复旦大学：《高等数学》课程电子课件讲义_第三章 一元函数积分学 不定积分的计算3.2

§2不定积分 显然微分(或导数)逆运算的问题就是: 找一个还函数y=F(x),3F(x)的导数 F(x)=∫(x) 已知函数 、不定积分的概念 1、不定积分的定义: 函数f(x)的原函数全体称为f(x)的不定积分 记作∫f(x)dx=F(x)+ 积分常数

1 F(x)  f (x) §2 不定积分 显然微分（或导数）逆运算的问题就是： 找一个还函数 y = F (x) , F x( ) 的导数 已知函数 一、不定积分的概念 1、不定积分的定义： 函数 f (x) 的原函数全体称为f (x) 的不定积分。 记作 f x dx  F x  C  ( ) ( ) 积分常数

求导 F(x) f(x) 积分 微分运算与不定积分的运算是互逆的 2、不定积分法(积分法): 求f(x)的不定积分,只需求一个原函数F(x), 然后加任意常数C即可。这种求已知函数的原 函数全体的方法,称为不定积分法

2 F(x) 微分运算与不定积分的运算是互逆的. f (x) 求导 积分 2、不定积分法（积分法）: 求 f (x) 的不定积分，只需求一个原函数 F (x)， 然后加任意常数 C 即可。这种求已知函数的原 函数全体的方法，称为不定积分法

例1、求x 5 解: xdx +c 5 5 例2、求 1 2 解: :∵( arctan x 1+2 dx=arctan x+C

3 4 5 5 x x     C x  x dx    55 4   2 1 1 arctan x x          dx x C x arctan 1 1 2 4 x dx 例 1、求  解： 2 1 1 dx  x 例  2、求 解：

例3、设曲线通过点(2,1),曲线上任一点处的切线 斜率等于这点横坐标的三倍,求此曲线方程 解:设曲线方程为y=f(x), d=3即f(x)是3x的一个原函数 3 3 又∵3xdtc x2+C∴f(x)=x2+C 2 2 (x,y)=(2,1)→C=-5 3 所求曲线方程为y=x2-5 2

4 x dx dy   3  f x  x  C 2 2 3 ( ) (x, y)  (2, 1)  C  5 3 2 5 2 y x   例3、设曲线通过点 (2, 1) ，曲线上任一点处的切线 斜率等于这点横坐标的三倍，求此曲线方程。 解： 设曲线方程为 y = f (x) , 即 f (x) 是3x 的一个原函数 3 2 3 2 xdx x C   又  ∴所求曲线方程为

不定积分的几何意义: 族积分曲线y=F(x)+C y=F(x)+C

5 x y 0 y F x C   ( ) 不定积分的几何意义： 一族积分曲线 y = F (x) + C

3、基本积分公式: 由基本求导公式及不定积分的定义直接推出。 基本积分表 a+1 +C(a≠-1) a+1 (2)∫ Inx+C )Ja=nn+C(a>0,a≠D In 特别地eax=e2+C

6 3、基本积分公式: 基本积分表 ( 1) 1 (1) 1            C x x dx   x  C x dx (2) l n 由基本求导公式及不定积分的定义直接推出。 a C a a dx x x    l n 1 (3) (a  0, a  1)  e dx  e C x x 特别地

(4)sinxdc=-cosx+C (5)cos xdx=sinx +C (6)sec2 xdx=tanx+C (7)csc2xdx=-cot x+C 8)secx tan x=secx+C (9)csc x cot xdx=-cscx+C (心N= arctan+C -dx= arcsinx+c 1+x (12)shxdx=chx+C (13)「chxa=shx+C

7 xdx  x C  (5) cos sin xdx  x C  (6) sec tan 2 xdx   x C  (7) csc cot 2 xdx   x C  (4) sin cos x xdx  x C  (8) sec tan sec x xdx   x C  (9) csc cot csc dx x C x     arcsin 1 1 (10) 2 dx x C x     arctan 1 1 (11) 2 shxdx chx C  (12) chxdx shx C  (13)

4、不定积分的性质: )[(x)]=/(x)4()-=f(xh f(x dx=f(x)+c df(x)=f(x)+C 2)设函数∫和g的原函数都存在,a、B是两个常数, 则∫q(x)+B8(x)=!(x)+g(x)d 证:设∫(x)t=F(x)+C∫x)k=G(x)+C →F'=∫,G=8.→(F+B0=+B量 =Jlaf(x)+Bg(x)ld=aF(x)+BG(x)+C a∫f(x)+g(x)

8 4、不定积分的性质: 1) ( ) ( ) f x dx f x        d[ f (x)dx]  f (x)dx   f (x)dx  f (x)C  df (x)  f (x)C 2) 设函数 f 和 g 的原函数都存在，   、 是两个常数， 则  [f (x) g(x)]dx    f (x)dx   g(x)dx 证：  f x dx F x C ( ) ( )   g(x)dx  G(x)C 设   F  f , G  g. (F  G) f  g   [f (x) g(x)]dx F(x) G(x)C    f (x)dx   g(x)dx

例4、计算「(x+2(x-7)d 例5、计算 d x 1+x 例6、计算∫ sIn cos x 例7、计算「2e 9

9 1 ( 2)( ) x x dx x   例  4、计算 4 2 1 x dx  x 例  5、计算 2 2 1 sin cos dx x x 例  6、计算 2 x x e dx 例  7、计算

说明:以上几例被积函数都需要进行适当的变形, 才能使用基本积分表。 思考题符号函数 x>0 f(x)=sgx=0, x=0 1,x<0 在(-0,+)内是否存在原函数? 为什么?

10 说明：以上几例被积函数都需要进行适当的变形， 才能使用基本积分表。 思考题 1, 0 ( ) sgn 0, 0 1, 0 x f x x x x            符号函数 在 ( , )    内是否存在原函数？ 为什么？