§2全微分与偏导数 偏导数 二元函数偏导数的定义 设二元函数z=f(x,y)在1(x,y)的某邻域内 有定义,如果极限 im(n+Ax,H)-f(xn)存在, △→>0 △y 则称此极限为函数∫在P处对于x的偏导数。 记作 z aa ∫(x0,y ax (x0,) 同理可定义∫在P0处对于y的偏导数: z f(x0,y+4y)-f(x0,y) im △→>0
1 §2 全微分与偏导数 一、偏导数 P0 z x 0 0 ( , ) x y f x 0 0 ( , ) x f x y 二元函数偏导数的定义 0 0 0 设二元函数 z f x y P x y ( , ) ( , ) 在 的某邻域内 有定义，如果极限 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) lim x f x x y f x y x 存在， 则称此极限为函数 f 在 P0 处对于 x 的偏导数。 记作 同理可定义 f 在 P0 处对于 y 的偏导数： 0 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) lim y x y z f x y y f x y y y
多元函数偏导数的定义 设n元函数=f(x)在x0=(x,…,x 的某邻域内有定义,如果极限 ∫(x1,,x+△ 0 )-∫( 0 △v:→>0 △v (=1,…,n)存在, 则称此极限为函数∫在x0处对于x1的偏导数。 记作 0Z a f f(o u(o) ax 如果多元函数=f(x)在某区域D上每一点 处均存在偏导数。"(=1,…,n), 则。也是区域D上的一个函数, 称为u的一个偏导函数,简称偏导数
2 i i i n n x x f x x x x f x x i ( , , , , ) ( , , ) lim 0 0 1 0 0 0 1 0 多元函数偏导数的定义 0 0 0 1 ( , , )T n 设 n 元函数 u = f (x) 在 x x x 的某邻域内有定义， 如果极限 (i = 1, …, n) 存在， 则称此极限为函数 f 在 x0 处对于 xi 的偏导数。 0 i x z x 0 i x f y 0 ( ) i x 记作 f x 0 ( ) i u x x 如果多元函数 u = f (x) 在某区域 D 上每一点 i u x 则 也是区域 D 上的一个函数， 处均存在偏导数 ( 1, , ) , i n i u x 称为u的一个偏导函数，简称偏导数
元 例1、求函数∫(x,y)=e"cos(x)+(y-1) arctan 在(1,1)处的偏导数。 例2、求z=」sin(+t)dt的偏导数。 arctan 例3、求z=x"+y”的偏导数。 3
3 ( , ) cos( ) ( 1)arctan 2 xy x f x y e x y y 例1、求函数 在(1, 1)处的偏导数。 例2、求 的偏导数。 2 2 sin(1 ) y x z t dt arctan x y y 例3、求 z x y 的偏导数
说明1)多元函数求偏导数的运算也遵循类似于 元函数求导的四则运算法则。 2)求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求。 (x,y)≠(0,0) 例4、设∫(x,y)=x2+y2 (x,y)=(0,0) 求∫(x,y)的偏导数
4 说明 2 2 ( , ) (0,0) ( , ) 0 ( , ) (0,0) xy x y f x y x y x y 1）多元函数求偏导数的运算也遵循类似于 一元函数求导的四则运算法则。 2）求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求。 例4、设 求 f (x, y) 的偏导数
偏导数存在与连续的关系 元函数 可导→连续 二元函数在某点偏导数存在分连续 (x,y)≠(0,0) 例5、设∫(x,y)=x2+y 讨论f(x,y)在点(0,0)的偏导数及连续性
5 偏导数存在与连续的关系 ? 2 2 ( , ) (0,0) ( , ) 0 ( , ) (0,0) xy x y f x y x y x y 一元函数 可导 二元函数在某点偏导数存在 连续 连续 例5、设 讨论 f (x, y) 在点 (0, 0) 的偏导数及连续性
偏导数的几何意义 z=f(,, yo f(xo, ]) 设M(x0,y,f(x0,y 为曲面z=f(x,y)上的一点, 偏导数∫(x0,y)就是曲面 z=∫(x,y)被平面y=所截得 的曲线x=x 在点M0处的切线M0Tx y=yo 对x轴的斜率; z=f(x, yo) 偏导数∫(x,y)就是曲面z=f(x,y)被平面 x=x0所截得的曲线 在点M0处的切线M0Ty 对y轴的斜率 z=f(xo, y)
6 偏导数的几何意义 0 0 0 0 0 M x y f x y ( , , ( , )) 0 0 ( , ) x f x y 0 0 ( , ) y f x y 设 为曲面 z = f (x, y) 上的一点， 偏导数 就是曲面 z = f (x, y) 被平面 y = y0 所截得 在点 M0 处的切线 M0Tx 对 x 轴的斜率； 偏导数 就是曲面 z = f (x, y) 被平面 在点 M0 处的切线 M0Ty 对 y 轴的斜率。 0 0 ( , ) x x y y z f x y 的曲线 x = x0 所截得的曲线 0 0 ( , ) x x y y z f x y
二、全微分 二元函数全微分的定义 如果函数z=∫(x,y)在点(x,y)的全增量 △=∫(x+△x,y+△y)-f(x,y) 可表示为△z=Ax+BAy+0() 其中A,B不依赖于△x,^y而仅与x,y有关 p=√(△x)2+(4y)2 则称函数∫在点(x,y)处可微, 并称AAx+BAy为∫在点x,y)处的全微分。 记作=Ax+BAJ 由多元线性函数及一元函数微分的概念 →=AAx+BAy
7 二、全微分 二元函数全微分的定义 z f (x x, y y) f (x, y) z Ax By o() x y , 2 2 (x) (y) A x B y dz Ax By 如果函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 的全增量 可表示为 其中 A , B 不依赖于 而仅与 x , y 有关 则称函数 f 在点 (x, y) 处可微， 并称 为 f 在点 (x, y) 处的 全微分。 记作 由多元线性函数及一元函数微分的概念 dz A x B y
多元函数全微分的定义 设n元函数l=f(x)在x=(x,…,x) 的某邻域内有定义,如果有一个关于 △x=(△x1…,Δx)的线性函数k,使得 AM=f(x+Ax)-f(x)=k(△x)+o(△x)) 则称∫在点x处可微, 并称k(△x)为∫在xo处的全微分。 记作d=k(△x) 由多元线性函数及一元函数微分的概念 =a11+… a dx
8 1 ( , , )T n x x x ( ) ( ) 0 x0 u f x x f k(x) o( x) ) du k(x) 1 1 n n du a dx a dx 多元函数全微分的定义 0 0 0 1 ( , , )T n 设 n 元函数 u = f (x) 在 x x x 的某邻域内有定义，如果有一个关于 的线性函数 k , 使得 则称 f 在点 x0 处可微， 并称 k x ( ) 为 f 在x0 处的 全微分。 记作 由多元线性函数及一元函数微分的概念
定理如果函数在某区域D内处处可微, 则称函数在D内可微分。 定理设n元函数u=f(x)在x=(x,…,x)处可微 则∫在x0处连续
9 定理 定理 如果函数在某区域 D 内处处可微， 则称函数在 D 内可微分。 0 0 0 1 ( , , )T n 设 n 元函数 u = f (x) 在 x x x 处可微 则f 在 x0 处连续
定理(充分条件) 若二元函数z=f(x,y)在点(x,y)处可微, oz a 则它在该点处偏导数⌒,,均存在,而且 全微分:d 龙+ ay 若n元函数u=f(x)在x处可微分, 则它在该点处关于诸x;的偏导数均存在,而且 全微分:ah=On ou d,+… a ax
10 定理 （充分条件） , z z x y z z dz dx dy x y 1 1 n n u u du dx dx x x 若二元函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 处可微， 则它在该点处偏导数 均存在，而且 全微分： 若 n 元函数 u = f (x) 在x 处可微分， 则它在该点处关于诸 xi 的偏导数均存在，而且 全微分：