§4微分学中值定理 微分和导数是讨论小增量的有效工具。微分 中值定理是研究宏观增量、函数特征的一个有力 工具,不仅是微分学中最重要的结论之一,而且 在积分学、级数理论等以高等数学为基础的许多 后续课程中,发挥着重要的作用,也是研究问题 的重要辅助手段
1 §4 微分学中值定理 微分和导数是讨论小增量的有效工具。微分 中值定理是研究宏观增量、函数特征的一个有力 工具，不仅是微分学中最重要的结论之一，而且 在积分学、级数理论等以高等数学为基础的许多 后续课程中，发挥着重要的作用，也是研究问题 的重要辅助手段
函数极值和 Fermat定理 设有函数f,如果在U(x)中的一切x, 恒有f(x)≤f(x)(f(x)≥f(x0)成立, 则称x为函数f的局部极大(小)值点, 简称极大(小)值点; 称f(x)为函数f的局部极大(小)值 简称极大(小)值。 x2 x 注意: 极值是局部的概念,只取决于点x邻近∫的形状; 在(a,b)内,∫的极小值完全可能大于其极大值; ∫在(a,b)中极值点可以有无数个
a x1 x2 b x x0 x 2 一、函数极值和 Fermat 定理 ( ( ) ( )) x0 f x f 0 设有函数 f ，如果在 U x( ) 中的一切 x ， 0 恒有 f x f x ( ) ( ) 成立， 则称 x0 为函数 f 的局部极大（小） 值点， 简称 极大（小） 值点； 称 f (x0 ) 为函数 f 的局部极大（小） 值， 简称 极大（小） 值。 注意： 极值是局部的概念，只取决于点 x0 邻近 f 的形状； 在 (a, b) 内， f 的极小值完全可能大于其极大值； f 在(a, b) 中极值点可以有无数个
fermat定理 设点x是函数f的一个极值点,且f在x处可导 则必有∫(x0)=0 证:不妨设在U(x0,)内,∫(x)≤f(x0 当 时 f(x)-f(x0) xx时 f(x)-f(x0) 0 x- 0≥inf(x)-/(/ X- r1x)=mimf()f(x2≥0 →f(x)=0 3
3 Fermat 定理： 设点 x0 是函数 f 的一个极值点，且 f 在 x0 处可导 0 则必有 f x ( ) 0 . 证： 0 0 不妨设在 U x f x f x ( , ) ( ) ( ) 内， ， 0 ( ) ( ) 0 0 x x f x f x 当 x x0 时， 0 0 ( ) ( ) 0 lim 0 x x f x f x x x ( ) x0 f 0 0 ( ) ( ) lim 0 x x f x f x x x 0 f (x0 ) 0
Fermat定理的几何意义 若曲线∫(x)在其极点处可导,或者说在该点存在 切线,那么这条切线必定平行于x轴。 Role定理 设函数∫∈C1a,在(a,b)内可导,且f(a)=f(b) 则至少存在一点∈(a,b,∫()=0 几何意义: C 满足定理条件的函数至 y=∫(x) 少有一点C,在该点处的 切线平行于x轴,也与曲 线两端点的连线平行。 52 bx
4 Fermat 定理的几何意义 若曲线 f (x) 在其极点处可导，或者说在该点存在 切线，那么这条切线必定平行于 x 轴。 二、 Rolle 定理 设函数 [ , ] , a b f C 在 (a, b) 内可导，且 f a f b ( ) ( ) 则至少存在一点 ( , ), a b f ( ) 0 几何意义： 满足定理条件的函数至 少有一点 C ，在该点处的 切线平行于 x 轴，也与曲 线两端点的连线平行。 a 1 2 b x y o y f (x) C
证:∵:f(x)∈C1ab必有最大值M和最小值m, 1)若M=m,则∫(x)=M又∵∫在处可导, f(x)=0V∈(a,b)都有f(4)=0 2)若M≠m∵:∫(an)=f(b) 最值不可能同时在端点取得 设M≠f(a),即M∈(a,b)内,当然M≠f(b 不妨设M=f(4), 则M=f(5)>f(a)=f(b),5∈(a,b) 由极值点的定义,显然5是极大值点, 由 Fermat定理,∴∫()=0; f()=0
5 [ , ] ( ) a b f x C f (x) 0 (a, b) f (a) f (b) 又 f 在 处可导， f( ) 0 ; 证： 必有最大值 M 和最小值 m ， 1）若 M = m , 则 f (x) = M 都有 f( ) 0 ; 2）若 M m ∴最值不可能同时在端点取得 设 M f a ( ) , 不妨设 M f ( ) , 即 M a b ( , ) 内， 当然 M f b ( ) 则 M f f a f b ( ) ( ) ( ) , 由极值点的定义， ( , ) a b 显然 是极大值点， 由 Fermat 定理， f( ) 0 .
例1、设∫(x)∈Cab在(a,b)内可导,a>0, 则在(a,b)内至少存在一点, 2f(a)-f(b)=(a2-b2)f(4) 例2、设∫(x)∈C0.n,f(x)∈Do,,且f(0)=f(1)=0 1,证明:彐ξ∈(0,1),3∫(4)=1
6 2 [ ( ) ( )] ( ) ( ) 2 2 f a f b a b f [ , ] ( ) a b 例1、设 f x C 在 (a, b) 内可导，a > 0 ， 则在 (a, b) 内至少存在一点 ， [0, 1] 例2、设 f x C ( ) , f x D ( ) , [0, 1] 且 f f (0) (1) 0 1 1 , 2 f 证明: (0, 1), ( ) 1 f
、微分学中值定理 agrange 中值定理 设函数f∈Ca,在(a,b)内可导, 则至少存在一点∈(a,b),3∫(b)-f(a)=f(b-a) 几何意义 在曲线弧AB上至少有 f∫( B 点C,在该点处的 D 切线平行于弦AB (x)=(f(6)-/oa51x量x 证:作辅助函数 (x-a) b 显然q(x)∈C{ab1,在(a,b)内可导,且 qp(a)=f(a)=(b=∫(a)
7 三、微分学中值定理 f (b) f (a) f ( )(b a) o a 1 x 2 b x y y f (x) A B C N D M Lagrange 中值定理 设函数 [ , ] , a b f C 在 (a, b) 内可导， 则至少存在一点 ( , ), a b 几何意义： 一点 C ，在该点处的 切线平行于弦 AB . 在曲线弧 AB 上至少有 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x a b a f b f a x f x 证: 作辅助函数 显然 [ , ] ( ) , a b x C 在 (a, b) 内可导，且 ( ) ( ) a f a (b) f (a)
由 Rolle定理可知 则至少存在一点∈(an,b),3p(4)=0 即φ()=f() f∫(b)-f(an 0 b ∫(4)= f(b)-(a) b-a →f(b)-f(a)=f(4)(b-a →f(b)=∫(a)+f(4)(b-a) f(b)-f(a)=f{a+6(b-a)l(b-a)(*) 记x=aA=b 0<6<1 f(x+△x)-f(x)=f(x+的x)△x(*") 0<6<1 (*),(*),(*”)均为 Lagrange公式
8 ( ) 0 ∴由 Rolle 定理可知 则至少存在一点 ( , ), a b ( ) ( ) ( ) ( ) 0 f b f a f b a 即 b a f b a f ( ) ( ) ( ) f (b) f (a) f ( )(b a) () f (b) f (a) f ( )(b a) f b f a f a b a b a ( ) ( ) [ ( )]( ) () 0 1 f x x f x f x x x ( ) ( ) ( ) () 0 1 (),(),()均为Lagrange 公式 记 x a x b a
推论1设∫是(a,b)上的可微函数, 对任何x∈(a,b),∫'(x)=0 则∫在(a,b)上恒为常数 证:对Va<x<x<b,由 lagrange公式 f(x1)-f(x)=f()x1-x)x<5<x1 又∵∫'(x)=0∴f(x1)-f(x0)=0 即f(x1)=f(x0) f(x)恒为常数
9 ( ) ( ) ( )( ) 1 0 x1 x0 f x f x f x0 x1 f (x1 ) f (x0 ) 0 推论1 设 f 是 (a, b) 上的可微函数， 对任何 x a b f x ( , ), ( ) 0 则 f 在 (a, b) 上恒为常数。 证: 0 1 对 a x x b , 由 Lagrange 公式 又 f x ( ) 0 1 0 即 f x f x ( ) ( ) ∴ f (x) 恒为常数
推论2设∫和g均是(a,b)上的可微函数, 则必有常数C 3f(x)=g(x)+C在(a,b)上恒成立 证:令F(x)=f(x)-g(x) = F(x)=f(x)-g(x)=0(=g) 由推论1→F(x)=C 即f(x)-g(x)=C 利用中值定理可证明一些不等式
10 F(x) f (x) g (x) 0 ( f g ) F(x) C f (x) g(x)C 推论2 设 f 和 g 均是 (a, b) 上的可微函数， 且 f g , 则必有常数 C ， 由推论1 在 (a, b) 上恒成立。 令 F x f x g x ( ) ( ) ( ) 即 f x g x C ( ) ( ) 证: 利用中值定理可证明一些不等式