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复旦大学:《高等数学》课程电子课件讲义_第三章 一元函数积分学 反常积分3.5

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§5反常积分 Rieman积分限于处理有限区间上的有界 函数,而如果问题涉及无穷区间或无界函数时, 就需要把积分概念扩充,这就引出了反常积分。 、无穷限的反常积分 定义1设函数∫定义于a,+∞),且在任意有限区间 ab上可积,如果imf(x)t存在, b→》+0a 则称此极限为∫(x)在无穷区间a,+∞)上的 +oO 反常积分。记为f(x)x + b f(x)dx= lim f(x)d b→)+0Ja 且称此反常积分收敛,否则称为发散

1 §5 反常积分 Rieman 积分限于处理有限区间上的有界 函数,而如果问题涉及无穷区间或无界函数时, 就需要把积分概念扩充,这就引出了反常积分。 一、无穷限的反常积分 定义1 设函数 f 定义于 [ , ) a   , 且在任意有限区间 [a, b] 上可积,如果 lim ( ) 存在, b b a f x dx   则称此极限为 f (x) 在无穷区间 [ , ) a   上的 反常积分。 记为 ( ) a f x dx   ( ) a f x dx   lim ( ) b b a f x dx    且称此反常积分收敛,否则称为发散

定义2设函数∫定义于(-∞,b,且在任意有限区间 b a,b上可积,如果lmf(x)存在, 则称此极限为f(x)在无穷区间(-∞,b上的 b 反常积分。记为「f(x) 0 b b f()dx= lim f(x)dx a→-0 且称此反常积分收敛,否则称为发散。 定义3设函数∫定义于(-∞,+∞),如果∫在(-∞,a], a,+)上的反常积分均收敛,则称∫在(-∞,+o + 上反常可积(收敛).记为」f(x)dt ∫(x)x=」f(x)x+f(x) 00 且称此反常积分收敛,否则称为发散

2     b a a lim f (x)dx 定义2 设函数 f 定义于 ( , ]  b , 且在任意有限区间 lim ( ) b a a f x dx   [a, b] 上可积,如果 存在, 则称此极限为 f (x) 在无穷区间 ( , ]  b 上的 反常积分。 ( ) b f x dx  记为 ( ) b f x dx  且称此反常积分收敛,否则称为发散。 定义3 设函数 f 定义于 ( , )    ,如果 f 在 ( , ],  a [ , ) a   上的反常积分均收敛,则称 f 在 ( , )    上反常可积(收敛). 记为 f x dx ( )   f x dx ( )     a f (x)dx     a f (x)dx 且称此反常积分收敛,否则称为发散

+oO 例1、计算反常积分 r2 In 例2、计算反常积分。tem(p>0的常数) 3

3 2 2 1 1 sin . dx  x x  例1、计算反常积分  例2、计算反常积分 0 pt te dt    (p > 0 的常数)

例3、讨论反常积分 ∫ 的敛散性。 解:当p≠1时, p+1/b b-P p> 原式=li lim b→+(-p+1 b→+∞ 1时, +dO d收敛,且 当p≤1时,此反常积分发散。作为结论。至

4 1 1 lim 1 p b b x p               p b p b       1 1 lim 1 1 1 1 1 p p p           1 1 lim b b dx  x   b b lim ln      1 p dx x  例  3、讨论反常积分 的敛散性。 解:当 p  1 时, 原式 当 p = 1 时, 原式 ∴当且仅当 p > 1 时, 1 1 p dx x   收敛, 1 1 1 ; 1 p dx x p    且  当 p  1 时,此反常积分发散。作为结论

说明一般地,设∫在{a,+)(-∞,b(-∞,+∞)上 的反常积分收敛,F是f的一个原函数, 则由反常积分和 Newton-Leibniz公式得 + b f(x) dx= lim f(x)dx=F(+oo)-F(a b→+Ja b b f(x)dr=lim f(x) dx=F(b)-F(oo) 。f(x)kx=F(+)-F(-a)

5 说明 (, b] ( ,  )   a f (x)dx    b b a lim f (x)dx  F() F(a)  b f (x)dx     b a a lim f (x)dx F(b) F()     f (x)dx F() F() 一般地,设 f 在 [ , ) a   上 F 是 f 的一个原函数, 则由反常积分和 Newton-Leibniz 公式得: 的反常积分收敛

例4、计算反常积分 x2+4x+5 + 例5、计算反常积分 √/1 +2x2+2x

6 例5、计算反常积分 1 2 4 1 . 1 2 2 dx x x x     例4、计算反常积分 2 . 4 5 dx x x     

比较判别法 对原函数在区间端点的值取极限以确定反常积分 的敛散性,在许多问题中并不可行。这是因为原函数 不是初等函数的形式是经常发生的。那么是否直接根 据被积函数的形式来判定反常积分的敛散性呢? 下面介绍反常可积性时最常使用的比较判别法:

7 二、比较判别法 对原函数在区间端点的值取极限以确定反常积分 的敛散性,在许多问题中并不可行。这是因为原函数 不是初等函数的形式是经常发生的。那么是否直接根 据被积函数的形式来判定反常积分的敛散性呢? 下面介绍反常可积性时最常使用的比较判别法:

定理(比较判别法) 设∫和g均是la,+)上的函数,且在任何 有限区间[ab上可积。 如果|∫(x)≤g(x)x∈Ia,+) Q 则当g(x)d收敛时, 「f(x)k,「。f(x)dt均收敛; 当J。f(x)dk发散时, ∫g(x)d,∫(x)k均发散

8 定理 (比较判别法) 设 f 和 g 均是 [ , ) a   上的函数,且在任何 有限区间 [a, b] 上可积。 如果 f x g x x a ( ) ( ) [ , )     ( ) a g x dx  则当  收敛时, ( ) , a f x dx   ( ) a f x dx   均收敛; ( ) a f x dx  当  发散时, ( ) , a g x dx   ( ) a f x dx   均发散

cos 例6、讨论反常积分 d的敛散性 x√I+x 9

9 3 1 cos 1 x dx x x   例6、讨论反常积分  的敛散性

定理(极限审敛法) 设函数∫在[a,+)上有定义(a>0),且在 任何有限区间[a,A上可积 1)如果彐p>1,imxf(x)=C≥0 X→+ 则∫f(x)d和∫fx)k均收敛 2)如果彐p≤1, lim xpf(x)=C>0(或+) x→+o 则f(x)dx发散 说明1)如果∫(x)≥0,彐P>1, imxf(x)=C≥0则厂f(x)d收敛 x-+CO 2)如果f(x)≥0,彐p≤1 limps(x)=C>0则∫。f(x)发散

10 定理  lim ( )   0   x f x C p x 设函数 f 在 [ , ) a   上有定义(a > 0),且在 任何有限区间 [a, A] 上可积。    a 则 f (x) dx 发散。 (极限审敛法) 1) 如果   p 1 , ( ) ( ) a a f x dx f x dx   则   和 均收敛; 2) 如果   p 1 , lim ( ) 0 ( ) p x x f x C       或 说明 lim ( ) 0 p x x f x C     1) 如果 f x( ) 0 ,    p 1 , ( ) a f x dx  则  收敛; lim ( ) 0 p x x f x C     2) 如果 f x( ) 0 ,    p 1 , ( ) a f x dx  则  发散

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