§3随机变量 随机变量的概念 直观意义:用数值来描述随机试验的结果,即每一个试验 结果对应一个数,依随机试验的结果而取值的变量为 随机变量。用大写的X、Y…或小写的5、m…等表示 定义:设E是随机试验,是它的样本空间,如果对于 每一个样本O∈Ω,都有唯一的实数值X(o)与之 对应,则称实值变量X(o)为一随机变量,简记为X昌 (一般用大写X、Y.或小写引、丌…)
1 §3 随机变量 一、随机变量的概念 直观意义： 用数值来描述随机试验的结果，即每一个试验 结果对应一个数，依随机试验的结果而取值的变量为 随机变量。用大写的 X、Y … 或小写的 、 等表示。 定义：设 E 是随机试验， 是它的样本空间，如果对于 每一个样本 ，都有唯一的实数值 X( ) 与之 对应，则称实值变量 X( ) 为一随机变量，简记为X （一般用大写 X 、Y … 或小写 、 ）
注意: 1)随机变量是定义在样本空间上的实值集函数,与微积分 中讨论的实函数有本质的区别。 2)随机变量是随机事件的数量化。即每个事件都可以用 一个随机变量来描述。 3)引入随机变量的重要意义。 例如:抛硬币试验:规定正面向上事件以1表示,反面向上 事件以0表示。在E中,={0,1,定义在9上的 随机变量ξ,它只能取值1或0,则 P(E=0.1 P(5=1)= 2
2 注意： 1）随机变量是定义在样本空间上的实值集函数，与微积分 中讨论的实函数有本质的区别。 2）随机变量是随机事件的数量化。即每个事件都可以用 一个随机变量来描述。 3）引入随机变量的重要意义。 例如：抛硬币试验：规定正面向上事件以 1 表示，反面向上 事件以 0 表示。在 E 中， 0, 1 ，定义在 上的 随机变量 ，它只能取值 1 或 0 ，则 1 ( 0) 2 P 1 ( 1) 2 P
二、随机变量的分布函数 定义:设ξ是一个随机变量,x是任意实数,则称函数 F(x)=P{5≤x为5的分布函数。 注意:定义中的{5≤x表示事件“随机变量取值不大于x” 随机变量的分布函数F(x)是以事件{≤x}的概率 定义的函数,它是自变量x的取值在(-∞,+∞)内的 一个普通函数,其值域为[0,1
3 二、随机变量的分布函数 定义：设 是一个随机变量，x 是任意实数，则称函数 F x P x ( ) 为 的分布函数。 注意：定义中的 x 表示事件“随机变量取值不大于 x ” 随机变量的分布函数 F (x) 是以事件 x 的概率 定义的函数，它是自变量 x 的取值在 ( , ) 内的 一个普通函数，其值域为 [ 0 , 1 ]
分布函数F(x)具有如下性质: 1)0≤F(x)≤1且imF(x)=0imF(x)=1 2)F(x)单调不减,即若x1<x2,则有F(x1)≤F(x2) 3)F(x)右连续,IimF(x)=F(x) 4)P{x<5sx2}=P{5sx2}P{5≤x} F(x2)-F(x1)
4 分布函数 F (x) 具有如下性质： 1) 0 ( ) 1 F x lim ( ) 0 x F x lim ( ) 1 x F x 且 2) ( ) F x 单调不减，即若 x x 1 2 ，则有 1 2 F x F x ( ) ( ) 3) ( ) F x 右连续， 0 0 lim ( ) ( ) x x F x F x 4 ) P x x P x P x 1 2 2 1 2 1 F x F x ( ) ( )
三、随机变量的概率分布 设ξ是随机变量,则它的取值规律(即可能取哪当值, 取这些值的概率分别是多少?)称为的概率分布(简称 分布),通常用分布律或分布密度来描述分布。随机变量 的概率分布,完全描述了随机变量的统计规律和各种特征。 随机变量的分类 离散型随机变量 随机变量连续型随机变量 混合型随机变量 奇异型随机变量
5 三、随机变量的概率分布 设 是随机变量，则它的取值规律（即可能取哪些值， 取这些值的概率分别是多少？）称为 的概率分布（简称 分布），通常用分布律或分布密度来描述分布。随机变量 的概率分布，完全描述了随机变量的统计规律和各种特征。 随机变量的分类 随机变量 离散型随机变量 连续型随机变量 混合型随机变量 奇异型随机变量
四、离散型随机变量及其概率分布 1、定义:若随机变量ξ的取值是有限的或可数的 则称ξ为离散型随机变量。 2、离散型随机变量的概率分布(函数)或分布律 设离徵型随机变量ξ的所有可能取值x(k=1,2,…) 事件{5=x}的概率为P{5=x}=P(k=1,2,) 这里0s队s1,且∑P 则称P{5=x}=k(k=1,2,)为随机变量5的 概率分布(函数)或分布律。通常用表格形式表示: PK Pr P
6 四、离散型随机变量及其概率分布 1、定义：若随机变量 的取值是有限的或可数的， 则称 为离散型随机变量。 2、离散型随机变量的概率分布（函数）或分布律 设离散型随机变量 的所有可能取值 x k k ( 1,2, ) ， 事件 的概率为 ， k x ( 1,2, ) P x p k k k 这里 0 1 pk ， 且 1 1 k k p 则称 ( 1,2, ) P x p k k k 为随机变量 的 概率分布（函数）或分布律。 通常用表格形式表示： 1 x 2 x k x k p 1 p 2 p k p … … … …
注意:定义中的p-定满足0≤n≤1,且∑p 是离散型随机变量的概率函数必须具备的性质。 即凡满足这两个条件的函数P{5=x}=D(k=1,2,) 定是某个离散型随机变量的分布律。 3、离散型随机变量的分布函数 分布式为P{=l}=(k=,2…)的离散型随机变量 5的分布函数为: x<xi x, sx<x2 P1+p2 x, sx<x3 F(x)=P{5≤x}=∑P(5=x)= ∑ k式< 4k+1 其中求和是对所有满足不等式 x≤x的k求和。 x≥xn
7 注意：定义中的 一定满足 ，且 ， k p 0 1 k p 1 1 k k p 是离散型随机变量的概率函数必须具备的性质。 即凡满足这两个条件的函数 ( 1,2, ) P x p k k k 一定是某个离散型随机变量的分布律。 3、离散型随机变量的分布函数 分布式为 { } ( 1,2, ) P k p k k 的离散型随机变量 的分布函数为： ( ) k k x x P x F x P x ( ) 1 1 2 1 0 1 k i i p p p p 1 1 2 2 3 k k 1 n x x x x x x x x x x x x x 其中求和是对所有满足不等式 k x x 的 k 求和
例1、将三个小球随机地投入四个盒子,以2表示盒子球的 最大数目,求的分布律及P{≤2} 例2、设10件产品中恰好有2件次品,现接连进行非还原抽样, 直到取到正品为止。 求:1)抽样次数ξ的分布;2)的分布函数 3)P{5=3.5},P({5>-2,P{1<5<3
8 例1、将三个小球随机地投入四个盒子，以 表示盒子球的 最大数目，求 的分布律及 P 2 . 例 2、设10 件产品中恰好有2 件次品，现接连进行非还原抽样， 直到取到正品为止。 求：1）抽样次数 的分布；2） 的分布函数； 3） ， ， . P 3.5 P 2 P1 3
4、常见的离散型随机变量分布有: 1)0-1分布(二点分布) 设随机试验中事件A发生的概率为p, 令 1若A发生 0若A不发生 则服从两点分布,分布律为: P{5=}=P 0<p,q<1 P{5=0}=1-P=q 应用:凡试验只有两个结果,常用0-1分布。 如
9 4、常见的离散型随机变量分布有： 1）0-1 分布（二点分布） 应用：凡试验只有两个结果，常用 0-1 分布。 如： 设随机试验中事件 A 发生的概率为 p ， 1 若A 发生 0 令 若A 不发生 则 服从两点分布，分布律为： P p 1 P p q 0 1 0 , 1 p q
2)二项分布B(n,p) 二项分布产生于n重 Bernoul试验,即在n重 Bernoulli 试验中,事件A每次发生的概率为p,不发生(A发生)的 概率为1-,则n次实验中A发生的次数5服从二项分布 记为5~B(n,p),其分布律(即概率分布 P{5=}=Cp(1-p)”k=0,1,2,…n 其中0<p<1,且 ∑P(5=k)=∑Cp(1-p 一般适用于
10 2）二项分布 二项分布产生于 n 重 Bernoulli 试验，即在 n 重Bernoulli B n p ( , ) 试验中，事件A 每次发生的概率为 p ，不发生（ A 发生）的 概率为 1-p ，则 n 次实验中 A 发生的次数 服从二项分布， 记为 B n p ( , ) ，其分布律（即概率分布）： P k (1 ) k k n k C p p n k n 0, 1, 2, , 其中 0 1 p ，且 0 ( ) n k P k 0 (1 ) 1 n k k n k n k C p p 一般适用于