§5反常积分 Rieman积分限于处理有限区间上的有界 函数,而如果问题涉及无穷区间或无界函数时, 就需要把积分概念扩充,这就引出了反常积分。 、无穷限的反常积分 定义1设函数∫定义于a,+∞),且在任意有限区间 ab上可积,如果imf(x)t存在, b→》+0a 则称此极限为∫(x)在无穷区间a,+∞)上的 +oO 反常积分。记为f(x)x + b f(x)dx= lim f(x)d b→)+0Ja 且称此反常积分收敛,否则称为发散
1 §5 反常积分 Rieman 积分限于处理有限区间上的有界 函数，而如果问题涉及无穷区间或无界函数时， 就需要把积分概念扩充，这就引出了反常积分。 一、无穷限的反常积分 定义1 设函数 f 定义于 [ , ) a ， 且在任意有限区间 [a, b] 上可积，如果 lim ( ) 存在， b b a f x dx 则称此极限为 f (x) 在无穷区间 [ , ) a 上的 反常积分。 记为 ( ) a f x dx ( ) a f x dx lim ( ) b b a f x dx 且称此反常积分收敛，否则称为发散
定义2设函数∫定义于(-∞,b,且在任意有限区间 b a,b上可积,如果lmf(x)存在, 则称此极限为f(x)在无穷区间(-∞,b上的 b 反常积分。记为「f(x) 0 b b f()dx= lim f(x)dx a→-0 且称此反常积分收敛,否则称为发散。 定义3设函数∫定义于(-∞,+∞),如果∫在(-∞,a], a,+)上的反常积分均收敛,则称∫在(-∞,+o + 上反常可积(收敛).记为」f(x)dt ∫(x)x=」f(x)x+f(x) 00 且称此反常积分收敛,否则称为发散
2 b a a lim f (x)dx 定义2 设函数 f 定义于 ( , ] b ， 且在任意有限区间 lim ( ) b a a f x dx [a, b] 上可积，如果 存在， 则称此极限为 f (x) 在无穷区间 ( , ] b 上的 反常积分。 ( ) b f x dx 记为 ( ) b f x dx 且称此反常积分收敛，否则称为发散。 定义3 设函数 f 定义于 ( , ) ，如果 f 在 ( , ], a [ , ) a 上的反常积分均收敛，则称 f 在 ( , ) 上反常可积（收敛）. 记为 f x dx ( ) f x dx ( ) a f (x)dx a f (x)dx 且称此反常积分收敛，否则称为发散
+oO 例1、计算反常积分 r2 In 例2、计算反常积分。tem(p>0的常数) 3
3 2 2 1 1 sin . dx x x 例1、计算反常积分 例2、计算反常积分 0 pt te dt （p > 0 的常数）
例3、讨论反常积分 ∫ 的敛散性。 解:当p≠1时, p+1/b b-P p> 原式=li lim b→+(-p+1 b→+∞ 1时, +dO d收敛,且 当p≤1时,此反常积分发散。作为结论。至
4 1 1 lim 1 p b b x p p b p b 1 1 lim 1 1 1 1 1 p p p 1 1 lim b b dx x b b lim ln 1 p dx x 例 3、讨论反常积分 的敛散性。 解：当 p 1 时， 原式 当 p = 1 时， 原式 ∴当且仅当 p > 1 时， 1 1 p dx x 收敛， 1 1 1 ; 1 p dx x p 且 当 p 1 时，此反常积分发散。作为结论
说明一般地,设∫在{a,+)(-∞,b(-∞,+∞)上 的反常积分收敛,F是f的一个原函数, 则由反常积分和 Newton-Leibniz公式得 + b f(x) dx= lim f(x)dx=F(+oo)-F(a b→+Ja b b f(x)dr=lim f(x) dx=F(b)-F(oo) 。f(x)kx=F(+)-F(-a)
5 说明 (, b] ( , ) a f (x)dx b b a lim f (x)dx F() F(a) b f (x)dx b a a lim f (x)dx F(b) F() f (x)dx F() F() 一般地，设 f 在 [ , ) a 上 F 是 f 的一个原函数， 则由反常积分和 Newton-Leibniz 公式得： 的反常积分收敛
例4、计算反常积分 x2+4x+5 + 例5、计算反常积分 √/1 +2x2+2x
6 例5、计算反常积分 1 2 4 1 . 1 2 2 dx x x x 例4、计算反常积分 2 . 4 5 dx x x
比较判别法 对原函数在区间端点的值取极限以确定反常积分 的敛散性,在许多问题中并不可行。这是因为原函数 不是初等函数的形式是经常发生的。那么是否直接根 据被积函数的形式来判定反常积分的敛散性呢? 下面介绍反常可积性时最常使用的比较判别法:
7 二、比较判别法 对原函数在区间端点的值取极限以确定反常积分 的敛散性，在许多问题中并不可行。这是因为原函数 不是初等函数的形式是经常发生的。那么是否直接根 据被积函数的形式来判定反常积分的敛散性呢? 下面介绍反常可积性时最常使用的比较判别法：
定理(比较判别法) 设∫和g均是la,+)上的函数,且在任何 有限区间[ab上可积。 如果|∫(x)≤g(x)x∈Ia,+) Q 则当g(x)d收敛时, 「f(x)k,「。f(x)dt均收敛; 当J。f(x)dk发散时, ∫g(x)d,∫(x)k均发散
8 定理 （比较判别法） 设 f 和 g 均是 [ , ) a 上的函数，且在任何 有限区间 [a, b] 上可积。 如果 f x g x x a ( ) ( ) [ , ) ( ) a g x dx 则当 收敛时， ( ) , a f x dx ( ) a f x dx 均收敛； ( ) a f x dx 当 发散时， ( ) , a g x dx ( ) a f x dx 均发散
cos 例6、讨论反常积分 d的敛散性 x√I+x 9
9 3 1 cos 1 x dx x x 例6、讨论反常积分 的敛散性
定理(极限审敛法) 设函数∫在[a,+)上有定义(a>0),且在 任何有限区间[a,A上可积 1)如果彐p>1,imxf(x)=C≥0 X→+ 则∫f(x)d和∫fx)k均收敛 2)如果彐p≤1, lim xpf(x)=C>0(或+) x→+o 则f(x)dx发散 说明1)如果∫(x)≥0,彐P>1, imxf(x)=C≥0则厂f(x)d收敛 x-+CO 2)如果f(x)≥0,彐p≤1 limps(x)=C>0则∫。f(x)发散
10 定理 lim ( ) 0 x f x C p x 设函数 f 在 [ , ) a 上有定义（a > 0），且在 任何有限区间 [a, A] 上可积。 a 则 f (x) dx 发散。 （极限审敛法） 1) 如果 p 1 , ( ) ( ) a a f x dx f x dx 则 和 均收敛； 2) 如果 p 1 , lim ( ) 0 ( ) p x x f x C 或 说明 lim ( ) 0 p x x f x C 1) 如果 f x( ) 0 , p 1 , ( ) a f x dx 则 收敛； lim ( ) 0 p x x f x C 2) 如果 f x( ) 0 , p 1 , ( ) a f x dx 则 发散