第七章多元脑数撒分学
1 第七章 多元函数微分学
多元函数微分学是一元函数微分学的推广, 两者有着相似之处,但也有本质的差异。应对照 一元函数性质来学习多元函数的微分学。 @
2 多元函数微分学是一元函数微分学的推广, 两者有着相似之处, 但也有本质的差异。应对照 一元函数性质来学习多元函数的微分学
§1多元函数的极限与连续 点邻域、内点、开集、区域等概念 1、邻的定义 设P(x0,yn)∈R2,存在δ>0,使得与点P距 离小于δ的点P(x,y)的全体,记为U(P,δ), 即U(P0,) PPks ={(x,y)√(x-x0)2+(y-y)20,记O(x,)={(,x)<6 称O(元,δ)为元的δ邻域
3 §1 多元函数的极限与连续 一、点邻域、内点、开集、区域等概念 1、邻域的定义 P0 2 0 0 0 设 P x y R ( , ) , 0, 记为 0 U P( , ) , 2 2 0 0 {( , ) | ( ) ( ) } x y x x y y 即 U(P0 , ) P | P0 P | 称 ( , ) U P0 为 点P0的δ 邻域 . 说明: , 0 , n x R O x( , ) O(x, ) y d( y, x) x的 邻域 存在 使得与点 P0 距 离小于 的点 P(x, y) 的全体， 设 记 称 为
2、内点、边界点的定义 1)设DcR2,P(x,y)∈D,如果存在δ>0, 使得U(P,δ)cD,则称P为D的内点。 说明: D 对于ScR",如果存在δ>0, 使得O(元,δ)cS,则称为S的内点。 2)S的内点全体称为S的内部,记作S
4 2、内点、边界点的定义 x 说明: U P D ( , ) , P x y D ( , ) , D P O x S ( , ) , 0 2）S 的内点全体称为 S 的内部， S . 2 1）设 D R , , n 对于 S R 如果存在 δ﹥0 , 使得 则称 P 为 D 的内点。 如果存在 δ﹥0 , 使得 则称 为 S 的内点。 记作
3)对于DcR2δ>0,点P的任意邻城U(P,δ), 有U(P,δ∩D≠p,且U(P,δ)∩(R2\D)≠p 则称P为D的边界点。 说明: 对于任何的δ>0,均有O(x,δ)∩S≠ 且O(x,∩(R\S)≠p,则称x为S的边界点。 4)S的边界点全体称为S的边界,记作aS D
5 ( , ) ( \ ) , n O x R S 说明: D P S . 对于任何的δ> 0 ， O x S ( , ) U P D ( , ) , 2 U P R D ( , ) ( \ ) , 2 3）对于 D R , δ> 0 ，点 P 的任意邻域 U P( , ) , 有 且 则称 P 为 D 的边界点。 均有 且 则称 x 为 S 的边界点。 4）S 的边界点全体称为 S 的边界，记作
3、开集、闭集的定义 设ScR,如果S中的每一点均为S的内点, 则称S为开集。 如果aScS,则称S为闭集。 折线:R"中首尾彼此相接的有限条线段组成。 连通:如果任意两点x,y∈ScR",都有一条 完全落在S中的折线将x和y连接起 来,则称S为连通
6 3、开集、闭集的定义 S S, n R , , n x y S R , n 设 S R 如果 S 中的每一点均为 S 的内点， 则称 S 为开集。 如果 则称 S 为闭集。 折线： 中首尾彼此相接的有限条线段组成。 连通：如果任意两点 都有一条 完全落在 S 中的折线将 x 和 y 连接起 来，则称 S 为连通
4、区域的定义 {(x,y)10,D={∈R2对0,D={球∈R2,≤谷} 是R2中的一个闭区域。(x,)1x2+y2s4
7 4、区域的定义 n R D x x R x , 2 x y o D x x R x , 2 x y o 2 R {( , )|1 4} 2 2 x y x y {( , )|1 4} 2 2 x y x y 是 R2 中的一个开区域。 1） 中的连通开集称之为开区域； 简称区域。 如：对 δ> 0 ， 2）开区域连通它的边界组成的集合，称为闭区域。 如：对 δ> 0 ， 是 R2 中的一个闭区域
3)S是R"的一个区域,如果存在δ>0, 使得ScO(0,8),则称S为有界闭集。 否则S为无界闭集。 如:R2 {(x,y)|x+y>0}
8 n R S O (0, ) , 0 , x y o {(x, y)| x y 0} 2 R 3）S 是 的一个区域，如果存在 使得 则称 S 为有界闭集。 否则 S 为无界闭集。 如：
二、多元函数 多元函数的定义 设D为R2中的一个点集,如果按法则f,对D中 每个点Px,y),均有确定的实数z与之对应, 则称f是以D为定义城的二元函数。 记为:z=f(x,y)或z=f(P) 也可记为:f:D→R即xyx∈D 称R()={f(x)x∈D}为函数∫的值域
9 二、多元函数 1、多元函数的定义 z f (x, y) z f P ( ) f : D R x y x D R f f x x D ( ) ( ) 设 D 为 R2 中的一个点集，如果按法则 f , 对 D 中 每个点 P(x, y) ，均有确定的实数 z 与之对应， 则称 f 是以 D 为定义域的 二元函数。 记为： 或 也可记为： 即 称 为函数 f 的值域
说明: 1)类似地可定义三元函数、n元函数 设D为R"中的一个点集,如果按法则f, 对D中每个点x,均有确定的实数y与之对应, 则称f是以D为定义域的n元函数。 记为:y=f(x)或y=∫(x1,…xn) 其中x=(x1,…,x)∈R 2)多元函数中同样有定义域、值域、 自变量、因变量等概念。 例1、求∫(x,y) arcsin(3-x2-y)的定义域
10 说明: 1） 类似地可定义三元函数、n 元函数 n R y f (x) 1 ( , , ) . T n n x x x R ( , , ) x1 xn y f 设 D 为 中的一个点集，如果按法则 f , 对 D 中每个点 x , 均有确定的实数 y 与之对应， 则称 f 是以 D 为定义域的 n 元函数。 记为： 或 其中 2） 多元函数中同样有定义域、值域、 自变量、因变量等概念。 2 2 2 arcsin(3 ) ( , ) x y f x y x y 例1、求 的定义域