§5随机变量的数字特征 、问题的提出 例如:考察射击手的水平,既要看他的平均环数是否高 还要看他弹着点的范围是否小,即数据的浪动是否小。 又如:有一大批产品,其中15%为一等品,75%为二等品, 10%为三等品。 三等产品的单价分别为10元、 8元和6元。有人要采购一批这种产品,但来不及检验, 该如何定价? 随机变量的分布函数能够完整地描述随机变量的统讣特 征。但是在实际中,一方面得到随机变量分布函数(分布律 或分布密度)相当困难;另一方面,许多实际问题只需要知 道随机变量的某些特征即可。此时,我们关心的是描写随桃 变量的某些特征的数字,即数字特征。 2012/10/31
2012/10/31 1 §5 随机变量的数字特征 一、问题的提出 例如：考察射击手的水平，既要看他的平均环数是否高， 还要看他弹着点的范围是否小，即数据的波动是否小。 又如：有一大批产品，其中15% 为一等品，75% 为二等品， 10% 为三等品。一、二、三等产品的单价分别为10 元、 8 元和6 元。有人要采购一批这种产品，但来不及检验， 该如何定价？ 随机变量的分布函数能够完整地描述随机变量的统计特 征。但是在实际中，一方面得到随机变量分布函数（分布律 或分布密度）相当困难；另一方面，许多实际问题只需要知 道随机变量的某些特征即可。此时，我们关心的是描写随机 变量的某些特征的数字，即数字特征
就上两例来说,我们需要引入能反映随机变量重要特征的 统计指标,随机变量的数学期望(均值)、方差(均值的偏离 程度)。 数学期望 设随机变量ξ所有可能取的值为x1,x2,x3,但预期5 取值的平均数一般不等于互,因为占取每个值的 3 概率一般不同,概率大的值取到的机会多,概率小的值取到 的机会少,所以不前对随机变量所能取的每个值同等对待 必须考虑其相应的概率。 例:假定对作n次独立观察,5取值x1,x2,x3的次数 分别为m1,m,m3,m+m2+m3=n,那么 5取值的平均数为多少呢? 2012/10/31
2 就上两例来说，我们需要引入能反映随机变量重要特征的 统计指标，随机变量的数学期望（均值）、方差（均值的偏离 程度）。 设随机变量 所有可能取的值为 ，但预期 1 2 3 x x x , , 1 2 3 3 x x x 取值的平均数一般不等于 ，因为 取每个值的 概率一般不同，概率大的值取到的机会多，概率小的值取到 的机会少，所以不能对随机变量所能取的每个值同等对待， 必须考虑其相应的概率。 例：假定对 作 n 次独立观察， 取值 x x x 1 2 3 , , 的次数 分别为 m m m 1 2 3 , , ， m m m n 1 2 3 ，那么 取值的平均数为多少呢？ 二、数学期望 2012/10/31
定义1:设离散型随机变量ξ的分布律为 P(9=x)=P 若级数∑xP绝对收敛,则称此级数的收敛值为 随机变量5的数学期望(简称期望)或均值。 记为E5=∑xP 就上例,5取值的平均数为x1+x22+x3t 其中是事件{=x}在n次观察中出现的频率,由概率 的统计定义,当n充分大时,≈P1=p(9=x) 所以,随机变量5真正的平均数为x1n1+x2D2+x3P3 2012/10/31 3
2012/10/31 3 定义1：设离散型随机变量 的分布律为 ( ) 1, 2, P x p i i i 若级数 绝对收敛，则称此级数的收敛值为 1 i i i x p 随机变量 的数学期望（简称期望）或均值。 记为 1 i i i E x p 就上例， 取值的平均数为 1 2 3 1 2 3 m m m x x x n n n 其中 是事件 在 n 次观察中出现的频率，由概率 mi n { }i x 的统计定义，当 n 充分大时， ( ) i i i m p p x n 所以，随机变量 真正的平均数为 1 1 2 2 3 3 x p x p x p
定义2:设连续型随机变量的分布密度为g(x), 若∫x9(x)dk绝对收敛,则称∫xo(x)为占 的数学期望。记为E=xg(x) 注意:1)一个随机变量的期望存在与否取决于级数∑xP 或广义积分∫x(x)dk是否绝对收敛,所以井 不是任何随机变量都存在数学期望。 2012/10/31
4 定义2：设连续型随机变量 的分布密度为 ( ) x ， 若 x x dx ( ) 绝对收敛， 则称 x x dx ( ) 为 的数学期望。记为 E x x dx ( ) 注意：1）一个随机变量的期望存在与否取决于级数 1 i i i x p x x dx ( ) 或广义积分 是否绝对收敛，所以并 不是任何随机变量都存在数学期望。 2012/10/31
例:设离散型随机变量ξ的概率函数为 P(5=k) =1 k(k+1) 由于级数∑xn|=k+=2k+发散, 所以,E5不存在。 2)一个随机变量的期望是一个常数,它表示的是随机变量取 值的平均,是以概率为权的加权平均值;它反映了随机变 量得一大特征,即随机变量取值集中在期望值附近。 3)计算时需要已知随机变量的分布律或分布密度。 2012/10/31
2012/10/31 5 2）一个随机变量的期望是一个常数，它表示的是随机变量取 值的平均，是以概率为权的加权平均值；它反映了随机变 量得一大特征，即随机变量取值集中在期望值附近。 3）计算时需要已知随机变量的分布律或分布密度。 例：设离散型随机变量 的概率函数为 1 ( ) 1, 2, ( 1) P k k k k 由于级数 1 | | k k k x p 1 ( 1) k k k k 1 1 k k 1 发散， 所以， E 不存在
随机变量函数的数学期望: 1)离散型 设rv.X的分布律为P(X=x)=P,k=1,2 r.Y=f(X,如级数∑f(xk)绝对收敛 则rv.y=f的数学期望EY=∑f(xk) k=1 2)连续型 设rv.X的概率密度函数gx(x),rv.Y=f(X), 如广义积分f(x)9x(x)dc绝对收敛 则rvY=f(x的数学期望EY=/。 f(xx (d 2012/10/31
2012/10/31 6 随机变量函数的数学期望： 设 r.v. X 的分布律为 ( ) , 1, 2, P X x p k k k 1 ( ) . k k k EY f x p r.v. Y = f (X) ， 如级数 绝对收敛， 1 ( ) k k k f x p 则 r.v. Y = f (X) 的数学期望 1）离散型 2）连续型 设 r.v. X 的概率密度函数 φX (x) ， r.v. Y = f (X) ， 如广义积分 f x x dx ( ) ( ) X 绝对收敛， 则 r.v. Y = f (X) 的数学期望 ( ) ( ) . EY f x x dx X
随机变量数学期望的性质: )设ξ=c,则E5=Ec=C 2)若k为常数,则E(k4)=kE5 3)若b为常数,则E(5+b)=E5+b 由2)、3)得E(al+b)=aE5+b 4)若两个随机变量ξ、,则E(+m)=E+En 可推广至有限个 E(X1+X2+…+Xn)=EX1+EX2+…+EXn 5)若随机变量占、相互独立,则E(m)=EE 可推广至有限个:若X1、X2、X相互独立,则是 E(X1·X2…Xn)=EX1·EX2…EXn 2012/10/31
2012/10/31 7 随机变量数学期望的性质： 1）设 c ，则 E Ec c 2）若 k 为常数 ，则 E k kE ( ) 3）若 b 为常数 ，则 E b E b ( ) 由 2）、3）得 E a b aE b ( ) 4）若两个随机变量 、 ，则 E E E ( ) 可推广至有限个 1 2 1 2 ( ) E X X X EX EX EX n n 5）若随机变量 、 相互独立，则 E E E ( ) 可推广至有限个：若 X1 、 X 2 、… X n 相互独立，则 1 2 1 2 ( ) E X X X EX EX EX n n
常见分布的数学期望 1)二点分布(0-1分布) 分布律:P{5=1=p 5=0}=1-p=q 0<p,q<1 E5=1.p+0.(1-p)=P 2012/10/31
2012/10/31 8 常见分布的数学期望 1）二点分布（0-1 分布） 分布律： P p 1 P p q 0 1 0 , 1 p q E p p 1 0 (1 ) p
2)二项分布 分布律:P{5=4}=Cp(1-p)"kk=0,1,2,…,n E5=∑kP(5=k)=∑kCp(1-p)2k k=0 ∑ k n! p^(1-p) n-k k=o k! (n-k! (n-1)! P(1-P)" k(k-1)(n-k) =m∑Cp4(1-p) k=1 =m∑Cp(1-p) n-k-1 =0 2012/10/31 9
2012/10/31 9 2）二项分布 P k (1 ) k k n k C p p n 分布律： k n 0, 1, 2, , 0 ( ) n k E k P k 0 (1 ) n k k n k n k k C p p 0 ! (1 ) !( )! n k n k k k n p p k n k 1 1 ( 1)! (1 ) ( 1)!( )! n k n k k n np p p k n k 1 1 1 1 (1 ) n k k n k n k np C p p 1 1 0 (1 ) n k k n k n k np C p p np
3) Poisson分布P(x) 分布律:P{=}24 e k=0,1,2,…元>0 K! k E=∑kP(5=)=∑ k=0 k! A∑ e∑ e =1 (k-1)! =0 k! 4)指数分布E(x) exx≥0 密度函数:q(x)= x<0 Es= xp(xdx=xOdc+ rne 0 见. xd(e^)=- λr+a ax xe de 九x+o 2012/10/31 10
2012/10/31 10 3）Poisson 分布 P( ) 分布律： ! k P k e k k 0, 1, 2, 0 0 ( ) n k E k P k 0 ! n k k k e k 1 1 ( 1)! n k k e k 0 ! n k k e k e e 4）指数分布 E( ) 密度函数: 0 ( ) 0 0 x e x x x E x x dx ( ) 0 x dx 0 0 x x e dx 0 ( ) x xd e 0 0 [ | ] x x xe e dx 0 1 | x e 1