复旦大学：《高等数学》课程精选教案_微分学中值定理

教案 微分学中值定理 教学内容 导数和微分是研究函数局部变化性态的有效工具,为了应用这一工具来研究 函数的整体性质,需要一个联系局部与整体的桥梁,这就是微分中值定理。它在 研究函数的性质和函数估计中起着重要作用,是数学理论研究的一个重要工具。 本节主要讲解以下几方面的内容 (1)局部极值与 Fermat定理 (2) Rolle定理、 Lagrange中值定理和 Cauchy中值定理 (3)中值定理的初步应用。 教学思路和要求 (1)首先引入局部极值的概念,再讲解取极值的必要条件: Fermat定理。 要讲清楚这个问题的背景,并且使学生不但能从分析上理解证明过程,而且明白 它的几何意义。 2)在结合讲解Roll定理、 Lagrange中值定理和 Cauchy中值定理的同时 介绍这些定理证明的几何背景,注意引导学生发挥主动意识,避免死记硬背证明 过程 (3)中值定理的应用是多方面的,因此在讲解这方面的例题时,要力求讲 出解决问题的着手点和思路,注意引导学生思考,能够举一反三,自行解决问题。 教学安排 局部极值与 Fermat定理 为了研究函数的局部性质与整体性质的联系,先要找出其局部的一些显著特 征,其中之一就是极值。 定义2.4.1设有函数∫,如果在x0的某个邻域O(x0,δ)上恒成立 f(x)≤f(x)(或f(x)≥f(x0) 则称x为函数∫的局部极大值点(或局部极小值点),简称为极大值点(或极小 值点),称∫(x)是函数∫的局部极大值(或局部极小值),简称为极大值(或极 小值)。 极大值点与极小值点统称为极值点,极大值与极小值统称为极值。必须注意: 极值只取决于点x邻近函数f的性状,即只是在x0的某邻域内才相对地有意义, 所以是一种局部性质 定理2.4.1( Fermat定理)若点x0是函数∫的一个极值点,且∫在x处可 导,则必有 f(x0)=0 证不妨设在邻域O(x0,)内f(x)≤f(x0)。于是,当x<x时成立 f(x)-f(x0)

导数和微分是研究函数局部变化性态的有效工具，为了应用这一工具来研究 函数的整体性质，需要一个联系局部与整体的桥梁，这就是微分中值定理。它在 研究函数的性质和函数估计中起着重要作用，是数学理论研究的一个重要工具。 本节主要讲解以下几方面的内容： （1） 局部极值与 Fermat 定理； （2） Rolle 定理、Lagrange 中值定理和 Cauchy 中值定理； （3） 中值定理的初步应用。 （1） 首先引入局部极值的概念，再讲解取极值的必要条件：Fermat 定理。 要讲清楚这个问题的背景，并且使学生不但能从分析上理解证明过程，而且明白 它的几何意义。 （2） 在结合讲解 Rolle 定理、Lagrange 中值定理和 Cauchy中值定理的同时， 介绍这些定理证明的几何背景，注意引导学生发挥主动意识，避免死记硬背证明 过程。 （3） 中值定理的应用是多方面的，因此在讲解这方面的例题时，要力求讲 出解决问题的着手点和思路，注意引导学生思考，能够举一反三，自行解决问题。 Fermat 为了研究函数的局部性质与整体性质的联系，先要找出其局部的一些显著特 征，其中之一就是极值。 设有函数 f ，如果在 0 x 的某个邻域 ( , ) O x0  上恒成立 ( ) ( ) 0 f x  f x (或 ( ) ( ) 0 f x  f x )， 则称 0 x 为函数 f 的 （或 ），简称为 （或 ），称 ( ) 0 f x 是函数 f 的 （或 ），简称为 （或 ）。 极大值点与极小值点统称为 极大值与极小值统称为 必须注意： 极值只取决于点 0 x 邻近函数 f 的性状，即只是在 0 x 的某邻域内才相对地有意义， 所以是一种局部性质。 （Fermat ） 若点 0 x 是函数 f 的一个极值点，且 f 在 0 x 处可 导，则必有 f (x0 )  0 。 不妨设在邻域 ( , ) O x0  内 ( ) ( ) 0 f x  f x 。于是，当 0 x  x 时成立 0 ( ) ( ) 0 0    x x f x f x

当x>x0时成立 f(x)-f(x0)m,因为f(a)=f(b),所以M和m之一必不等于f(a),不妨设 M≠f(a)(m≠f(a)的情况可类似讨论),此时必有点ξ∈(a,b),使得f()=M。 因为∫在ξ处可导,且取到最大值,由 Fermat定理即得f()=0 证毕 Role定理的几何意义是:在定理的条件下,f的 图象上必有一点,该点处的切线与x轴平行(见图 2.4.1) 容易看出,当函数∫可导时,条件“f(x0)=0” 只是x0为∫的极值点的必要条件,而不是充分条件。 例如,函数f(x)=x3,点x0=0不是它的极值点,但 f(O=0。注意,一个函数的导数不存在的点也可能 是该函数的极值点。例如,函数f(x)=x,x=0是f 图2.4. 的极小值点,但∫在x=0点的导数不存在。 例在数学物理问题中有一个常用的特殊函数: Legendre多项式

当 0 x  x 时成立 0 ( ) ( ) 0 0    x x f x f x 。 由导数定义和极限性质，即得 0 0 0 lim    x x    0 0 ( ) ( ) x x f x f x ( ) 0 f  x 0 0 lim    x x 0 ( ) ( ) 0 0    x x f x f x ， 因此， ( ) 0 f  x = 0。 证毕 Fermat 定理的几何意义是：函数 f 的图象如果在相应于极值的点处有切线的 话，那一定是一条水平切线。 注意，极值只取决于函数 f 在点 0 x 邻近的性状，即只是在 0 x 的某个邻域内 ( ) 0 f x 才相对地是最大或最小，所以它是一种局部性质。由于极值的局部性，在 同一个区间内， f 的一个极小值完全有可能大于 f 的某些极大值。而且，甚至在 有限区间上，函数 f 的极值点都可能有无数个。例如，在区间 (0,1) 上， (2 1) 2   n x （ n  0,1,2,  ）都是函数 f x x ( )  sin 1 的极值点，且当 n 为偶数时为 极大值点，当 n 为奇数时为极小值点。 二．Rolle 为了导出微分学中值定理，我们先介绍它的一种特殊形式。 （Rolle 定理） 设函数 f 在 [a, b] 上连续，在 (a, b) 上可导，且 f (a)  f (b)，则至少有一点  (a, b)，使得 f ()  0。 因为 f 在 [a, b] 上连续，所以它在 [a, b] 上必定能取得最大值 M 和最小值 m。 如果 M = m，显然 f 在 [a, b] 上恒取常值 M，此时可取 (a, b) 内任何一点作为  ，而有 f ()  0。 如果 M  m ，因为 f (a)  f (b) ，所以 M 和 m 之一必不等于 f (a) ，不妨设 M  f (a) ( m  f (a) 的情况可类似讨论)，此时必有点  (a, b) ，使得 f ()  M 。 因为 f 在  处可导，且取到最大值，由 Fermat 定理即得 f ()  0. 证毕 Rolle 定理的几何意义是：在定理的条件下，f 的 图象上必有一点，该点处的切线与 x 轴平行（见图 2.4.1）。 容易看出，当函数 f 可导时，条件“ f (x0 )  0” 只是 0 x 为 f 的极值点的必要条件，而不是充分条件。 例如，函数 f (x)  x 3 ，点 x0  0 不是它的极值点，但 f (0)  0。注意，一个函数的导数不存在的点也可能 是该函数的极值点。例如，函数 f (x) | x | ，x  0 是 f 的极小值点，但 f 在 x  0 点的导数不存在。 在数学物理问题中有一个常用的特殊函数：Legendre ， y 0 a ξ b 图 2.4.1

(x)=-1d (x2-1)],n=1,2, 2n川!dx 我们用Roll定理来证明:n次 Legendre多项式有n个相异的实根,它们全在(-1,1) 内 证首先,对任何小于n的自然数k,由高阶导数的 Leibniz公式,得 a(x2-1)=∑c“(x-1“(x+1 dx d 因而k<n时,±1都是多项式(x-1)的根。 dx 由Role定理,可知[(x2-1]有一个根51∈(-1,1)。 再一次用Roll定理,可知[(x2-1]有根51∈(-151)和2∈(51,1) 依此类推,得 d (x2-1)]有n-1个根 最后,仍根据 Rolle定理,P(x)有n个根 5n∈(-15n-1),5n∈(5n1-1,5n1)i=2,3,…n-1,5nn∈(5n-,n1,1)。 证毕 三.微分学中值定理 Rolle定理中f(a)=∫(b)是一个相当特殊的条件,它使这个定理的应用受到 很大的限制,取消这个条件,就得到了十分重要的微分学中值定理( Lagrange 中值定理)。 定理2.4.3(微分学中值定理)设函数∫在[ab]上连续,在(a,b)上可导, 则至少有一点ξ∈(a,b),使得 f(b)-f(a)=f()(b-a) B 注:在证明之前,先说明一下定理的几何意义。在 直角坐标系中作出{b上函数∫的图象,连结图象上 两个端点A,B(图2.4.2),易见弦AB的斜率为 ∫(b)-f(a。中值定理告诉我们,在相应的条件下, 可以在图象上找到一点,该点处图象的切线与弦AB 图2.4.2 平行 显然, Rolle定理是 Lagrange定理的特殊情况,我们将用构造辅助函数的方 法,利用特殊情况下的结论来处理一般的问题。 证引入辅助函数 p(x=f(x-1(b)-/a(x-a), xela, bl b 显然,函数φ在[a,b]上连续,在(a,b)上可导,且o(a)=(b)=f(a)。由 Rolle 定理可知至少存在一点5∈(a,b),使得φ(5)=0,此即 f(2)= ∫(b)-f(a) b

[( 1) ] 2 ! 1 ( ) 2 n n n n n x dx d n P x   ， n 1,2, 。 我们用Rolle定理来证明：n次Legendre多项式有n个相异的实根，它们全在 (1,1) 内。 首先，对任何小于 n 的自然数 k，由高阶导数的 Leibniz 公式，得        k i k i k i n i i n i k n k k dx d x dx d x x C dx d 0 2 ( 1) ( 1) [( 1) ] ， 因而 k  n 时， 1 都是多项式 k k n dx d [(x 1) ] 2  的根。 由 Rolle 定理，可知 [( 1) ] 2 n x dx d  有一个根 ( 1,1)  11   。 再一次用 Rolle 定理，可知 [( 1) ] 2 2 2 n x dx d  有根 ( 1, )  21   11 和 ( ,1)  22   11 。 依此类推，得 [( 1) ] 2 1 1 n n n x dx d    有 n 1 个根 1   n1,1   n1,2   n1,n1  1。 最后，仍根据 Rolle 定理， P (x) n 有 n 个根 ( 1, ), ( , ), 2,3, , 1, ( , 1) n,1   n1,1 n,i  n1,i1 n1,i  n  n,n  n1,n1      i    。 证毕 Rolle 定理中 f(a) = f(b)是一个相当特殊的条件，它使这个定理的应用受到 很大的限制，取消这个条件，就得到了十分重要的微分学中值定理（Lagrange ）。 （ ） 设函数 f 在 [a, b] 上连续，在 (a, b) 上可导， 则至少有一点  (a, b)，使得 f (b)  f (a)  f ()(b  a)。 注：在证明之前，先说明一下定理的几何意义。在 直角坐标系中作出 [a, b] 上函数 f 的图象，连结图象上 两个端点 A，B（图 2.4.2），易见弦 AB 的斜率为 b a f b f a  ( )  ( ) 。中值定理告诉我们，在相应的条件下， 可以在图象上找到一点，该点处图象的切线与弦 AB 平行。 显然，Rolle 定理是 Lagrange 定理的特殊情况，我们将用构造辅助函数的方 法，利用特殊情况下的结论来处理一般的问题。 引入辅助函数 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x a b a f b f a x f x       ， x[a, b]。 显然，函数  在 [a, b] 上连续，在 (a, b) 上可导，且 (a) (b)  f (a) 。由 Rolle 定理可知至少存在一点  (a, b) ，使得 ()  0 ，此即 b a f b f a f     ( ) ( ) () 。 y 0 a ξ b A B 图 2.4.2

这就是所要证明的。 证毕 微分学中值定理的关系式还可写成 f(b)=f(a)+f(a+0(b-a)(b-a) 其中00时成立 arctan<x 证对函数 arctan应用 Lagrange公式,得到 arctanx= arctanx-arctanO 其中0<5<x,注意到1<1+22<1+x2即得结论。 证毕 例证明:在[-1,上成立 resins+ arccos=一a 证作函数 f(x)=arcsin x+arccosx, xE[,I 则在(-1,1)上成立

这就是所要证明的。 证毕 微分学中值定理的关系式还可写成 f (b)  f (a)  f (a (b a))(b a) ， 其中 0   1 。如果记 x  a ，x  b  a ，则上式可表述为 f (x x)  f (x)  f (x x)x， 其中 0   1 。这些关系式都被称作 Lagrange 公式。 我们已经知道常值函数的导数为 0，由微分学中值定理，可以证明： 设 f 是 (a, b) 上的可微函数，且对任何 x(a, b)， f (x)  0，则 f 在 (a, b) 上恒为常数。 对任何 a  x0  x1  b ，由 Lagrange 公式 f (x1 )  f (x0 )  f ()(x1  x0 )  0， 其中 0 1 x    x ，因此， ( ) ( ) 1 0 f x  f x ，从而 f 恒为常数。 证毕 设 f 和 g 均是 (a, b) 上的可微函数，且 f   g ，则必有常数 c， 使得 f (x)  g(x) c 在 (a, b) 上恒成立。 这只要对函数 f  g 用推论 2.4.1 的结论即可。 证毕 证明不等式 | arctana arctanb|| a b|。 显然, f (x)  arctanx 在任意区间 [a, b] 上满足 Lagrange 中值定理条件， 所以，存在  ( a, b) ，满足 | arctana arctanb| | f () |  |a  b | | | 1 1 2  a  b    ， 即 | arctana arctanb| | a b| 。 证毕 证明：当 x  0 时成立 x x x x    arctan 1 2 。 对函数 arctan 应用 Lagrange 公式，得到 arctanx  arctanx  arctan0 =(arctan ) | (  0)  x x x  = 2 1  x ， 其中 0   x ，注意到 2 2 11 1 x 即得结论。 证毕 证明：在 [1, 1] 上成立 2 arcsin arccos  x  x  。 作函数 f (x)  arcsin x arccosx， x[1,1]。 则在 (1,1) 上成立

f(x)=(arcsinx)+(arccosx) 所以由推论3.1.1知,在(-1,1)上成立 注意到 c=f(o)=arcsin+arccos= 从而在(-1,1上成立 arcsinx+ arccos 由于∫在[-1,1上连续,上式在[-1,1上也成立。 证毕 四. Cauchy中值定理 作为 Lagrange中值定理的推广,下面给出 Cauchy中值定理,它在理论研究 中有着重要的应用,下一节就会看到,由此可以导出非常重要的 L Hospital法则。 定理24.4( Cauchy中值定理)设函数∫和g均在[a,b]上连续,在(an,b) 上可导,且当x∈(a,b)时g(x)≠0,则至少存在一点5∈(a,b),使得 f(b)-f(a)f'(5) g(b)-g(a)g'() 证由于当x∈(a,b)时g(x)≠0,由 Lagrange公式知g(b)-g(a)≠0。作辅 助函数 p(x)=f(x) f∫(b)-f(a) g(x)-g(a),x∈[a,b], g(b)-g(a 则在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且a)=%(b)=f(a),从而由Role定理, 必有∈(a,b),使得φ()=0。这就是所要证明的。 证毕 注:当g(x)=x时,这个定理又回到了 Lagrange中值定理,因此 Cauchy中 值定理是 Lagrange中值定理的一个推广 Cauchy中值定理有类似于 Lagrange中值定理的几何解释:设在直角坐标系 中,有以参数方程 「x=g(1) t∈[a,b] y=f(1) 给出的连续曲线,其中f,g都是可微的,那末在曲线上至少能找到一点,该点 处曲线的切线与曲线两端的连线平行 例证明:当x>0时,成立不等式 x-mn(1+x)1 证设f(x)=x-h(1+x),8(x)=x2,则 1+x1+x g(x)=2 当x>0时,应用 Cauchy中值定理得

0 1 1 1 1 ( ) (arcsin ) (arccos ) 2 2           x x f x x x ， 所以由推论 3.1.1 知，在 (1,1) 上成立 f (x)  c。 注意到 2 (0) arcsin0 arccos0  c  f    。 从而在 (1,1) 上成立 2 arcsin arccos  x  x  。 由于 f 在 [1, 1] 上连续，上式在 [1, 1] 上也成立。 证毕 Cauchy 作为 Lagrange 中值定理的推广，下面给出 Cauchy 中值定理，它在理论研究 中有着重要的应用，下一节就会看到，由此可以导出非常重要的 L’ Hospital 法则。 Cauchy 设函数 f 和 g 均在 [a, b] 上连续，在 (a, b) 上可导，且当 x(a, b) 时 g (x)  0 ，则至少存在一点  (a, b) ，使得 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )   g f g b g a f b f a      。 由于当 x(a, b) 时 g (x)  0 ，由 Lagrange 公式知 g(b)  g(a)  0 。作辅 助函数 [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) g x g a g b g a f b f a x f x       ， x[a, b]， 则  在 [a, b] 上连续，在 (a, b) 内可导，且 (a) (b)  f (a) ，从而由 Rolle 定理， 必有  (a, b) ，使得 ()  0 。这就是所要证明的。 证毕 当 g(x)= x 时，这个定理又回到了 Lagrange 中值定理，因此 Cauchy 中 值定理是 Lagrange 中值定理的一个推广。 Cauchy 中值定理有类似于 Lagrange 中值定理的几何解释：设在直角坐标系 中，有以参数方程      ( ), ( ), y f t x g t t [a, b] 给出的连续曲线，其中 f，g 都是可微的，那末在曲线上至少能找到一点，该点 处曲线的切线与曲线两端的连线平行。 证明：当 x  0 时，成立不等式 2 ln(1 ) 1 2(1 ) 1 2      x x x x 。 设 f (x)  x ln(1 x)， 2 g(x)  x ，则 x x x f x       1 1 1 ( ) 1 ， g (x)  2x。 当 x  0 时，应用 Cauchy 中值定理得

x-l(1+x)f(x)-f(0)f()1+51 g(x)-g(0)g'( 2(1+5 其中0<5<x。注意到1<1+5<1+x即得结论。 证毕 五.进一步的问题 作为本节讨论的继续和应用,我们接下来将研究不定型的极限、函数的单调 性、极值和最值、曲线的凸性、函数图形的描绘和关于函数更精确的近似公式等 问题。 六.习题 1;2;3:4(2),(3);5(2);7;8;9

2(1 ) 1 2 1 ( ) ( ) ( ) (0) ln(1 ) ( ) (0) 2                   g f g x g f x f x x x ， 其中 0   x 。注意到 11 1 x 即得结论。 证毕 作为本节讨论的继续和应用，我们接下来将研究不定型的极限、函数的单调 性、极值和最值、曲线的凸性、函数图形的描绘和关于函数更精确的近似公式等 问题。 1；2；3；4 （2），（3）；5（2）；7；8；9