教案 线形变换及其矩阵表示 教学内容 线形变换是几何空间和函数空间中最简单的变换,它有着深刻的几何学和物 理学背景,是一个经常使用的数学工具,在数学理论研究和实际应用中起着重要 作用。在这节中主要讲解以下几方面的内容 (1)线性变换的概念、乘积变换和可逆变换的概念 (2)线性变换的矩阵表示; (3)在不同基下的表示矩阵之间的关系; (4)在线性变换下坐标的变化情况 教学思路和要求 (1)线性空间与线性变换这部分内容,由于其抽象性较强,所以首先要把 其背景讲清楚,再抽象其理论定义。因此在教学安排上先从简单的几 何变换入手,引导学生理解线性变换的概念的深刻含义,以及应有的 形式。 (2)线性变换的概念、线性变换的矩阵表示是本节内容的重点 (3)线性变换在不同基下的表示矩阵之间的关系也是要求必须掌握的内 容 (4)为了使学生理解线性变换的矩阵表示的方法,可以先从向量空间上入 手,便于理解; (5)要通过例子来引导学生学会计算表示矩阵以及不同基下的表示矩阵 之间的关系等 教学安排 几个简单的几何变换 复杂的几何变换可以归结为简单的几何变换的累积,而任何几何图形的变 换,说到底是点的变换 我们先从R2谈起。容易发现,若给定了一个2×2矩阵 a (a21a22 则对平面上任意点(即向量)x 通过矩阵与向量的乘法运算 可以唯一确定了平面上的一点x′。x'可以看成是由x经过某种变换得到的点, 而这个变换的规律显然由矩阵A所确定 例52.1问以下矩阵对R2上的任意点x,由x'=Ax(i=1,2,345)确定 了什么样的变换? 10 (1)A1 (2)A2 10 (3)42=20
教 案 线形变换及其矩阵表示 教学内容 线形变换是几何空间和函数空间中最简单的变换，它有着深刻的几何学和物 理学背景，是一个经常使用的数学工具，在数学理论研究和实际应用中起着重要 作用。在这节中主要讲解以下几方面的内容： （1） 线性变换的概念、乘积变换和可逆变换的概念； （2） 线性变换的矩阵表示； （3） 在不同基下的表示矩阵之间的关系； （4） 在线性变换下坐标的变化情况。 教学思路和要求 （1） 线性空间与线性变换这部分内容，由于其抽象性较强，所以首先要把 其背景讲清楚，再抽象其理论定义。因此在教学安排上先从简单的几 何变换入手，引导学生理解线性变换的概念的深刻含义，以及应有的 形式。 （2） 线性变换的概念、线性变换的矩阵表示是本节内容的重点； （3） 线性变换在不同基下的表示矩阵之间的关系也是要求必须掌握的内 容； （4） 为了使学生理解线性变换的矩阵表示的方法，可以先从向量空间上入 手，便于理解； （5） 要通过例子来引导学生学会计算表示矩阵以及不同基下的表示矩阵 之间的关系等。 教学安排 一．几个简单的几何变换 复杂的几何变换可以归结为简单的几何变换的累积，而任何几何图形的变 换，说到底是点的变换。 我们先从 2 R 谈起。容易发现，若给定了一个 2×2 矩阵 21 22 11 12 a a a a A ， 则对平面上任意点（即向量） y x x ，通过矩阵与向量的乘法运算 21 22 11 12 a a a a x Ax y x y x ， 可以唯一确定了平面上的一点 x。 x 可以看成是由 x 经过某种变换得到的点， 而这个变换的规律显然由矩阵 A 所确定。 例 5.2.1 问以下矩阵对 2 R 上的任意点 x，由 x Ai x （ i 1,2,3,4,5 ）确定 了什么样的变换？ （1） 0 1 1 0 A1 ； （2） 1 0 0 1 A2 ； （3） 0 0 A3 ；
os6 -sin e (4)A4 (5)A= sin e cos e 解(1)由于对任意点x 所以A确定的变换将任意一个点x变成它关于x轴对称 的点x’(见图52.1)。 图52.1 (2)由于对任意点x= 所以A2确定的变换将任意一个点x变成它关于直线 y=x对称的点x(见图52.2)。 (3)由于对任意点x= 有 0 1 所以A3确定的变换将任意一个点x变成在它与原点连线 上,与原点距离伸缩为|倍的点x',当λ>0时,x’与x 在原点同侧;当<0时,x'点在原点另一侧;当A=0 图523 x'为原点(见图52.3)。 (4)对任意点x=,将其记为 则有 rsin g cos -sing(rcos p sin e cos e八rsn r(c oBc o8-sires irp) r(siacos+coos inp 图5.24 rcos(+0) in(+0) 所以A确定的变换将任意一个点x绕原点旋转了角度θ的点x(见图524) (5)由于对任意点x 有 00八(y(0 所以A确定的变换将任意一个点x变成它在x轴上 的投影点x’(见图5.2.5)。 图525 在上面的讨论中,变换由矩阵A确定,因此称A
（4） sin cos cos sin A4 ； （5） 0 0 1 0 A5 。 解 （1）由于对任意点 y x x ，有 x 0 1 1 0 y x y x ， 所以 A1 确定的变换将任意一个点 x 变成它关于 x 轴对称 的点 x （见图 5.2.1）。 （2）由于对任意点 y x x ，有 x 1 0 0 1 y x x y ， 所以 A2 确定的变换将任意一个点 x 变成它关于直线 y x 对称的点 x （见图 5.2.2）。 （3）由于对任意点 y x x ，有 x 0 0 y x y x ， 所以 A3 确定的变换将任意一个点 x 变成在它与原点连线 上，与原点距离伸缩为 | | 倍的点 x ，当 0 时， x 与 x 在原点同侧；当 0 时， x 点在原点另一侧；当 0 ， x 为原点（见图 5.2.3）。 （4）对任意点 y x x ，将其记为 sin cos r r ，则有 x A4 y x x sin cos cos sin sin cos r r (sin cos cos sin ) (coscos sin sin ) r r sin( ) cos( ) r r ， 所以 A4 确定的变换将任意一个点 x 绕原点旋转了角度 的点 x （见图 5.2.4）。 （5）由于对任意点 y x x ，有 x 0 0 1 0 y x 0 x ， 所以 A5 确定的变换将任意一个点 x 变成它在 x 轴上 的投影点 x （见图 5.2.5）。 在上面的讨论中，变换由矩阵 A 确定，因此称 A y x x x 图 5.2.1 y x y = x x x 图 5.2.2 y x x x 图 5.2.3 y x x x 图 5.2.4 y x x x 图 5.2.5
为变换矩阵。其中,A与A,确定的变换称为反射变换或镜像变换,A、确定的变 换称为相似变换(λ称为相似比),而A4确定的变换称为旋转变换,A3确定的变 换称为射影变换,它们都属于最简单的几何变换。 从这几个具体例子容易归纳出 (1)设x1和x2都是平面上的点,若对它们的线性组合a1x1+a2x2作上述 变换,可以先对x1和x2作上述变换后再线性组合,即 A(a1x1+a2x2)=a1(Ax1)+a2(Ax2)。 也就是说,由矩阵确定的变换都满足线性运算规则 (2)如需要先将x关于直线y=x作对称,再旋转角度O,则有 COS O「(0 cos0 -sin(01 sin 0 cos01 0 6八10 也就是说,由矩阵确定的变换可以复合,复合的变换矩阵恰是各个变换矩阵的乘 (3)有些变换可以通过相反的过程再变换回去,即变换是可逆的,有些则不 可逆。如上面由A—A4确定的变换都是可逆的,而A3确定的变换不可逆。而通 过观察发现,恰恰A-A4都是可逆矩阵,而A3是不可逆矩阵。因而可以设想, 若矩阵A不可逆,那么A确定的变换不可逆;若A可逆,那么A确定的变换可 逆,且确定逆变换的矩阵正是A。 显然,借助矩阵会给讨论问题带来很大方便。于是自然要问,既然有一个矩 阵就决定了一个变换,那么什么样的变换才可以通过矩阵来表示?进一步,这样 的变换有哪些更一般的性质?下面来回答这些问题 二.线性变换及其矩阵表示 定义5.2.1设U,V是K上的线性空间,K为R或C,A是U到V的映 射,即对于任意x∈U,存在唯一的像z∈V,使得A(x)=z。 若A满足线性性质,即对于任意x,y∈U及λ,μ∈K,成立 A(x+uy)=1A(x)+uA(y), 则称A为线性空间U到V上的一个线性变换 特别地,从线性空间U到其自身的线性变换称为U上的线性变换。 显然,例52.1中的五个变换都是R2上的线性变换 几个最简单的线性变换是 (1)线性空间U上的恒等变换(单位变换)Ⅰ:对于任意x∈U,I(x)=x (2)线性空间U到V上的零变换0:对于任意x∈U,0(x)=0。 例52.2证明求导运算D=是P的上的线性变换 证对与P中的任意元素p=p(x),p(x)是不超过n次的多项式,于是D(p) [p(x)是不超过n-1次的多项式,即D(p)∈P 对于任意p(x),q(x)∈Pn及λ,H∈R,由求导运算法则, D(pug)dx( p(x)+ug(r)
为变换矩阵。其中， A1 与 A2 确定的变换称为反射变换或镜像变换， A3 确定的变 换称为相似变换（ 称为相似比），而 A4 确定的变换称为旋转变换，A5 确定的变 换称为射影变换，它们都属于最简单的几何变换。 从这几个具体例子容易归纳出： （1）设 x1 和 2 x 都是平面上的点，若对它们的线性组合 1 x1 2 2 x 作上述 变换，可以先对 1 x 和 2 x 作上述变换后再线性组合，即 1 Ai ( x1 2 ) x2 =1 ( ) Ai x1 2 ( ) Ai x2 。 也就是说，由矩阵确定的变换都满足线性运算规则。 （2）如需要先将 x 关于直线 y = x 作对称，再旋转角度 ，则有 x sin cos cos sin x 1 0 0 1 sin cos cos sin 1 0 0 1 x ， 也就是说，由矩阵确定的变换可以复合，复合的变换矩阵恰是各个变换矩阵的乘 积。 （3）有些变换可以通过相反的过程再变换回去，即变换是可逆的，有些则不 可逆。如上面由 A1— A4 确定的变换都是可逆的，而 A5 确定的变换不可逆。而通 过观察发现，恰恰 A1— A4 都是可逆矩阵，而 A5 是不可逆矩阵。因而可以设想， 若矩阵 A 不可逆，那么 A 确定的变换不可逆；若 A 可逆，那么 A 确定的变换可 逆，且确定逆变换的矩阵正是 1 A 。 显然，借助矩阵会给讨论问题带来很大方便。于是自然要问，既然有一个矩 阵就决定了一个变换，那么什么样的变换才可以通过矩阵来表示？进一步，这样 的变换有哪些更一般的性质？下面来回答这些问题。 二．线性变换及其矩阵表示 定义 5.2.1 设 U，V 是 K 上的线性空间，K 为 R 或 C ，A 是 U 到 V 的映 射，即对于任意 x U，存在唯一的像 z V，使得 A (x) = z。 若 A 满足线性性质，即对于任意 x，y U 及 ， K，成立 A ( x+ y ) = A (x) + A ( y )， 则称 A 为线性空间 U 到 V 上的一个线性变换。 特别地，从线性空间 U 到其自身的线性变换称为 U 上的线性变换。 显然，例 5.2.1 中的五个变换都是 2 R 上的线性变换。 几个最简单的线性变换是： （1）线性空间 U 上的恒等变换（单位变换）I：对于任意 x U，I (x) = x。 （2）线性空间 U 到 V 上的零变换 0：对于任意 x U，0(x) = 0。 例 5.2.2 证明求导运算 D = dx d 是 Pn 的上的线性变换。 证 对与 Pn 中的任意元素 p p(x) ，p(x) 是不超过 n 次的多项式，于是 D(p) = dx d [ p(x) ]是不超过 n 1 次的多项式，即 D(p) Pn 。 对于任意 p(x)，q(x) Pn 及 ， R，由求导运算法则， D( p+ q) = dx d ( p(x) q(x) )
d =λ[P(x)]+x[q(x)]=1D(P)D(q), 由定义,D是P上的线性变换 例523求定积分运算L()=f(x)x是Ca]到R上的线性变换。实际 上,L的线性性质就是定积分的线性性质。 例5.2.4设映射A:R3→R3定义为 Ax)=Ax2x2,x)=x2+x2,√x2+x3,√x2+ 则对于A∈R,有 A(a)x)+(x2),(x3)+(x),√x3)+(x)y4AAx) 显然,当x≠0且λ<0时,Ax)≠4(x),因此A不是线性变换。 定义5.2.2设A是线性空间U到Ⅴ的线性变换,B是线性空间Ⅴ到W上 的线性变换,称复合变换 B(A(x)),x∈U 为B和A的乘积变换,记为BA 显然BA是U到W上线性变换。 定义5.2.3设A是U上的线性变换,若存在U上的线性变换B使得 BA()=x, AB(r)=x, x EU 即BA和AB都是恒等变换,则称A是可逆变换,B称为A的逆变换,记为 B=A 线性变换有下列性质(其证明作为习题留给读者) 定理5.2.1设A是线性空间U到Ⅴ上的任意一个线性变换,则成立 (1)A(0)=0,A(-x)=-A(x) (2)若{a,h是U中一组线性相关的向量,则{Aa1}m也是Ⅴ中一组线性 相关的向量 (3)将U中所有向量在线性变换A下的象记为A(U),即 A(U)={y∈v|y=A(x),x∈U} 则A(U)是Ⅴ的线性子空间(称为A的象空间) (4)将Ⅴ中零向量在线性变换A下的原象记为N(A),即 N(A)={x∈U|A(x)=0}, 则N(A)是U的线性子空间(称为A的核空间)。 注意,在定理5.2.1的(2)中,若{是U中一组线性无关的向量,则 A(a)=不一定是中一组线性无关的向量,事实上零变换就是这样。 例5.2.5线性变换A:R3→R2定义为 4(x)=4(x1,x2,x3)=(x1+2x2,2x2 求N4)和A(R3) 解A(x)=0等价于 ∫x+2x2=0 2x,+x2=0. 其解为 x=c(1,-1/2,1)
= dx d [ p(x) ] + dx d [ q(x) ] = D(p)+ D (q)， 由定义，D 是 Pn 上的线性变换。 例 5.2.3 求定积分运算 L ( f ) b a f (x)dx 是 C[a,b] 到 R 上的线性变换。实际 上，L 的线性性质就是定积分的线性性质。 例 5.2.4 设映射 A ： 3 3 R R 定义为 T x x x x x x x x x 2 1 2 3 2 3 2 2 2 2 2 1 2 3 1 A(x) A( , , ) , , 。 则对于 R ，有 ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) , ( ) ( ) | | ( ) 2 1 2 2 2 3 2 2 2 2 2 A x 1 A x T x x x x x x 。 显然，当 x 0 且 0 时， A(x) A(x) ，因此 A 不是线性变换。 定义 5.2.2 设 A 是线性空间 U 到 V 的线性变换，B 是线性空间 V 到 W 上 的线性变换，称复合变换 B(A (x) )， x U， 为 B 和 A 的乘积变换，记为 BA。 显然 BA 是 U 到 W 上线性变换。 定义 5.2.3 设 A 是 U 上的线性变换，若存在 U 上的线性变换 B 使得 BA (x) = x，AB (x) = x， x U， 即 BA 和 AB 都是恒等变换，则称 A 是可逆变换，B 称为 A 的逆变换，记为 B= A –1。 线性变换有下列性质（其证明作为习题留给读者）： 定理 5.2.1 设 A 是线性空间 U 到 V 上的任意一个线性变换，则成立 （1）A (0) = 0，A ( x ) A (x)； （2）若 k j j 1 { } a 是 U 中一组线性相关的向量，则{ A k j j 1 } a 也是 V 中一组线性 相关的向量； （3）将 U 中所有向量在线性变换 A 下的象记为 A (U)，即 A (U) = {y V | y = A (x), x U }， 则 A (U)是 V 的线性子空间（称为 A 的象空间）； （4）将 V 中零向量在线性变换 A 下的原象记为 N(A)，即 N(A) = { x U | A (x) = 0 }， 则 N(A)是 U 的线性子空间（称为 A 的核空间）。 注意，在定理 5.2.1 的（2）中，若 k j j 1 { } a 是 U 中一组线性无关的向量，则 { A k j j 1 ( )} a 不一定是 V 中一组线性无关的向量，事实上零变换就是这样。 例 5.2.5 线性变换 A ： 3 2 R R 定义为 T ( ) (x , x , x ) (x 2x , 2x x ) A x A 1 2 3 1 2 2 3 ， 求 N(A)和 A ( 3 R )。 解 A(x) 0 等价于 2 0. 2 0, 2 3 1 2 x x x x 其解为 T x c(1, 1/ 2, 1)
其中c为任意常数。因此 N(A)={c(1,-1/2,1)|c∈R} 对于任意(y,y2)∈R2,由于线性方程组 VI x3=y2 的增广知m(120y与系数矩阵/120 的秩皆为2,所以它有解。这说 V2 明A为满射,即A(R3)=R2。 下面讨论线性变换与矩阵的关系(下面的所提到的R中的向量,皆指列向 量)。由例5.2.1不难推断,任意一个n×m矩阵A,必确定Rm到R”上的一个线 性变换A。事实上,这个线性变换A可以如下定义: A(x)=Ax,x∈R 反之,若A是Rm到R上的线性变换,则存在nxm矩阵A,使得 A(x)=Ax,x∈R 事实上,若分别记Rm和R”上的自然基为{e1,e2…en}和{e,e2…en}。因 为A(e1) A(e1)=a1E1+a2C2+…+anEn=(e1,C2,…,En 1,2,…,m), 并记n×m矩阵 au a1 A 则对于x=(x,x2,…,xn)=xe1+x2e2+…+xnen∈Rm,有 A(x)=A(xe,+x2e2 x1A(e1)+x2A(e2) =(A(e1),A(e2)…,A(en) 那么,一般有限维线性空间之间的线性变换与矩阵有什么联系呢? 设an}m和{b}m分别是m维线性空间U和n维线性空间ⅴ中的一组基, 是U到ⅴ上的线性变换。设U中向量x用{a}m表示的形式为 x=aa+a 两边作用线性变换A,由线性变换的性质得, A(x)=a1A(a1)+a24(a2) 这就是说,线性变换由其对一组基的变换规律完全决定 由于对于i=1,2,…,m,A(a1)∈V,因此它可以用基{b}m1线性表示,记
其中 c 为任意常数。因此 N(A) { c(1, 1/ 2, 1) | c R} T 。 对于任意 2 1 2 ( , ) R T y y ，由于线性方程组 2 3 2 1 2 1 2 2 , x x y x x y 的增广矩阵 2 1 0 2 1 1 2 0 y y 与系数矩阵 0 2 1 1 2 0 的秩皆为 2，所以它有解。这说 明 A 为满射，即 A ( 3 R ) 2 R 。 下面讨论线性变换与矩阵的关系（下面的所提到的 n R 中的向量，皆指列向 量）。由例 5.2.1 不难推断，任意一个 nm 矩阵 A ，必确定 m R 到 n R 上的一个线 性变换 A 。事实上，这个线性变换 A 可以如下定义： A(x) Ax ， x m R 。 反之，若 A 是 m R 到 n R 上的线性变换，则存在 nm 矩阵 A ，使得 A(x) Ax ， x m R 。 事实上，若分别记 m R 和 n R 上的自然基为 { , , , } 1 2 m e e e 和 } ~ , , ~ , ~ { 1 2 n e e e 。因 为 A(ei ) n R ，记 n i i i n i i i i i i n i n n a a a a a a a a a 2 1 2 1 1 1 2 2 1 2 ) ~ , , ~, ~( ~ ~ ~ A(e ) e e e e e e （ i 1, 2, , m ）， 并记 nm 矩阵 n n n m m m a a a a a a a a a A 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 。 则对于 m m T m x x x x x e x e x e 1 2 1 1 2 2 ( , , , ) m R ，有 ( ( ), ( ), , ( )) . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 A e A e A e x x A e A e A e A x A e e e A x x x x x x m m m m m 那么，一般有限维线性空间之间的线性变换与矩阵有什么联系呢？ 设 m i i 1 { } a 和 n j j 1 { } b 分别是 m 维线性空间 U 和 n 维线性空间 V 中的一组基，A 是 U 到 V 上的线性变换。设 U 中向量 x 用 m i i 1 { } a 表示的形式为 x 1 1 a 2 a2 m m a ， 两边作用线性变换 A，由线性变换的性质得， A(x) 1 A( 1 a ) 2 A( 2 a ) m A( m a )。 这就是说，线性变换由其对一组基的变换规律完全决定。 由于对于 i 1,2, ,m，A( i a ) V，因此它可以用基 n j j 1 { } b 线性表示，记
a a A(a1)=(b1,b2,…,bn) 于是,若记 a1 a13 a2 则 A(a1),A(a2),…,A(an) (b1,b2,…,bn (bb2,…,b 所以 A(x)=a1A(a1)+a24(a2) A(a) (4(a1),A(a2)…,A(an) (b1,b2,…bn) 这就是说,线性变换A由nxm矩阵A=(a)唯一确定,称A为线性变换A在 基{a}和{b,m1下的表示矩阵。顺便地,我们得到:当x在基{a}下的坐标 为 )时,A(x)在基{b}1下的坐标便是A( 特别地,当U和V分别为Rm和R”时,且基都取为自然基时,便从以上讨 论得到 例5.2.6设R2上的线性变换A将任意给定的向量x绕原点逆时针旋转角 度O,求A在自然基{e,e2}下的表示矩阵 (cos0(sin 0 解e,e2绕原点逆时针旋转角度O后,坐标分别是 (见图 sin e COS 526),即 cos0 -sin e (4(e1),A(e2))=(el,e2) sin e 所以,旋转变换A在自然基{e,e}下的表示矩阵为A4/ d(e1) in e cose 由于任意向量x=在自然基e,e2}下的坐标 就是它的分量,因此它经过变换A后,A(x)在{e1,e2} 图526
A( i a ) ( , , , ) b1 b2 bn n i i i a a a 2 1 ， i 1,2, ,m。 于是，若记 n n n m m m a a a a a a a a a A 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 ， 则 ( ( ), ( ), , ( )) A a1 A a2 A am ( , , , ) b1 b2 bn n n nm m m a a a a a a a a a 1 2 21 22 2 11 12 1 (b1 , b2 , ,bn )A。 所以 ( ) ( ) ( ) ( ) A x 1A a1 2A a2 m A am ( ( ), ( ), , ( )) A a1 A a2 A am m 2 1 ( , , , ) b1 b2 bn m A 2 1 。 这就是说，线性变换 A 由 nm 矩阵 A= ij n m a 唯一确定，称 A 为线性变换 A 在 基 m i i 1 { } a 和 n j j 1 { } b 下的表示矩阵。顺便地，我们得到：当 x 在基 m i i 1 { } a 下的坐标 为 T m ( , , , ) 1 2 时， A(x) 在基 n j j 1 { } b 下的坐标便是 A T m ( , , , ) 1 2 。 特别地，当 U 和 V 分别为 m R 和 n R 时，且基都取为自然基时，便从以上讨 论得到： 例 5.2.6 设 2 R 上的线性变换 A 将任意给定的向量 x 绕原点逆时针旋转角 度 ，求 A 在自然基{e1，e2}下的表示矩阵。 解 e1，e2绕原点逆时针旋转角度 后，坐标分别是 sin cos 和 cos sin （见图 5.2.6），即 (A(e1), A(e2) ) = ( e1, e2) sin cos cos sin 。 所以，旋转变换 A 在自然基{e1, e2}下的表示矩阵为 sin cos cos sin A 。 由于任意向量 y x x 在自然基 { , } 1 2 e e 下的坐标 就是它的分量，因此它经过变换 A 后， A(x) 在 { , } 1 2 e e y A(e2) e2 A(e1) x e1 图 5.2.6
下的坐标是 0 -sin e sin e cose 这就是例52.1(4)的结果 三.不同基下表示矩阵的关系 为叙述简洁起见,下面只讨论线性空间到其自身的线性变换。 设A是m维线性空间U上的线性变换,{an}m是U的一组基。由前面所述, A在这组基下的表示矩阵是指满足 (A(a1),A(a2),…,A(an))=( 的矩阵A,它是一个m阶方阵。作为前面讨论的特例可知:如果在基{an}m1下,x 的坐标为a1,a2…,an),则A(x)的坐标是A(a1,a2,…an) 显然,有限维线性空间上的恒等变换在任意基下的表示矩阵都是单位矩阵 零变换在任意基下的表示矩阵都是零矩阵。 下面的定理说明了有限维线性空间上的线性变换在不同的基下的表示矩阵 的关系。 定理52.2设A是m维线性空间U上的任意一个线性变换,{a1}和{b} 是U的两组基,从{;}1到{}1的过渡矩阵为T。若A在基{a,}m和{}下的 表示矩阵分别是A和B,则成立 B=T-AT。 证A在基{a1}和{b}下的表示矩阵分别是A和B,即 (A(a1),A(a2),…,A(an))=(a1,a2,…,an)A4, (A(b1),4(b2)…,A(bn)=(b1,b2,…,bn)B 而从{a}到{b}1的过渡矩阵为T,即 (b1,b2,…,bn)=(a )T 对每个b,作线性变换A,利用A的线性性质,并注意到T是可逆矩阵,由上式 (A(b1),A(b2),…,A(bn))=(A4(a1),A(a2),…,A(an)T (a1,a2,…an)AT=(b1,b2…,bn)T-AT 因此 B=TAT 证毕 下表列出在U上的线性变换A下,U的向量x的坐标变化情况: 在基{a下的坐标在基m下的坐标 A(x) 例5.2.7在P中考虑求导运算A d由于在基{x2,x3}下, (A(1),A(x),A(x2),A(x3))=(0,1,2x,3x2)
下的坐标是 y x A sin cos cos sin y x ， 这就是例 5.2.1（4）的结果。 三．不同基下表示矩阵的关系 为叙述简洁起见，下面只讨论线性空间到其自身的线性变换。 设 A 是 m 维线性空间 U 上的线性变换， m i i 1 { } a 是 U 的一组基。由前面所述， A 在这组基下的表示矩阵是指满足 ( ( ), ( ), , ( )) A a1 A a2 A am (a1 ,a2 , ,am )A 的矩阵 A，它是一个 m 阶方阵。作为前面讨论的特例可知：如果在基 m i i 1 { } a 下，x 的坐标为 T m ( , , , ) 1 2 ，则 A(x) 的坐标是 A T m ( , , , ) 1 2 。 显然，有限维线性空间上的恒等变换在任意基下的表示矩阵都是单位矩阵； 零变换在任意基下的表示矩阵都是零矩阵。 下面的定理说明了有限维线性空间上的线性变换在不同的基下的表示矩阵 的关系。 定理5.2.2 设 A 是 m 维线性空间U上的任意一个线性变换， m i i 1 { } a 和 m i i 1 { } b 是 U 的两组基，从 m i i 1 { } a 到 m i i 1 { } b 的过渡矩阵为 T。若 A 在基 m i i 1 { } a 和 m i i 1 { } b 下的 表示矩阵分别是 A 和 B，则成立 B T AT 1 。 证 A 在基 m i i 1 { } a 和 m i i 1 { } b 下的表示矩阵分别是 A 和 B，即 ( ( ), ( ), , ( )) A a1 A a2 A am (a1 ,a2 , ,am )A， 和 ( ( ), ( ), , ( )) A b1 A b2 A bm (b1 ,b2 , ,bm )B ， 而从 m i i 1 { } a 到 m i i 1 { } b 的过渡矩阵为 T，即 ( , , , ) b1 b2 bm (a1 ,a2 , ,am )T 。 对每个 i b 作线性变换 A ，利用 A 的线性性质，并注意到 T 是可逆矩阵，由上式 得 ( ( ), ( ), , ( )) A b1 A b2 A bm (A(a1 ), A(a2 ), , A(am ))T (a1 ,a2 , ,am )AT m T AT 1 1 2 ( , , , ) b b b ， 因此 B T AT 1 。 证毕 下表列出在 U 上的线性变换 A 下，U 的向量 x 的坐标变化情况： 在基 m i i 1 { } a 下的坐标 在基 m i i 1 { } b 下的坐标 x ξ 1 T ξ A(x) Aξ 1 T Aξ 例 5.2.7 在 P3 中考虑求导运算 dx d A 。由于在基 {1, , , } 2 3 x x x 下， （ A(1) , A (x), A ( ) 2 x , A ( ) 3 x ） (0, 1, 2 , 3 ) 2 x x
xx-x (1,x, 03 以及 010 =(1,x,x2,x3) 000 =(1,x,x2,x3)T, 2 000 3x2-15x3-x 因此,它在基{1x,2 下的表示矩阵应为 B=TAT 000 000 030 2050 可以直接计算 (A(1),A(x),4/3x2 =0,1,3x,(15x2-1) 2 1000 1000 0300 2050 我们已经知道,P中元素p(x)=4x3+3x2+2x+1在基{x,x2,x3}下的坐标是 5=(12,34),则在1x.22下的坐标是r=2(,54)。在 求导后,A(p)在{x,x2,x3}下的坐标为 2|6 A5 0J(4)(0 则在{1x, 3x2-15 下的坐标为 0102(5(6 2|003076 AS=B(T-S 50005 0 另一方面,通过直接计算有
(1, , , ) 2 3 x x x 0 0 3 0 2 0 1 (1, , , ) 2 3 x x x A， 以及 2 5 , 2 3 1 1, , 2 3 x x x x (1, , , ) 2 3 x x x 2 5 2 3 2 1 2 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 (1, , , ) 2 3 x x x T， 因此，它在基 2 5 , 2 3 1 1, , 2 3 x x x x 下的表示矩阵应为 B T AT 1 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 3 0 0 1 0 2 。 可以直接计算 (A (1) , A (x), A 2 3 1 2 x , A 2 5 3 x x (15 1) 2 1 ) 0, 1, 3 , 2 x x 2 5 , 2 3 1 1, , 2 3 x x x x 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 3 0 0 1 0 2 。 我们已经知道， P3 中元素 p(x) = 4 3 2 1 3 2 x x x 在基 {1, , , } 2 3 x x x 下的坐标是 T ξ (1, 2, 3, 4) ，则在 2 5 , 2 3 1 1, , 2 3 x x x x 下的坐标是 ξ 1 T 5 2 T (5, 7, 5, 4) 。在 求导后， A( p) 在 {1, , , } 2 3 x x x 下的坐标为 0 0 3 0 2 0 1 Aξ 4 3 2 1 0 12 6 2 ， 则在 2 5 , 2 3 1 1, , 2 3 x x x x 下的坐标为 T A B ξ 1 ( 1 T ξ) 5 2 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 3 0 0 1 0 2 4 5 7 5 0 8 6 6 。 另一方面，通过直接计算有
A(Pp)=(4x2+3x2+2x+1)=12x +6x+2=831 这与利用坐标向量计算的结果一致。 四.相似矩阵与相似变换 定义5.2.4设A和B是同阶方阵,若存在同阶可逆方阵T使得 B=TAT 则称A和B是相似矩阵(简称A和B相似),记作A~B 显然,相似矩阵具有相同的行列式。将A变为TAT称为对A作相似变换。 定理522告诉我们,线性空间U上同一个线性变换在任意两组基下的表示 矩阵必定相似。反过来,可以证明,如果线性空间上线性变换A在一组基下的表 示矩阵为A,矩阵B与A相似,则必有线性空间的另一组基,A在这组基下的 表示矩阵为B。 那么很自然地要问,对一个给定的线性变换A,能否找出U的一组基,使A 在这组基下的表示矩阵尽可能简单?由于最简单的表示矩阵是对角阵,因此上面 的问题等价于:对于任意一个给定的方阵,能否找到同阶可逆方阵T,使得T-AT 是对角阵,或者至少是块对角阵?这是我们在下一节要讨论的问题。 五.习题 1.(1)、(3),2,3,4,6,7
A(p) (4 3 2 1) 3 2 x x x 12 6 2 2 x x 6 6 2 3 1 8 2 x x ， 这与利用坐标向量计算的结果一致。 四．相似矩阵与相似变换 定义 5.2.4 设 A 和 B 是同阶方阵，若存在同阶可逆方阵 T 使得 B T AT 1 ， 则称 A 和 B 是相似矩阵（简称 A 和 B 相似），记作 A ~ B 。 显然，相似矩阵具有相同的行列式。将 A 变为 1 T AT 称为对 A 作相似变换。 定理 5.2.2 告诉我们，线性空间 U 上同一个线性变换在任意两组基下的表示 矩阵必定相似。反过来，可以证明，如果线性空间上线性变换 A 在一组基下的表 示矩阵为 A ，矩阵 B 与 A 相似，则必有线性空间的另一组基， A 在这组基下的 表示矩阵为 B。 那么很自然地要问，对一个给定的线性变换 A ，能否找出 U 的一组基，使 A 在这组基下的表示矩阵尽可能简单？由于最简单的表示矩阵是对角阵，因此上面 的问题等价于：对于任意一个给定的方阵，能否找到同阶可逆方阵 T，使得 1 T AT 是对角阵，或者至少是块对角阵？这是我们在下一节要讨论的问题。 五．习 题 1．（1）、（3），2，3，4，6，7
