复旦大学：《高等数学》课程电子课件讲义_第二章 微分与导数 导数的概念2.1

★第三章撒分与辱数

1 第二章 微分与导数

§1微分与导数的概念 微分的原始思想在于寻找一种方法,当因变量 的改变很微小时,能够精确而又简便地估计出这个改 变量。 问题的提出 实例:求第一宇宙速度 设某时刻卫星处于地球表面附近的点A (见图)其运动速度沿圆周切线方向,一秒钟 卫星受运动到点C,求:维持卫星作环绕地球的 飞行所需的最低速度v

2 §1 微分与导数的概念 微分的原始思想在于寻找一种方法, 当因变量 的改变很微小时,能够精确而又简便地估计出这个改 变量。 实例：求第一宇宙速度 设某时刻卫星处于地球表面附近的点 A （见图）其运动速度沿圆周切线方向，一秒钟后， 卫星受运动到点 C ，求：维持卫星作环绕地球的 飞行所需的最低速度 v . 一、问题的提出 B o A C

B 解:OA和OC近似地取为地球的平均半径 6371000m,BC为自由落体在第一秒 飞过的路程,即BC=g12=49(m AB长度为卫星的最小飞行速度的大小。 点O、B、C大致在一条直线上,故 AB2=(6371000+49)2-63710002 显然,计算量甚大,即使用计算机(字长较短) 计算也可能产生误差。将上式改写为 AB2=2×6371000×49+49 可见第二项远远小于第一项,以至于可忽略不。 所以,把计算简化为:AB2=2×6371000×49≈7.9km 维持卫星作环绕地球的飞行所需的最低速度: v≈79km/s

3 B o A OA 和 OC 近似地取为地球的平均半径 C BC 为自由落体在第一秒 飞过的路程，即 1 2 1 4.9 ( ) 2 BC g m    点 O 、B 、C 大致在一条直线上，故 6 371 000 m， 解： AB 长度为卫星的最小飞行速度的大小。 2 2 2 AB    (6371000 4.9) 6371000 显然，计算量甚大，即使用计算机（字长较短） 计算也可能产生误差。将上式改写为 2 2 AB     2 6371000 4.9 4.9 可见第二项远远小于第一项，以至于可忽略不计。 所以，把计算简化为： 2 AB km     2 6371000 4.9 7.9 维持卫星作环绕地球的飞行所需的最低速度： v km s  7.9 /

对AB2作几何解释 作一个边长为x=O4的正方形,当边长由x0变 化到x+Ax,△x=BC,记其面积为A=x2, △4=(x0+△x)2-x2 =2xn·△x+(△x)2 △x △x的线性函数o(△x)高阶无穷小) △x-→>0时,△用2x△x近似代替, 即△4≈2xAx这就是微分概念。 此式有两个优点 1)2x△x是△x的一次线性函数,便于计算; 2)当Ax很小时,△A与2x△x的误差有良好的精度

4 2 A  x0 x0 x0 x x 2 (x) x0x x0x 2 0 2 0 A  (x  x)  x 2 0  2x x  (x) 2 对 AB 作几何解释： 0 作一个边长为 x OA 0  的正方形，当边长由 x 变   x BC ，记其面积为 A x  0 2 ， 这就是微分概念。 0 化到 x x   ，  x 的线性函数  o(x （高阶无穷小） )      x A x x 0 2 时， 用 近似代替， 即    A x x 2 此式有两个优点： 1) 2x x x   是 的一次线性函数，便于计算； 2) 当 x 很小时，  A x x 与 2 的误差有良好的精度

微分的概念 1、定义设函数y=f(x)定义于U(x,8),如果存 在常数k,pf(x+△x)-f(x)=kAx+0(△x) 则称函数∫在x处可微,且称k△为y=f(x) 在x处的微分。记作 小y=M△xord(x)=Ax 说明:1)k仅与x有关而与△无关,k=k(x) 2)d是△x的线性函数 3)4-=0(△x)是比△高阶无穷小 4)当△很小时,A≈ 小是合y的线性主部

5 二、微分的概念  f (x  x) f (x)  kx  o(x) dy  kx or df (x)  kx 1、定义设函数 y = f (x) 定义于 U x( , )  ，如果存 在常数 k ， 则称函数 f 在 x 处可微，且称 k x 为y = f (x) 在 x 处的微分。记作 说明：1）k 仅与 x 有关而与   x k k x 无关， ( ) 2）dy 是 x 的线性函数 3）      y dy o x x ( ) 是比 高阶无穷小 4）当 x 很小时，  y dy dy y 是  的线性主部

当∫(x)在x处可微且Δx→>0时, 将△x称为自变量的微分,记作; 将的线性主部k(x)dx称为因变量的微分, 记作小或d∫(x);则微分关系式为:y=khr 2、定理设函数∫在x处可微,则∫在x处连续。 如果函数∫在区间(a,b)中每一点处均是可微 则称∫是(a,b)上的可微函数 Chec

6 dy kdx  2、定理 设函数 f 在 x 处可微，则 f 在 x 处连续。 记作 dy 或 d f (x) ; 则微分关系式为： 如果函数 f 在区间 (a, b) 中每一点处均是可微， 则称 f 是 (a, b) 上的可微函数。 当 f (x) 在 x 处可微且  x 0 时， 将  x 称为自变量的微分，记作 dx ; 将 y 的线性主部 k(x)dx 称为因变量的微分

、导数的概念 若∫(x)在x处可微, 则有关系式A=k△x+O(△x) 即k=2+o(1 △ k是因变量的增量与自变量的增量之比的极限

7 三、导数的概念 若 f (x) 在 x处可微 ， 则有关系式      y k x o x ( ) 即 (1) y k o x     ∴ k 是因变量的增量与自变量的增量之比的极限

1、定义设函数y=f(x)在U(x0,6)内有定义, 如果极限lim4 f(x0+△x)-f(x0) im 存在, △v→>0 △ y△x→>0 △x 则称这个极限值为y=f(x)在点x处的导数。 记为y|x=n 4价义mmnf(x)-f(x) △x→>0△v x-x 也可记为f(x),dxxm 如果上述极限不存在,函数y=f(x)在点xo 处不可导(不可导的原因很多) 可导和可微都是研究Ay关于△x变化的性态, 它们之间必然有本质的联系

8 1、定义 设函数 y = f (x) 在 U x( , ) 0  内有定义， 则称这个极限值为 y =f (x) 在点x0 处的导数。 0 x x y  记为  0 0 0 ( ) ( ) lim x x f x f x  x x    等价定义 即 x y y x x x        0 0 lim 0 lim x y   x   x f x x f x x        ( ) ( ) lim 0 0 0 如果极限 存在， , 0 x x dx dy f (x0 ),  也可记为  如果上述极限不存在，函数 y = f (x) 在点 x0 处不可导（不可导的原因很多）. 0 ( ) . x x d f x dx  可导和可微都是研究 y 关于 x 变化的性态， 它们之间必然有本质的联系

定理:函数∫在点x可微分>∫在点x可导 证:“→”∵f(x)在点x可微 4y=k·△x+o(△x) 、心=hO(Ax) △v △ 0(△xr 则 k +lil △x→>0△ △y 即函数f(x)在点x可导,且k=∫(x) 函数f(x)在点x可导 △ △ imy=f(x)即=f(x)+a(→>0 △x→>0 △y △y=∫(x)△x+a·(△x)a→>0(:Δx→>0) f(x)·△x+o(△x) 由微分定义,函数∫在点x可微,且k=f(x) 可导分→可微k=f(x)

9 “” y  k x  o(x) x o x k x y        ( )  k k f x  ( ) 定理： 函数 f 在点 x 可微  f 在点 x 可导 证： ∵ f (x) 在点 x 可微 0 0 ( ) lim lim x x y o x k     x x       则 即函数 f (x) 在点 x 可导，且 “” ∵函数 f (x) 在点 x 可导， lim ( ) 0 f x x y x        ( ) y f x x       即 (  0)  y  f (x)x  (x)   0 (x  0)  f (x)x  o(x) 由微分定义，函数 f 在点 x 可微，且 k f x  ( ) ∴可导 可微 k  f (x)

中=f(x)的 f∫"(x) 即函数的微分小与自变量的微分之商为 该函数的导数。所以导数也叫微商。 所以求函数的微分可归结为求该函数的导数。 例1、∫(x) x≠0 求:f(0) 0 x=0

10  dy  f (x)dx ( ) dy f x dx    即函数的微分 dy 与自变量的微分 dx 之商为 该函数的导数。 所以导数也叫微商。 所以求函数的微分可归结为求该函数的导数。 2 1 sin 0 ( ) (0) 0 0 x x f x f x x          例1、 求：