§3二阶线性微分方程 一、二阶线性微分方程 般形式,d +p(h+9(x)y=f(x) 当∫(x)=0时,二阶齐次线性微分方程; 当∫(x)≠0时,二阶非齐次线性微分方程。 n阶线性微分方程 y+p1(x)y+…+pn1(x)y+pn(x)y=∫(x)
1 §3 二阶线性微分方程 一、二阶线性微分方程 一般形式: 2 2 ( ) ( ) ( ) d y dy p x q x y f x dx dx 当 f (x) = 0 时, 二阶齐次线性微分方程; 二阶非齐次线性微分方程。 n 阶线性微分方程 ( ) ( 1) 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n y p x y p x y p x y f x 当 f (x) ≠ 0 时
二阶线性微分方程解的结构: 1、二阶齐次线性微分方程解的结构: y+p(r)y+q(ry=0 定理1: 若y1(x)和y2(x)是二阶齐次线性微分方程的解, 则它们的线性组合c%1(x)+By2(x) 也是该二阶齐次线性微分方程的解。 问题:y=an(x)+βy2(x)a、勇常数, 是否一定是通解?
二阶线性微分方程解的结构: 1、二阶齐次线性微分方程解的结构: y p x y q x y ( ) ( ) 0 定理1: 若 y1 (x) 和 y2 (x) 是二阶齐次线性微分方程的解， 则它们的线性组合 1 2 y x y x ( ) ( ) 也是该二阶齐次线性微分方程的解。 问题: y y x y x 1 2 ( ) ( ) 、 为常数， 是否一定是通解? 2
定理2 若y(x)和y2(x)是y"+p(x)y+q(x)y=0 在Ⅰ上的两个线性无关的解, 则:y=Cny1(x)+C22(x)C1、C2为常数 是该二阶齐次线性微分方程的通解。 如y”+y=0,n=c0Sxy2=simx y2=tanx≠常数 ∴GS.y=C1c0Sx+C2sinx
定理2: 若 y1 (x) 和 y2 (x) 是 y p x y q x y ( ) ( ) 0 在 I 上的两个线性无关的解， 是该二阶齐次线性微分方程的通解。 则: 1 1 2 2 y C y x C y x ( ) ( ) 为常数 C C 1 2 、 如 y y 0 , 1 2 y x y x cos sin 2 1 tan y x y 常数 1 2 GS y C x C x . cos sin 3
2、二阶非齐次线性微分方程解的结构: J 定理:非齐次线性微分方程的通解等于 该方程的一个特解加上相应的齐 次线性微分方程的通解 证明:设2+p(x)+gq(x)y=f(x) y=y+y +P()的 d y )+q(x)y=0 y +p(x),-+q(x)y*=f(x)
2、二阶非齐次线性微分方程解的结构: 定理: 非齐次线性微分方程的通解等于 该方程的一个特解加上相应的齐 次线性微分方程的通解 y y y 证明: 2 2 ( ) ( ) ( ) d y dy p x q x y f x dx dx 设 y y y 2 2 ( ) ( ) 0 d y dy p x q x y dx dx 2 2 ( ) ( ) ( ) d y dy p x q x y f x dx dx 4
两式相加得 d(y+y) +p(x) d(yt y +q(x)(y+y)=∫(x) dx j+y为非齐次线性微分方程的解, 又∵卩是相应齐次线性微分方程的通解, 包含两个任意常数 j+y中也包含两个任意常数, 卩+y’为非齐次线性微分方程的通解
2 2 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) d y y d y y p x q x y y f x dx dx 两式相加得 y y 为非齐次线性微分方程的解， 又 y 是相应齐次线性微分方程的通解， 包含两个任意常数， y y 中也包含两个任意常数， y y 为非齐次线性微分方程的通解。 5
解的叠加原理: 若y1(x)和y2(x)分别是下列线性微分方程 4+(x)g(x)y=f(x) 的解, d 2+p(x)+q(x)y=/(x) 则H(x)+2(x)是线性微分方程 d 2+p(x)2+g(x)y=(x)+f(x)的解量 dx
解的叠加原理: 若 y1 (x) 和 y2 (x) 分别是下列线性微分方程 2 2 1 ( ) ( ) ( ) d y dy p x q x y f x dx dx 2 2 2 ( ) ( ) ( ) d y dy p x q x y f x dx dx 则 1 2 y x y x ( ) ( ) 是线性微分方程 2 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) d y dy p x q x y f x f x dx dx 的解。 的解, 6
二、二阶常系数齐次线性微分方程 定义: n阶常系数线性微分方程的标准形式 +piy "-1)+…+Pn1y+Pny=∫(x) P1,P2…,Pn为常数 二阶常系数齐次线性方程的标准形式 y"+p+qy=0p,q为常数; 二阶常系数非齐次线性方程的标准形式 y+my+qy=f(x)p,q为常数
y py qy 0 ( ) ( 1) 1 1 ( ) n n n n y p y p y p y f x y py qy f x ( ) 定义: n 阶常系数线性微分方程的标准形式 二阶常系数齐次线性方程的标准形式 二阶常系数非齐次线性方程的标准形式 1 2 , , , n p p p 为常数。 p q, 为常数； 二、二阶常系数齐次线性微分方程 p q, 为常数。 7
二阶常系数齐次线性微分方程解法 特征方程法 y+py+y=0 设y=e,将其代入上方程,得 (x2+p2+q)ex=0,:e>0 2+p+q=0 为二阶常系数齐次线性微分方程的特征方程。 特征方程法与原微分方程比较:
二阶常系数齐次线性微分方程解法 -----特征方程法 y py qy 0 , 将其代入上方程, 得 x y e 设 2 ( ) 0 , x p q e 0 , x e 2 p q 0 为二阶常系数齐次线性微分方程的特征方程。 特征方程法与原微分方程比较： 8
1)若42+pλ+q=0有两个不同的实根, 记为A&22, 原微分方程的两个特解: y,(r)=e, y2()=e2-, 1≠孔,巧(x)_八4xM)≠常数 y2(x) 则原微分方程的通解:y=C1e+C2e
1) 若 2 p q 0 有两个不同的实根， 记为 1 2 & , ∴原微分方程的两个特解: 1 1 ( ) , x y x e 2 2 ( ) , x y x e 1 2 , 1 2 1 ( ) 2 ( ) ( ) y x x e y x 常数 则原微分方程的通解: 1 2 1 2 . x x y C e C e 9
2)若x2+p+q=0有两个相同的实根, 记为A=2=2=D 2 得到一个特解y(x)=e4, 须找一个与y1(x)线性无关的特解,设为y2(x), ≠常数,设2(x)=以(x)e, 代入原微分方程y+my+gy=0,并简化 u"(x)+(2+p)u(x)+(x2+pλ+q)l(x)e=0 →l"=0,取u(x)=x,→y2(x)=xe, 则原微分方程的通解:y=(C1+C2x)
2) 若 2 p q 0 有两个相同的实根， 1 2 , 2 p 记为 得到一个特解 1 ( ) , x y x e 须找一个与 y1 (x) 线性无关的特解, 设为 y2 (x) , 即 1 2 ( ) ( ) y x y x 常数, 设 2 ( ) ( ) , x y x u x e 代入原微分方程 y py qy 0 , 并简化 2 [ ( ) (2 ) ( ) ( ) ( )] 0 x u x p u x p q u x e u 0 , 取 u x x ( ) , 2 ( ) , x y x xe 则原微分方程的通解: 1 2 ( ) . x y C C x e 10