复旦大学：《高等数学》课程精选教案_Green公式和Stokes公式.pdf_大学文库

教案 Green 公式和 Stokes 公式教学内容 Green 公式、Stokes 公式和 Gauss 公式都反映了某“区域”上的积分与其边界上的积分之间关系。无论是结论的形式，抑或推导的过程，它们与 Newton-Leibniz 公式是一脉相承的，而且最终可以表成统一的形式；同时，它们也和 Newton-Leibniz 公式一样，在各类理论或实际问题中有着广泛的应用。本节介绍 Green 公式 Stokes 公式，具体内容如下：（1） Green 公式及其证明；（2） Stokes 公式及其证明；（3）利用 Green 公式和 Stokes 公式计算曲线积分。教学思路和要求（1）首先介绍区域或曲面边界的诱导定向的概念，进而引出 Green 公式和 Stokes 公式，这是课程的重点；（2）对简单形式的区域证明 Green 公式和；（3）对简单形式的有向曲面证明 Stokes 公式；（4）讲解利用 Green 公式和 Stokes 公式计算曲线积分的方法，这也是课程的重点。教学安排一．Green 公式先介绍单连通区域的概念。设 D 为一平面区域。如果 D 内任何一条闭曲线都可以在不触及边界的过程中连续地收缩成一点，就称 D 为单连通区域；否则，称为复连通区域。通俗地说，单连通区域就是不含有“洞”的区域，复连通区域中含有 “ 洞 ”。例如，单位圆盘 {( , )| 1} 2 2 x y x  y  是单连通的，而圆环 {( , )|1 2} 2 2 x y  x  y  是复连通的。对于平面区域 D ，其边界 D 的正向规定如下：当观察者沿 D 的这个方向行进时，区域 D 在他近旁的部分总是处于他的左侧。例如，对于圆环 {( , )|1 2} 2 2 D  x y  x  y  ，D 的一部分： {( , )| 2} 2 2 x y x  y  的正向是逆时针方向；另一部分： {( , )| 1} 2 2 x y x  y  的正向则是顺时针方向。定理 8.8.1（Green 公式）设平面有界闭区域 D 的边界由有限段光滑的曲线构成，二元函数 P ，Q 在 D 上具有连续一阶偏导数，则有                  D D dxdy y P x Q Pdx Qdy ，其中  D 取正向。证先讨论单连通区域的情况。如果区域 D 同时可以表示为以下两种形式： {( , ) | ( ) ( ), } D  x y y1 x  y  y2 x a  x  b

2 y e y P x Q        。取 D 的定向逆时针方向，则由 Green 公式得       D D y y e dxdy xe dy 2 2 xe dy OA y    2            e xe dx x 1 1 2 1 1 0 2 。例 8.8.4 计算第二类曲线积分     L x x (e sin y my)dx (e cos y m)dy，其中 L 为圆 2 2 2 (x  a)  y  a （ a  0 ）的上半圆周部分，方向为从点 A(2a, 0)，到原点 O(0, 0) （图 8.8.5）。解为了使用 Green 公式以简化运算，作自 O 至 A 的有向线段 OA ，把 L 与 OA 合并就得一条定向为逆时针方向的有向闭曲线，记其所围区域为 D 。利用 Green 公式可得 e y my dx e y m dy x x L O A ( sin  )  ( cos  )                          D x x e y my dxdy y e y m x ( cos ) ( sin )    D m a m dxdy 2 2  。再计算沿 OA 的曲线积分，因为 OA 的方程为 y  0， x : 0  2a ，所以     O A x x (e sin y my)dx (e cos y m)dy= 0 0 0 2 0    a dx 。代入前面的式子即得 2 ( sin ) ( cos ) 2 m a e y my dx e y m dy L x x       。例 8.8.5 计算曲线积分     L x y xdy ydx I 2 2 ，其中 L 为一条分段光滑，且不经过原点的简单闭曲线（即不自交的闭曲线），方向为正向。解记 2 2 x y y P    ， 2 2 x y x Q   。当 0 2 2 x  y  时， P ，Q 及其一阶偏导数均连续，且 y P x y y x x Q         2 2 2 2 2 ( ) 。当 L 所围的区域 D 不包含原点时，由 Green 公式知， I  0。当 L 所围的区域 D 包含原点时，取适当小的 r  0 ，使圆周 l ： 2 2 2 x  y  r 位于 D 内，以逆时针方向作为 l 的正向。于是，由 L 和 l 所围的复连通区域 D1 不包含原点。 D1 的边界是有向闭曲线  L l ，其中  l 与 l 方向相反。由 Green 公式， y B A O x 图 8.8.4 x O y A 图 8.8.5

0 2 2               x y xdy ydx L l ，即          L l x y xdy ydx x y xdy ydx 2 2 2 2     l x y xdy ydx 2 2 。因为 l 的参数方程为 x  r cost ， y  rsin t ，所以        L l x y xdy ydx x y xdy ydx 2 2 2 2 dt r t r t r t r t r t r t       2 0 2 2 2 2 cos sin cos cos sin ( sin )   2 2 0    dt 。在这个例子中利用 Green 公式来改变积分路径的方法，在下一节还将加以讨论。 Green 公式可以看作 Newton-Leibniz 公式在二维空间的推广。为说明这一点，设 f 在 [a,b] 上具有连续导函数，   [a, b][0,1] （其图形的四个定点依次记为 A ， B ，C ， D ，见图 8.8.6）。利用 Green 公式可得     f (x)dxdy  f (x)dy，即得       b a b a f (x)dx dy f (x)dx 1 0 f x dy AB BC CD DA ( )                 f x dy BC DA ( )                0 1 1 0 f (b)dy f (a)dy  f (b)  f (a) 。这就是 Newton-Leibniz 公式。二．Stokes 公式在 Green 公式基础上建立起来的 Stokes 公式，揭示了第二类曲面积分与以该曲面边界曲线为路径的第二类曲线积分之间的内在关系，可视作 Green 公式的一个自然推广。设  是具有分段光滑边界的光滑的有向曲面，今按右手规则确定  的边界  的定向：即右手的四指按  的正向弯曲时，姆指指向  的法向。称  的这个定向为  的诱导定向。定理 8.8.2 (Stokes 公式) 设  为光滑的有向曲面，其边界  为分段光滑闭曲线。如果三元函数 P ，Q， R 在  及其边界上具有连续一阶偏导数，则   Pdx  Qdy  Rdz                                           dxdy y P x Q dzdx x R z P dydz z Q y R y O x D C A B 图 8.8.6

                                                z d S y P x Q y x R z P x z Q y R cos(n, ) cos(n, ) cos(n, ) ，其中  按诱导定向。证为避免复杂的论述，只讨论曲面  可以同时作如下三种描述的情况，即 {( , , )| ( , ),( , ) }xy   x y z z  z x y x y  {( , , )| ( , ),( , ) }z x  x y z y  y z x z x  {( , , )| ( , ),( , ) }yz  x y z x  x y z y z  。不失一般性，设  的定向取作上侧（见图 8.8.7）。先把空间 3 R 中沿  的第二类曲线积分   P(x, y,z)dx 化为平面上沿 xy 的第二类曲线积分，再应用 Green 公式化为二重积分得      xy P(x, y,z)dx P(x, y,z(x, y))dx         xy P P z dxdy y z y ( ) 。注意到  上侧的法向量 n 的方向余弦为： 2 2 1 cos( , ) x y x z z z x       n  ， 2 2 1 cos( , ) x y y z z z y       n  ， 2 2 1 1 cos( , ) x y z z z     n  ，从而有向面积微元的投影间满足关系  z  ydxdy  z  y cos(n,z)dS  cos(n, y)dS  dzdx。再把前面得到的二重积分转化为第二类曲面积分，则有     P x y z x y dxdy  P x y z dxdy y y xy ( , , ( , )) ( , , ) ，     P x y z x y z  x y dxdy  P x y z z  x y dxdy z y z y xy ( , , ( , )) ( , ) ( , , ) ( , )     P x y z dzdx z ( , , ) 。因此，           xy P x y z dx P P z dxdy y z y ( , , ) ( )    Pdzdx Pdxdy z y 。同理可证     Q x y z dy  Qdxdy Qdydz x z ( , , ) 。     R x y z dz  R dydz Rdzdx y x ( , , ) 。三式相加，即得 Stokes 公式。证毕注对  是 Oxy 平面上区域的特殊情况，Stokes 公式就是 Green 公式。为便于记忆，定理中 Stokes 公式用第二类曲面积分和第一类曲面积分描述的两种形式又可分别表示为 z O x y Σ  Σ xy 图 8.8.7