复旦大学：《高等数学》课程精选教案_微分学中值定理.pdf_大学文库

教案微分学中值定理教学内容导数和微分是研究函数局部变化性态的有效工具,为了应用这一工具来研究函数的整体性质,需要一个联系局部与整体的桥梁,这就是微分中值定理。它在研究函数的性质和函数估计中起着重要作用,是数学理论研究的一个重要工具。本节主要讲解以下几方面的内容 (1)局部极值与 Fermat定理 (2) Rolle定理、 Lagrange中值定理和 Cauchy中值定理 (3)中值定理的初步应用。教学思路和要求 (1)首先引入局部极值的概念,再讲解取极值的必要条件: Fermat定理。要讲清楚这个问题的背景,并且使学生不但能从分析上理解证明过程,而且明白它的几何意义。 2)在结合讲解Roll定理、 Lagrange中值定理和 Cauchy中值定理的同时介绍这些定理证明的几何背景,注意引导学生发挥主动意识,避免死记硬背证明过程 (3)中值定理的应用是多方面的,因此在讲解这方面的例题时,要力求讲出解决问题的着手点和思路,注意引导学生思考,能够举一反三,自行解决问题。教学安排局部极值与 Fermat定理为了研究函数的局部性质与整体性质的联系,先要找出其局部的一些显著特征,其中之一就是极值。定义2.4.1设有函数∫,如果在x0的某个邻域O(x0,δ)上恒成立 f(x)≤f(x)(或f(x)≥f(x0) 则称x为函数∫的局部极大值点(或局部极小值点),简称为极大值点(或极小值点),称∫(x)是函数∫的局部极大值(或局部极小值),简称为极大值(或极小值)。极大值点与极小值点统称为极值点,极大值与极小值统称为极值。必须注意: 极值只取决于点x邻近函数f的性状,即只是在x0的某邻域内才相对地有意义, 所以是一种局部性质定理2.4.1( Fermat定理)若点x0是函数∫的一个极值点,且∫在x处可导,则必有 f(x0)=0 证不妨设在邻域O(x0,)内f(x)≤f(x0)。于是,当x<x时成立 f(x)-f(x0)

导数和微分是研究函数局部变化性态的有效工具，为了应用这一工具来研究函数的整体性质，需要一个联系局部与整体的桥梁，这就是微分中值定理。它在研究函数的性质和函数估计中起着重要作用，是数学理论研究的一个重要工具。本节主要讲解以下几方面的内容：（1）局部极值与 Fermat 定理；（2） Rolle 定理、Lagrange 中值定理和 Cauchy 中值定理；（3）中值定理的初步应用。（1）首先引入局部极值的概念，再讲解取极值的必要条件：Fermat 定理。要讲清楚这个问题的背景，并且使学生不但能从分析上理解证明过程，而且明白它的几何意义。（2）在结合讲解 Rolle 定理、Lagrange 中值定理和 Cauchy中值定理的同时，介绍这些定理证明的几何背景，注意引导学生发挥主动意识，避免死记硬背证明过程。（3）中值定理的应用是多方面的，因此在讲解这方面的例题时，要力求讲出解决问题的着手点和思路，注意引导学生思考，能够举一反三，自行解决问题。 Fermat 为了研究函数的局部性质与整体性质的联系，先要找出其局部的一些显著特征，其中之一就是极值。设有函数 f ，如果在 0 x 的某个邻域 ( , ) O x0  上恒成立 ( ) ( ) 0 f x  f x (或 ( ) ( ) 0 f x  f x )，则称 0 x 为函数 f 的（或），简称为（或），称 ( ) 0 f x 是函数 f 的（或），简称为（或）。极大值点与极小值点统称为极大值与极小值统称为必须注意：极值只取决于点 0 x 邻近函数 f 的性状，即只是在 0 x 的某邻域内才相对地有意义，所以是一种局部性质。（Fermat ）若点 0 x 是函数 f 的一个极值点，且 f 在 0 x 处可导，则必有 f (x0 )  0 。不妨设在邻域 ( , ) O x0  内 ( ) ( ) 0 f x  f x 。于是，当 0 x  x 时成立 0 ( ) ( ) 0 0    x x f x f x

当 0 x  x 时成立 0 ( ) ( ) 0 0    x x f x f x 。由导数定义和极限性质，即得 0 0 0 lim    x x    0 0 ( ) ( ) x x f x f x ( ) 0 f  x 0 0 lim    x x 0 ( ) ( ) 0 0    x x f x f x ，因此， ( ) 0 f  x = 0。证毕 Fermat 定理的几何意义是：函数 f 的图象如果在相应于极值的点处有切线的话，那一定是一条水平切线。注意，极值只取决于函数 f 在点 0 x 邻近的性状，即只是在 0 x 的某个邻域内 ( ) 0 f x 才相对地是最大或最小，所以它是一种局部性质。由于极值的局部性，在同一个区间内， f 的一个极小值完全有可能大于 f 的某些极大值。而且，甚至在有限区间上，函数 f 的极值点都可能有无数个。例如，在区间 (0,1) 上， (2 1) 2   n x （ n  0,1,2,  ）都是函数 f x x ( )  sin 1 的极值点，且当 n 为偶数时为极大值点，当 n 为奇数时为极小值点。二．Rolle 为了导出微分学中值定理，我们先介绍它的一种特殊形式。（Rolle 定理）设函数 f 在 [a, b] 上连续，在 (a, b) 上可导，且 f (a)  f (b)，则至少有一点  (a, b)，使得 f ()  0。因为 f 在 [a, b] 上连续，所以它在 [a, b] 上必定能取得最大值 M 和最小值 m。如果 M = m，显然 f 在 [a, b] 上恒取常值 M，此时可取 (a, b) 内任何一点作为  ，而有 f ()  0。如果 M  m ，因为 f (a)  f (b) ，所以 M 和 m 之一必不等于 f (a) ，不妨设 M  f (a) ( m  f (a) 的情况可类似讨论)，此时必有点  (a, b) ，使得 f ()  M 。因为 f 在  处可导，且取到最大值，由 Fermat 定理即得 f ()  0. 证毕 Rolle 定理的几何意义是：在定理的条件下，f 的图象上必有一点，该点处的切线与 x 轴平行（见图 2.4.1）。容易看出，当函数 f 可导时，条件“ f (x0 )  0” 只是 0 x 为 f 的极值点的必要条件，而不是充分条件。例如，函数 f (x)  x 3 ，点 x0  0 不是它的极值点，但 f (0)  0。注意，一个函数的导数不存在的点也可能是该函数的极值点。例如，函数 f (x) | x | ，x  0 是 f 的极小值点，但 f 在 x  0 点的导数不存在。在数学物理问题中有一个常用的特殊函数：Legendre ， y 0 a ξ b 图 2.4.1

[( 1) ] 2 ! 1 ( ) 2 n n n n n x dx d n P x   ， n 1,2, 。我们用Rolle定理来证明：n次Legendre多项式有n个相异的实根，它们全在 (1,1) 内。首先，对任何小于 n 的自然数 k，由高阶导数的 Leibniz 公式，得        k i k i k i n i i n i k n k k dx d x dx d x x C dx d 0 2 ( 1) ( 1) [( 1) ] ，因而 k  n 时， 1 都是多项式 k k n dx d [(x 1) ] 2  的根。由 Rolle 定理，可知 [( 1) ] 2 n x dx d  有一个根 ( 1,1)  11   。再一次用 Rolle 定理，可知 [( 1) ] 2 2 2 n x dx d  有根 ( 1, )  21   11 和 ( ,1)  22   11 。依此类推，得 [( 1) ] 2 1 1 n n n x dx d    有 n 1 个根 1   n1,1   n1,2   n1,n1  1。最后，仍根据 Rolle 定理， P (x) n 有 n 个根 ( 1, ), ( , ), 2,3, , 1, ( , 1) n,1   n1,1 n,i  n1,i1 n1,i  n  n,n  n1,n1      i    。证毕 Rolle 定理中 f(a) = f(b)是一个相当特殊的条件，它使这个定理的应用受到很大的限制，取消这个条件，就得到了十分重要的微分学中值定理（Lagrange ）。（）设函数 f 在 [a, b] 上连续，在 (a, b) 上可导，则至少有一点  (a, b)，使得 f (b)  f (a)  f ()(b  a)。注：在证明之前，先说明一下定理的几何意义。在直角坐标系中作出 [a, b] 上函数 f 的图象，连结图象上两个端点 A，B（图 2.4.2），易见弦 AB 的斜率为 b a f b f a  ( )  ( ) 。中值定理告诉我们，在相应的条件下，可以在图象上找到一点，该点处图象的切线与弦 AB 平行。显然，Rolle 定理是 Lagrange 定理的特殊情况，我们将用构造辅助函数的方法，利用特殊情况下的结论来处理一般的问题。引入辅助函数 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x a b a f b f a x f x       ， x[a, b]。显然，函数  在 [a, b] 上连续，在 (a, b) 上可导，且 (a) (b)  f (a) 。由 Rolle 定理可知至少存在一点  (a, b) ，使得 ()  0 ，此即 b a f b f a f     ( ) ( ) () 。 y 0 a ξ b A B 图 2.4.2