方程 X=x t≤B y(1) 表示时,dx=x'(t)dt,dy=y()dt。从而 (d x)+(dy)=Ir(oP+[y(oP dr 进而 s=」xo+Do)h。 当曲线L用极坐标方程 r=r(),a≤6≤B 表示时,由于 r(e)cos 8 In 便得ax=(r'cos-rsnO)d0,dy=(r'sinO+ rose)d0,从而 0)2+(d)2=√2 进而 例3.4.5求曲线段y (1≤x≤3)的弧长 解由ds (y)2dx=√1+xdx得

     a a a x dx a b V y dx 0 2 2 2 2 0 2 2 2 ( ) 2 0 3 2 2 2 3 4 3 2 ab x a x a b a              。 当 a  b 时，就得到以 a 为半径的球体积为 3 3 4 a 。 六．曲线的弧长 设有曲线 L 的方程为 y  f (x) （ a  x  b ），其中 f 具有连续导数。今欲求其 弧长 s （图 3.4.8）。 用微元法。设区间微元 [x, x  dx] 对应于小 弧段 PQ ，该弧段之长 s 可用它在 P 处切线段 PT 的长度来近似，即 2 2 s  ds  (dx)  (dy) f x dx 2  1[ ( )] 。 于是曲线 L 的弧长为 s f x dx b a    2 1 [ ( )] 。 当弧 L 用参数方程      ( ), ( ), y y t x x t   t   表示时， dx  x (t)dt ，dy  y (t)dt 。从而 ds dx dy x t y t dt 2 2 2 2  ( )   [ ( )] [ ( )] ， 进而 s x t y t dt a      2 2 [ ( )] [ ( )] 。 当曲线 L 用极坐标方程 r  r() ，     表示时，由于      ( )sin , ( ) cos ,     y r x r 便得 dx  (r cos  rsin)d ，dy  (r sin  r cos)d ，从而 ds dx dy r r d 2 2 2 2  ( )  ( )    ， 进而       s r r d 2 2 。 例 3.4.5 求曲线段 2 3 3 2 y  x （ 1  x  3 ）的弧长。 解 由 ds  1 ( y ) dx  1 xdx 2 得 图 3.4.8

s=,√l+xdx=5(1+x)2 (8-2 例34.6求心脏线r=a(1+cos)的周长,其中a>0。 解由对称性 s=-2fV=2+()d0=2∫na2+20s0 4 a cos=d6=8asin=8a。 例3.4.7求椭圆x+y=1(a>b>0)的周长 解椭圆的参数方程为 0≤6≤2丌。 y= bsin 8 由对称性,其周长等于它落在第一象限部分的4倍,故 s=4jiva2sin20+b2 cos20de=4aJ2V1-E2cos0de 其中E= 为椭圆的离心率 椭圆周长表达式中出现的积分[√1-2cs3d0(0<E<1)称为第二类椭 圆积分。由于被积函数1-2cos2O的原函数不能用初等函数来表示,因而椭圆 周长必须用数值积分的方法计算 七.旋转曲面的面积 设曲线L的方程为 y=f(x) ≤x<b L绕x轴旋转一周得一旋转曲面。下面来导出计算该旋转曲面面积A的公式。设 ∫具有连续导数,且为叙述方便,设∫为非负函数 在[a,b]中考察区间微元[x,x+dx]。在该区间微元上用切线段PT代替原来的 弧段PO(图3.4.9)用PT绕x轴旋转一周所得的圆台侧面积近似替代弧PO旋 转而得的曲面面积,此圆台的上、下底半径分别为f(x),f(x)+f(x)x,侧棱 长为ds=√l+f(x)ax。略去高阶无穷小,即有 △4≈{(x)+[(x)+f(xd]ds2zf(x)h+[(x)2h 即dA=2f(x)√l+f(x)2ax。因此, A=27∫(x)+(

3 1 2 3 3 1 (1 ) 3 2 s  1 xdx   x  (8 2 2) 3 2   。 例 3.4.6 求心脏线 r  a(1 cos) 的周长，其中 a  0 。 解 由对称性        0 2 2 s 2 r (r ) d      0 2 a 2 2cos d       0 2 4a cos d a 8a 2 8 sin 0    。 例 3.4.7 求椭圆 1 2 2 2 2   b y a x （ a  b  0 ）的周长。 解 椭圆的参数方程为      sin , cos ,   y b x a 0    2 。 由对称性，其周长等于它落在第一象限部分的 4 倍，故    2 0 2 2 2 2 4 sin cos  s a  b  d    2 0 2 2 4 1 cos  a  d ， 其中 a a b 2 2    为椭圆的离心率。 椭圆周长表达式中出现的积分   2 0 2 2 1 cos    d （ 0    1 ）称为第二类椭 圆积分。由于被积函数   2 2 1 cos 的原函数不能用初等函数来表示，因而椭圆 周长必须用数值积分的方法计算。 七．旋转曲面的面积 设曲线 L 的方程为 y  f (x)， a  x  b。 L 绕 x 轴旋转一周得一旋转曲面。下面来导出计算该旋转曲面面积 A 的公式。设 f 具有连续导数，且为叙述方便，设 f 为非负函数。 在 [a, b] 中考察区间微元 [x, x  dx] 。在该区间微元上用切线段 PT 代替原来的 弧段 PQ （图 3.4.9）用 PT 绕 x 轴旋转一周所得的圆台侧面积近似替代弧 PQ 旋 转而得的曲面面积，此圆台的上、下底半径分别为 f (x) ， f (x)  f (x)dx，侧棱 长为 ds f x dx 2  1[ ( )] 。略去高阶无穷小，即有 A  { f (x) [ f (x)  f (x)dx]}ds f x f x dx 2  2 ( ) 1[ ( )] 。 即 dA f x f x dx 2  2 ( ) 1[ ( )] 。因此， A f x f x dx b a 2  2 ( ) 1[ ( )]  

图 当曲线L用参数方程 x(1) B y=y(1) 表示时,易知 A=2zy(Ex(P+[y(]dt 例3.4.8求半径为a的球面面积。 解球面可视为上半圆周y=√a2-x2(-a≤x≤a)绕x轴旋转一周所得的 旋转面。记f(x) x2,即有 A=∫”2(x)+(x)d 2T adx= 4T 例34.9求椭圆+ a2b=1(a>b>0)绕x轴旋转一周所得椭球面的面积 解利用椭圆的参数方程 0≤b≤2丌 即得 A=2r(bsin 0) /easin 0)2+(bcos 0)de 2mb[ sin 8v1-82 cos20de 2mb√1-g2t2dt=4mb 4ab.[av1-81+arcsin at] 2mb√1-2+ arcsin a E 其中。√a2-b2 。当b→a,即ε→0时,∫→4m2,便回到了上一个例子的 情况

当曲线 L 用参数方程      ( ), ( ), y y t x x t   t   表示时，易知        A  y t x t y t dt 2 2 2 ( ) [ ( )] [ ( )] 。 例 3.4.8 求半径为 a 的球面面积。 解 球面可视为上半圆周 2 2 y  a  x （ a  x  a ）绕 x 轴旋转一周所得的 旋转面。记 2 2 f (x)  a  x ，即有     a a A f x f x dx 2 2 ( ) 1 [ ( )]      a dx a x x a x 1 2 2 2 2 2 2 1 2 2 adx 4 a a a      。 例 3.4.9 求椭圆 1 2 2 2 2   b y a x （ a  b  0 ）绕 x 轴旋转一周所得椭球面的面积。 解 利用椭圆的参数方程      sin , cos ,   y b x a 0     即得           0 2 2 A 2 (bsin ) ( asin ) (bcos ) d          0 2 2 2 ab sin 1 cos d      1 1 2 2 2ab 1  t dt ab t dt    1 0 2 2 4 1  1 0 2 2 [ 1 arcsin ] 2 1 4 ab t  t t                    arcsin 2 1 2 ab ， 其中 a a b 2 2    。当 b  a ，即   0 时， 2 f  4a ，便回到了上一个例子的 情况

八.曲线的曲率 在几何学和许多实际问题中,常常需要考虑曲线的弯曲程度。例如在铁路设 计时,在拐弯处就不能让其弯曲程度太大,否则火车在行进时就会出现危险。现 将借助于前面对弧长及弧长微分的讨论,引入一个刻画曲线弯曲程度的量。 考察如图3.4.10所示的光滑曲线L上的曲线段AB,它的弧长记为△s。当 动点从A点沿曲线段AB运动到B点时,A点的切线r4也随着转动到B点的切线 rB,记这两条切线之间的夹角为△g(它等于rB和x轴的交角与rA和x轴的交角 之差)。显然,当弧的长度相同时,切线间的夹角愈大,曲线的弯曲程度就愈大; 而当切线间的夹角相同时,弧的长度愈小,曲线的弯曲程度就愈大。于是,我们 定义 为曲线段AB的平均曲率,它刻画了曲线段AB的平均弯曲程度。平均曲率只描 写了曲线L在这一段的“平均弯曲程度”。B越接近于A,即As越小,AB弧的 平均曲率就能越能精确刻画曲线L在A处的弯曲程度,因此定义 K=lli 为曲线L在A点的曲率(如果该式中的极限存在的话)。这里取绝对值是为了使 曲率不为负数 L △ +△ 图34.10 设曲线L在A点处的曲率K≠0,若过A点作一个半径为的圆,使它在A点 处与曲线L有相同的切线,并在A点附近与该曲线位于切线的同侧(图 3.4.11).我们把这个圆称为曲线L在A点处的曲率圆或密切圆。曲率圆的半径 R=k和圆心4分别称为曲线L在A点处的曲率半径和曲率中心。由曲率圆的 定义可以知道,曲线L在点A处与曲率圆既有相同的切线,又有相同的曲率和凸 性。因此在实际应用中,常用曲线在一点处的曲率圆上的小弧段来近似代替该点 附近的曲线段,以使问题简化

八．曲线的曲率 在几何学和许多实际问题中，常常需要考虑曲线的弯曲程度。例如在铁路设 计时，在拐弯处就不能让其弯曲程度太大，否则火车在行进时就会出现危险。现 将借助于前面对弧长及弧长微分的讨论，引入一个刻画曲线弯曲程度的量。 考察如图 3.4.10 所示的光滑曲线 L 上的曲线段  AB ，它的弧长记为 s 。当 动点从 A 点沿曲线段  AB 运动到 B 点时， A 点的切线 A  也随着转动到 B 点的切线 B  ，记这两条切线之间的夹角为  （它等于 B  和 x 轴的交角与 A  和 x 轴的交角 之差）。显然，当弧的长度相同时，切线间的夹角愈大，曲线的弯曲程度就愈大； 而当切线间的夹角相同时，弧的长度愈小，曲线的弯曲程度就愈大。于是，我们 定义 s K     为曲线段  AB 的平均曲率，它刻画了曲线段  AB 的平均弯曲程度。平均曲率只描 写了曲线 L 在这一段的“平均弯曲程度”。 B 越接近于 A ，即 s 越小，  AB 弧的 平均曲率就能越能精确刻画曲线 L 在 A 处的弯曲程度，因此定义 ds d s K s        0 lim 为曲线 L 在 A 点的曲率（如果该式中的极限存在的话）。这里取绝对值是为了使 曲率不为负数。 设曲线 L 在 A 点处的曲率 K  0 ，若过 A 点作一个半径为 K 1 的圆，使它在 A 点 处与曲线 L 有相同的切线，并在 A 点附近与该曲线位于切线的同侧(图 3.4.11)．我们把这个圆称为曲线 L 在 A 点处的曲率圆或密切圆。曲率圆的半径 K R 1  和圆心 A0 分别称为曲线 L 在 A 点处的曲率半径和曲率中心。由曲率圆的 定义可以知道，曲线 L 在点 A 处与曲率圆既有相同的切线，又有相同的曲率和凸 性。因此在实际应用中，常用曲线在一点处的曲率圆上的小弧段来近似代替该点 附近的曲线段，以使问题简化

下面来推导曲率的计算公式 设光滑曲线L由参数方程 a≤t≤B 确定,且x(1),y()有二阶导数。对 于每个t∈[a,,曲线在对应点的 图3411 切线斜率为 dy y(o) 其中q是该切线与x轴的夹角,由g= arctan J(t),即可得到 x() dqx'(1)y"(1)-x"(1)y() x"2()+y2(r) 另外,由弧长的微分公式知=x2()+y2(),于是 K=dgl=di_x'()y(-x(y(oN dt 这就是曲率的计算公式。 特别地,如果曲线L由y=y(x)表示,且y(x)有二阶导数,那么相应的计算 公式为 K (1 容易知道,直线上曲率处处为零 例3.4.10求悬链线 的曲率(a>0) 解易知 2(…2 由于y>0及 所以

下面来推导曲率的计算公式。 设光滑曲线 L 由参数方程          t y y t x x t ( ), ( ), 确定，且 x(t), y(t) 有二阶导数。对 于每个 t [,] ，曲线在对应点的 切线斜率为 tan ( ) ( )     x t y t dx dy ， 其中  是该切线与 x 轴的夹角，由 ( ) ( ) arctan x t y t     ，即可得到 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 x t y t x t y t x t y t dt d           。 另外，由弧长的微分公式知 ( ) ( ) 2 2 x t y t dt ds     ，于是  2 3 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x t y t x t y t x t y t dt d s dt d d s d K              。 这就是曲率的计算公式。 特别地，如果曲线 L 由 y  y(x) 表示，且 y(x) 有二阶导数，那么相应的计算 公式为 2 3 2 (1 y ) y K     。 容易知道，直线上曲率处处为零。 例 3.4.10 求悬链线            a x a x e e a y 2 的曲率（ a  0 ）。 解 易知 y             a x a x e e 2 1 ， y   2 2 1 a y e e a a x a x            。 由于 y  0 及 a y y e e a x a x                2 2 4 1 1 1 ， 所以 图 3.4.11

(1+y2) e u+e 例34.11求椭圆x= a cost,y=bsnt(0≤t≤2x)上曲率最大和最小的 点(0b>0时,椭圆上在t=0,对应的点,即长轴的两个端点,曲率最大; 在t=兀,3对应的点,即短轴的两个端点,曲率最小。 当a=b=R时(这时椭圆成为半径为R的圆),K=1/R。这说明:圆上各点 处的曲率相同,其值为圆半径的倒数,而曲率半径正好是R 注在上例中,曲率的最大值为,,此时曲率半径为一。这有一个有趣的 应用:半径为b的圆是最大的圆,当它沿椭圆内侧滚动一周时,与椭圆的每 点都接触。 九 5;6;7;8;10;11;13;14.(1)、(3)、(5);15.(1)、(3);16.(1)、 (2);17.(1)、(2)、(4)

3 2 2 3 2 (1 )            a y a y y y K 2 y a  2 4            a x a x a e e 。 例 3.4.11 求椭圆 x  acost ， y  bsin t （ 0  t   ）上曲率最大和最小的 点（ 0  b  a ）。 解 由于 x   asin t ， x   a cost ， y   bcost ， y   bsin t ， 因此       3 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 sin cos ( )sin | sin cos | a b t b ab a t b t ab t ab t x y x y x y K                。 因此当 a  b  0 时，椭圆上在 t  0,  对应的点，即长轴的两个端点，曲率最大； 在 2  t  ， 2 3 对应的点，即短轴的两个端点，曲率最小。 当 a  b  R 时（这时椭圆成为半径为 R 的圆）， K  1/ R 。这说明：圆上各点 处的曲率相同，其值为圆半径的倒数，而曲率半径正好是 R 。 注 在上例中，曲率的最大值为 2 b a ，此时曲率半径为 a b 2 。这有一个有趣的 应用：半径为 a b 2 的圆是最大的圆，当它沿椭圆内侧滚动一周时，与椭圆的每一 点都接触。 九．习 题 1；2；4；5；6；7；8；10；11；13；14．（1）、（3）、（5）；15．（1）、（3）；16．（1）、 （2）；17．（1）、（2）、（4）