教案 二重积分的计算 教学内容 重积分的计算是多元积分学的基本技术,也是多重积分以及曲面积分的计 算的基础,是微积分的重要工具之一。在这节中主要讲解以下几方面的内容: 1)直角坐标系下二重积分的计算 (2)二重积分的变量代换法; (3)极坐标系下二重积分的计算。 教学思路和要求 (1)计算重积分的基本思路是将重积分化为累次积分,通过逐次计算定积 分,求得重积分的值。讨论二重积分的计算,其途径即是化二重积分为二次积分。 通过“已知平行截面面积,求空间区域体积”的背景,引入二重积分化为二次积 分来计算的方法,可以给学生一个直观上的认识 (2)回忆定积分换元法的思想,可以对二重积分换元法则加深理解。注意指 出作变量代换后面积元素的比例系数是 Jacob行列式的绝对值 (3)从直角坐标到极坐标的变量代换是二重积分计算中十分常见的代换。当 区域边界或被积函数易于用极坐标表示时,采用极坐标往往能带来很大的便利。 因此这部分的内容还是要重点强调 (4)有必要向学生介绍实例计算时的思考方法,引导他们提高计算能力。 教学安排 直角坐标系下二重积分的计算 首先,假设区域Ω可表示为 2={(x,y)q1(x)≤y≤φ2(x)2a≤x≤b} 我们将根据二重积分的几何意义把 化为二次积分。为此,暂且假设∫≥0。 由上一节可知,的值等于 以Ω为底,以曲面z=f(x,y)为顶的 ==fx,v) 曲顶柱体的体积(图82.1),这个 体积实际上还可以用一元函数积分 学中“已知平行截面面积,求空间区 域体积”的方法来求得。为此,我们 固定x∈[a,b],过(x,0,0)且平行于 Oyz的平面截曲顶柱体得到的截面 是该平面上一个以区间[c1(x)Q2(x)] 为下底,z=f(x,y)为曲边的一个曲 图8.2.1 边梯形,所以这个截面面积为 A(x)=f(x,y)
教 案 二重积分的计算 教学内容 二重积分的计算是多元积分学的基本技术，也是多重积分以及曲面积分的计 算的基础，是微积分的重要工具之一。在这节中主要讲解以下几方面的内容： （1） 直角坐标系下二重积分的计算； （2） 二重积分的变量代换法； （3） 极坐标系下二重积分的计算。 教学思路和要求 （1）计算重积分的基本思路是将重积分化为累次积分，通过逐次计算定积 分，求得重积分的值。讨论二重积分的计算，其途径即是化二重积分为二次积分。 通过“已知平行截面面积，求空间区域体积”的背景，引入二重积分化为二次积 分来计算的方法，可以给学生一个直观上的认识。 （2）回忆定积分换元法的思想，可以对二重积分换元法则加深理解。注意指 出作变量代换后面积元素的比例系数是 Jacobi 行列式的绝对值。 （3）从直角坐标到极坐标的变量代换是二重积分计算中十分常见的代换。当 区域边界或被积函数易于用极坐标表示时，采用极坐标往往能带来很大的便利。 因此这部分的内容还是要重点强调。 （4）有必要向学生介绍实例计算时的思考方法，引导他们提高计算能力。 教学安排 一．直角坐标系下二重积分的计算 首先，假设区域 可表示为 {( , )| ( ) ( ), } x y 1 x y 2 x a x b 。 我们将根据二重积分的几何意义把 fd 化为二次积分。为此，暂且假设 f 0。 由上一节可知， fd 的值等于 以 为底，以曲面 z f (x, y) 为顶的 曲顶柱体的体积 V（图 8.2.1），这个 体积实际上还可以用一元函数积分 学中“已知平行截面面积，求空间区 域体积”的方法来求得。为此，我们 固定 x[a,b] ，过 (x, 0, 0) 且平行于 Oyz 的平面截曲顶柱体得到的截面 是该平面上一个以区间 [ ( ), ( ) 1 2 x x ] 为下底， z f (x, y) 为曲边的一个曲 边梯形，所以这个截面面积为 ( ) ( ) 2 1 ( ) ( , ) x x A x f x y dy。 a x b x y z z=f(x,y) 图 8.2.1
利用平行截面面积A(x)计算原曲顶柱体体积,即得 这个体积正是所求的二重积分的值,即 n(x)(x,y)hypx。 上式右端的积分称为先对y后对x的二次积分。即是先固定x,以y为积分 变量,在积分区间[(x),Q2(x)上计算f(x,y)的定积分,其积分值作为x的函数 再对x在区间[a,b上计算定积分。这个二次积分通常记作 以上讨论中假设f≥0只是为了便于作几何解释,实际上对区域Ω上任意的 可积函数∫,均有 ∫/h=∫2(xy地h。 同样地,如果区域Ω表示为 2={(x,y)|v(y)≤x≤v2(y),c≤y≤d}, 则∫在Ω上的二重积分可以用先对x后对y的二次积分作计算: 2(y) w(r)f(x, y )dx 根据以上讨论,二重积分的计算可以归结为逐次计算两个一元函数的定积 分,因而就计算本身而言,并无新的困难。然而关于区域Ω的恰当表示,还须作 两点补充说明: 其一,当区域Ω不能表示为形如{(x,y)|q(x)≤y≤φ2(x),a≤x≤b}或 {(x,y)|W1(y)≤x≤v2(y)c≤y≤d}的“标准区域”时,可用平行于坐标轴的线 段把Ω剖分为几个上述形式的“标准区域”的并,利用积分关于区域的可加性, 分别计算出相应的积分再求和即可 其二,二重积分表示为二次积分往往可取两种顺序,但是,按不同的顺序, 计算难易未必一致。为此,须根据具体情况决定应采用的顺序。 此外,在直角坐标系下,通常用dxdy表示面积元素,它相当于Ω中小矩形 区域[x,x+]×[y,y+d的面积 例设Ω是由直线y=x和抛物线y=x2所围成的区域,计算积分 图8.2.2 解区域Ω可表为 (x,y)|x2≤y≤x0≤x≤l}
利用平行截面面积 A(x) 计算原曲顶柱体体积，即得 V A x dx f x y dy dx b a x x b a ( ) ( ) 2 1 ( ) ( , ) 。 这个体积正是所求的二重积分的值，即 fd f x y dy dx b a x x ( ) ( ) 2 1 ( , ) 。 上式右端的积分称为先对 y 后对 x 的二次积分。即是先固定 x ，以 y 为积分 变量，在积分区间 [ ( ), ( )] 1 2 x x 上计算 f (x, y) 的定积分，其积分值作为 x 的函数， 再对 x 在区间 [a,b] 上计算定积分。这个二次积分通常记作 ( ) ( ) 2 1 ( , ) x x b a dx f x y dy 。 以上讨论中假设 f 0 只是为了便于作几何解释，实际上对区域 上任意的 可积函数 f ，均有 fd ( ) ( ) 2 1 ( , ) x x b a dx f x y dy 。 同样地，如果区域 表示为 {( , )| ( ) ( ), } x y 1 y x 2 y c y d ， 则 f 在 上的二重积分可以用先对 x 后对 y 的二次积分作计算： fd ( ) ( ) 2 1 ( , ) y y d c dy f x y dx 。 根据以上讨论，二重积分的计算可以归结为逐次计算两个一元函数的定积 分，因而就计算本身而言，并无新的困难。然而关于区域 的恰当表示，还须作 两点补充说明： 其一，当区 域 不能表示为形如 {( , )| ( ) ( ), } x y 1 x y 2 x a x b 或 {( , )| ( ) ( ), } x y 1 y x 2 y c y d 的“标准区域”时，可用平行于坐标轴的线 段把 剖分为几个上述形式的“标准区域”的并，利用积分关于区域的可加性， 分别计算出相应的积分再求和即可。 其二，二重积分表示为二次积分往往可取两种顺序，但是，按不同的顺序， 计算难易未必一致。为此，须根据具体情况决定应采用的顺序。 此外，在直角坐标系下，通常用 dxdy 表示面积元素，它相当于 中小矩形 区域 [x, x dx][y, y dy] 的面积。 例 设 是由直线 y x 和抛物线 2 y x 所 围 成 的 区 域 ， 计 算 积 分 (2 x y)dxdy 。 解 区域 可表为 {( , ) | ,0 1} 2 x y x y x x 。 x y y=x y=x 2 O y= x x y x=y O 图 8.2.2
把原积分化为先对y再对x的积分,得 (4x-7x2+2x3+x+)a-11 为把原积分化为先对x再对y的积分,可把区域g表示为 g2={(x,y)|y≤x≤yy,O≤y≤l}, 这样, ∫2-x-y)hy=(2-x-y)t 例设g是以(0,0),(0,1),(,0)为顶点的三角 形区域(图8.23),求 e dxdy。 解把原积分化为先对x再对y的积分,则有 e 2(c 图823 注意,如果把原积分化为先对y后对x的积分,则 得到 那就难以求积了。 例求由马鞍面=x和平面 z=x+y,x+y=1,x=0,y=0所围成的空间区域的 体积(图8.24)。 解如图824,由二重积分的几何意义 所求体积为 V=‖(x+y 其中Ω={(x,y)|0≤y≤1-x,0≤x≤1}。所以 =d。(x+y-xy)y 图824 7 x(1-x)+(1-x)=(1-x) 24 例求椭圆柱面4x2+y2=1与平面z=1-y及z=0 所围成的空间区域的体积V(图8.2.5) 解记Ω是Oxy平面上椭圆4x2+y2=1所围成的区 域,于是 V=l(1-y)do 因为Ω关于x轴对称,所以 vdo=0 图8.2.5
把原积分化为先对 y 再对 x 的积分，得 x x x y dxdy dx x y dy 2 (2 ) (2 ) 1 0 60 11 (4 7 2 ) 2 1 1 0 2 3 4 x x x x dx 。 为把原积分化为先对 x 再对 y 的积分，可把区域 表示为 {(x, y) | y x y, 0 y 1}， 这样， 1 0 (2 ) (2 ) y y x y dxdy dy x y dx。 例 设 是以 (0, 0)，(0,1)，(1, 0) 为顶点的三角 形区域（图 8.2.3），求 e dxdy y 2 。 解 把原积分化为先对 x 再对 y 的积分，则有 e dxdy y 2 y y dy e dx 0 1 0 2 e ye dy y 1 1 2 1 1 0 2 。 注意，如果把原积分化为先对 y 后对 x 的积分，则 得到 e dxdy y 2 1 1 0 2 x y dx e dy， 那就难以求积了。 例 求 由 马 鞍 面 z xy 和平面 z x y, x y 1, x 0, y 0 所围成的空间区域的 体积（图 8.2.4）。 解 如图 8.2.4，由二重积分的几何意义， 所求体积为 V (x y xy)dxdy ， 其中 {(x, y)| 0 y 1 x,0 x 1} 。所以 x V dx x y xy dy 1 0 1 0 ( ) 24 7 (1 ) 2 1 (1 ) (1 ) 1 0 2 x x x x dx 。 例 求椭圆柱面 4 1 2 2 x y 与平面 z 1 y 及 z 0 所围成的空间区域的体积 V （图 8.2.5）。 解 记 是 Oxy 平面上椭圆 2 2 4x y 1 所围成的区 域，于是 V (1 y)d 。 因为 关于 x 轴对称，所以 yd 0。 (1,1) x O y 图 8.2.3 x O y z 图 8.2.4 z x y 图 8.2.5
这样,=∫d。上式右端即区域的面积,注意到 g的边界是两半轴分别为1和1的椭圆,其面积为1.1=,故 二.二重积分的变量代换法 在定积分计算中,换元法是一种常用的手段。熟知定积分的换元公式为 f(x)dx=f(∞()p()dt, 其中a=o(a),b=q(B)。通过变换函数x=q(t),化被积函数成为易于积分的 形式。二重积分的换元则是从原变量(x,y)到新变量(uv)的一个变换映射,其换 元法则的形式叙述为以下定理 定理8.2.1设∫是Oy平面中闭区域Ω上的连续函数,变换 ∫x=x(n, y=y(u, v), 把O平面上的闭区域Ω一对一地映射为区域Ω,而且 (1)x(u,ν),y(u,ν)在Ω′上具有连续一阶偏导数; (2)在Ω上φ的 Jacobi行列式 D(, y) 则有 f(x,y)dxdy=[f(x(u, ) y(u, p) Dir,)idudv 为节约篇幅,以下只给出证明大意。在Ouv平面上用平行于坐标轴的直线网 格分割Ω'为若干小区域。除包含边界点的小区域外,其余均为小矩形。任取 个这样的小矩形△g’,设其四个项点分别为P(u,v),P(u+△,v),P?(uy+△v) P(+△v+△v)。经过映射φ,它变换为Oxy平面上区域内的一个曲边四边 形△Q,所对应的四个顶点分别记为P,P2P3P。 当△和Av充分小时,A的面积△a近似等于以 PP和PP为邻边构成的平行四边形的面积,即 △a叫‖BP2×BB‖ 由计算可得 PP2=Lx(u+ Au, v)-x(u, v)li +[y(u+△a,v)-y(u,v)j M+△t (l,y)△i+y(u,v)△y 同理可得 PP≈2(u,y)n oy 所以 图8.26
这样， V d 。上式右端即区域 的面积，注意到 的边界是两半轴分别为 2 1 和 1 的椭圆，其面积为 2 1 2 1 ，故 2 V 。 二．二重积分的变量代换法 在定积分计算中，换元法是一种常用的手段。熟知定积分的换元公式为 f x dx f t t dt b a ( ) ( ( )) ( ) ， 其中 a ()，b () 。通过变换函数 x (t) ，化被积函数成为易于积分的 形式。二重积分的换元则是从原变量 (x, y) 到新变量 (u,v) 的一个变换映射，其换 元法则的形式叙述为以下定理。 定理 8.2.1 设 f 是 Oxy 平面中闭区域 上的连续函数，变换 ( , ), ( , ), : y y u v x x u v 把 Ouv 平面上的闭区域 一对一地映射为区域 ，而且 （1） x(u,v), y(u,v) 在 上具有连续一阶偏导数； （2）在 上 的 Jacobi 行列式 0 ( , ) ( , ) D u v D x y ， 则有 f (x, y)dxdy dudv D u v D x y f x u v y u v | ( , ) ( , ) ( ( , ), ( , ))| 。 为节约篇幅，以下只给出证明大意。在 Ouv 平面上用平行于坐标轴的直线网 格分割 为若干小区域。除包含边界点的小区域外，其余均为小矩形。任取一 个这样的小矩形 ，设其四个项点分别为 ( , ) 1P u v ， ( , ) 2 P u u v ， ( , ) 3 P u v v ， ( , ) 4 P u u v v 。经过映射 ，它变换为 Oxy 平面上区域 内的一个曲边四边 形 ，所对应的四个顶点分别记为 1 2 3 4 P , P , P , P 。 当 u 和 v 充分小时， 的面积 近似等于以 P1P 和 P1P3 为邻边构成的平行四边形的面积，即 || || P1P2 P1P3 。 由计算可得 j i [ ( , ) ( , )] [ ( , ) ( , )] 1 2 y u u v y u v P P x u u v x u v i u v uj u y u v u u x ( , ) ( , ) 。 同理可得 i u v vj v y u v v v x P P ( , ) ( , ) 1 3 。 所以 O u v y O x v v+ v u u u 图 8.2.6
PP2×P3≈x△y△0 D(x, y) D(l,y)44k, 从而 D7)/4△y。 因此,二重积分作变量代换后面积元素的关系为 d D(x,y) dudy D(,v) 从而 「(x,y)d=/(x0),y(u,) D(x, y) D(u, v) 例设q>p>0,b>a>0,求由抛物线y2=px,y2=qx与双曲线xy=a, xy=b所围成的平面区域Ω的面积(图827)。 解作变量代换 P≤l≤q, v=ry, y - px b 图8.2.7 因为 2 D(,) D(,y)x x 0,y≠0), 所以上述映射(x,y)(l,v)是可逆的,其逆映射 x=x(u, v) y=y(u 的 Jacobi行列式 D D(u, v)(D(x, y) 这样,Oxy平面上区域Ω对应于Ow平面上矩形区域
0 1 2 1 3 0 x v y v P P P P x u y u v v u u i j k u vk D u v D x y ( , ) ( , ) ， 从而 u v D u v D x y ( , ) ( , ) 。 因此，二重积分作变量代换后面积元素的关系为 dudv D u v D x y d ( , ) ( , ) ， 从而 dudv D u v D x y f x y d f x u v y u v ( , ) ( , ) ( , ) ( ( , ), ( , )) 。 例 设 q p 0，b a 0，求由抛物线 y px 2 ，y qx 2 与双曲线 xy a， xy b 所围成的平面区域 的面积(图 8.2.7)。 解 作变量代换 , . , , 2 v xy a v b p u q x y u 因为 0 3 2 ( , ) ( , ) 2 2 2 x y y x x y x y D x y D u v （ x 0, y 0 ）， 所以上述映射 (x, y) (u,v) 是可逆的，其逆映射 ( , ) ( , ), y y u v x x u v 的 Jacobi 行列式 y u x D x y D u v D u v D x y 3 1 ( , ) 3 ( , ) ( , ) ( , ) 2 1 。 这样， Oxy 平面上区域 对应于 Ouv 平面上矩形区域 y O x xy=a xy=b y 2 =px y 2=qx u v b a O p q 图 8.2.7
={(u2v)lp≤a≤q,a≤v≤b 从而区域Ω的面积为 [do D(x,dud dudy D(u,v) In g 三.极坐标系下二重积分的计算 从直角坐标到极坐标的变量代换是二重积分计算中十分常见的代换。当区域 边界或被积函数易于用极坐标表示时,采用极坐标往往能带来很大的便利 由直角坐标和极坐标的关系 =n2() 得 D(x,y) 6 6 D(r,6) 设函数∫定义于Oxy平面上的闭区域Ω2,g是 8.2.8 由在极坐标下满足r(O)≤r≤z()(a≤≤B)的 点组成。记 (r,6)|r1(6)≤r≤n2(O),a≤0≤B} 于是 ∫(x,y)do=』f(eos.rsd ∫db., f(rose, rsin O)rdr 6) 例计算二重积分 解显然,在极坐标下,积分区域可表示为 (,6)|0≤r≤a,0≤0<2m} 于是,作极坐标代换后即得 dxdy d=x(1-e-a) 例设Ω={(x,y)(x2+y2)2≤x2-y2,x≥0),计算二重积分 ddl 解用极坐标x= rcos e,y=rsn代入(x2+y2)2≤x2-y2,即得 2≤coθ。这样,原积分区域在极坐标下对应于 G)0srs√c020,-z≤s
{(u,v)| p u q,a v b}。 从而区域 的面积为 dudv u dudv D u v D x y A d 3 1 ( , ) ( , ) = p b a q u du dv q p b a ln 3 3 。 三．极坐标系下二重积分的计算 从直角坐标到极坐标的变量代换是二重积分计算中十分常见的代换。当区域 边界或被积函数易于用极坐标表示时，采用极坐标往往能带来很大的便利。 由直角坐标和极坐标的关系 sin cos , y r x r 得 r r r D r D x y sin cos cos sin ( , ) ( , ) 。 设函数 f 定义于 Oxy 平面上的闭区域 ， 是 由在极坐标下满足 ( ) ( ) r1 r r2 （ ）的 点组成。记 {( , )| ( ) ( ), } r r1 r r2 ， 于是 f (x, y)d f (r cos ,rsin )rdrd ( ) ( ) 2 1 ( cos , sin ) r r d f r r rdr。 例 计算二重积分 e dxdy x y a x y 2 2 2 2 2 ( ) 。 解 显然，在极坐标下，积分区域可表示为 {(r,)| 0 r a, 0 2}。 于是，作极坐标代换后即得 e dxdy x y a x y 2 2 2 2 2 ( ) d e rdr a r 0 2 0 2 (1 ) 2 2 1 2 2 0 0 a a r e d e 。 例 设 {( , ) | ( ) , 0) 2 2 2 2 2 x y x y x y x ，计算二重积分 2 2 2 (1 x y ) dxdy 。 解 用 极 坐 标 x r cos ， y rsin 代 入 2 2 2 2 2 (x y ) x y ，即得 r cos2 2 。这样，原积分区域在极坐标下对应于 4 4 ( , ) | 0 cos2 , r r
利用被积函数和积分区域的对称性,即得 √eos2brdr (1 d (1+1) de 1+cos 20 丌1 例求椭球体 +二≤1的体积 解上半椭球面的方程为 图829 由椭球体关于三个坐标平面的对称性,即得 y dxd 其中g={(x,y)+s1,x≥20,y20}。 作广义极坐标变换: x= arcose =brsin e 则Oxy平面上区域g2相应于 (r,)10srs10≤6≤}° 又变换的 jacobi行列式为 D(x,y) acos 8 -arsin 0 =ab ,6) 0 brc 于是,经变量代换后可得 V=82d0 abcrv1-rdr 四.进一步的问题 作为本节讨论的继续,下一节将讨论三重积分的计算和重积分的应用。 五.习题 1.(1),(3),(5);2.(1),(3),(4);3;4;5;7.(1),(3),(4);8; 10:11:13
利用被积函数和积分区域的对称性，即得 2 2 2 (1 x y ) dxdy = cos2 0 2 2 4 0 (1 ) 2 r rdr d cos2 0 2 4 0 (1 t) dt d 4 0 2 4 0 2cos 1 1 1 cos2 1 1 d d 2 1 4 。 例 求椭球体 1 2 2 2 2 2 2 c z b y a x 的体积。 解 上半椭球面的方程为 2 2 2 2 1 b y a x z c 。 由椭球体关于三个坐标平面的对称性，即得 dxdy b y a V c 2 2 2 2 x 8 1 ， 其中 1, 0, 0 y ( , ) | 2 2 2 2 x y a b x x y 。 作广义极坐标变换： sin . cos , y br x ar 则 Oxy 平面上区域 相应于 2 ( , ) | 0 1,0 r r 。 又变换的 Jacobi 行列式为 abr b br a ar D r D x y sin cos cos sin ( , ) ( , ) ， 于是，经变量代换后可得 1 0 2 2 0 V 8 d abcr 1 r dr 1 0 2 3 2 (1 ) 3 1 2 8 abc r abc 3 4 。 四．进一步的问题 作为本节讨论的继续，下一节将讨论三重积分的计算和重积分的应用。 五．习 题 1．（1），（3），（5）；2．（1），（3），（4）；3；4；5；7．（1），（3），（4）；8； 10；11；13
