§7函数的单调性和凸性 函数的导数描述了函数局部的变化形态 (函数变化的快慢),本节将在徼分中值定理 的基础上,以导数为工具,从整体上研究函数 的变化状况
1 §7 函数的单调性和凸性 函数的导数描述了函数局部的变化形态 （函数变化的快慢），本节将在微分中值定理 的基础上，以导数为工具，从整体上研究函数 的变化状况
、函数的单调性 定理: 设函数y=f(x)在[,b上连续,在(a,b)内可导, 则∫在{a,b上单调增加(单调减少) 台Vx∈(a,b)∫(x)≥0(f(x)≤0)成立 证:"→”设∫在[a,b上单调增加 x,x∈(a,b)x≠x有f(x)-f(x)≥0 x一J p=r(x)/B∵∫在(a,b)可导, ∴∫(x)=lim f(x")-f(x) ≥0 x→x x f(x)≥0 b
2 一、函数的单调性 定理： x(a, b) f (x) 0 ( f (x) 0) "" x, x (a, b) x x x x f x f x f x x x ( ) ( ) ( ) lim 0 设函数 y = f (x) 在 [a, b] 上连续，在 (a, b) 内可导， 则 f 在 [a, b] 上单调增加（单调减少） 成立。 证： 设 f 在 [a, b] 上单调增加 ( ) ( ) 0 f x f x x x 有 ∵ f 在 (a, b) 可导， x y o y f (x) a b A B f (x) 0
<"设在(a,b)内f∫(x)≥0 Vx1,x2∈|a,b偎设x<x2 由微分中值定理彐∈(a,b) 9∫(x2)-f(x1)=∫(5)(x2-x1)≥0 ∫(x2)≥∫(x1)即∫单调增加 y=∫(x) B f(x)≤0
3 "" , [ , ] x1 x2 a b (a, b) ( ) ( ) ( )( ) 2 1 x2 x1 f x f x f 0 ( ) ( ) 2 x1 f x f x y o y f (x) a b B A f (x) 0 设在 (a, b) 内 f x ( ) 0 1 2 假设 x x 由微分中值定理 即 f 单调增加
结论: 如果函数f(x)在{a,b上连续,在(a,b)内可导, 且Vx∈(a,b)有f(x)>0(f(x)<0) 则f∫在[a,b上严格单调增加(严格单调减少) 求函数单调增减区间的步骤 1)求出∫的D及间断点 2)求出f(x)=0和f(x)不存在的点 3)上述各点将Dn分成若干区间 4)在此区间上确定∫(x)的符号,从而判断 在此函数的单调性。可列表讨论
4 结论： ( f (x) 0) 如果函数 f (x) 在 [a, b] 上连续，在 (a, b) 内可导， 且 x a b f x ( , ) ( ) 0 有 则 f 在 [a, b] 上严格单调增加（严格单调减少） 。 求函数单调增减区间的步骤 1）求出 f 的 Df 及间断点 2）求出 f x f x ( ) 0 ( ) 和 不存在的点 3）上述各点将 Df 分成若干区间 4）在此区间上确定 f x ( ) 的符号，从而判断 在此函数的单调性。可列表讨论
例1、讨论函数的单调性∫(x)=x3(2-x)3 例2、证明当x>0时,sinx>x 例3、设x>0a>e,证明(a+x)“<a+x
5 2 1 3 3 f x x x ( ) (2 ) 例1、讨论函数的单调性 3 sin 6 x 例2、证明当 x > 0 时， x x ( ) . a a x a x a 例3、设 x > 0 a > e ，证明
二、函数的极值 驻点:满足∫(x)=0的点 注意:1)极值点小>驻点 2)极值点只可能出现在函数的驻点 或不可导点之中。 例4、∫(x)=x3,f(x)=x3在点x=0的情况
6 二、函数的极值 注意: 驻点： 满足 f x ( ) 0 的点。 1）极值点 2）极值点只可能出现在函数的驻点 或不可导点之中。 3 例4、 f x x ( ) ， 在点 x = 0 的情况。 2 3 f x x ( ) 驻点
定理(极值第一充分条件) 设函数f(x)在U内连续,且可导(x0可除外), 则1)若在(x0-δ,x)时,f(x)≥0 而在(x,x+)时,∫(x)≤0 →f(x)在x取到极大值,x为极大值点; 2)若在(x-8,x0)时,∫(x)≤0 而在(x,x+)时,f(x)≥0 →f(x)在x取到极小值,x为极小值点 3)若在x≠x0时,∫(x)≥0(orf(x)≤0) →f(x)在x没有极值
7 定理(极值第一充分条件) f x ( ) 0 f x ( ) 0 f x ( ) 0 ( ( ) 0) or f x 0 设函数 U( ) x f (x) 在 内连续，且可导（x0 可除外）， 0 0 则1）若在 ( , ) x x 时， 0 0 而在 ( , ) x x 时， f (x) 在 x0 取到极大值，x0 为极大值点； f x ( ) 0 0 0 2）若在 ( , ) x x 时， f x ( ) 0 0 0 而在 ( , ) x x 时， f (x) 在 x0 取到极小值，x0 为极小值点； 0 3）若在 x x 时， f (x) 在 x0 没有极值
(是极值点情形) (不是极值点情形) 上例1(PPT6) (-∞0)0(0,2)2(2,4)4(4,+∞) ∫无定义没有极值\f1(4)=2
8 ( , 0) (0, 2) (2, 4) (4, ) f f 0 2 4 min f (4) 2 x y o x y x0 o 0 x (是极值点情形) x y o 0 x 0 x x y o (不是极值点情形) 上例1（PPT 6） 无定义 没有极值
定理(极值第二充分条件) 设函数f(x)在点x具有二阶导数,且f(x)= 则1)若∫(x)0时,x为f(x)极小值点; 3)若∫"(x0)=0时,则不能判定x是否为极值点 证:1)∵f(x)=0,由在x=x0的 Taylor公式, f(x)=f(x)+f(x)(x-x)+f"(x)(x-x)2+0(x-xn)2) f(x)+f"(x0)(x-x0)2+0(x-x)2) f∫(x)-f∫( 0(x-x xo)+ x- r- 0 m f(x)-f(xo ∫"(x0)0 r-
9 0 f x ( ) 0 定理(极值第二充分条件) 设函数 f (x) 在点 x0 具有二阶导数，且 0 则1）若 f x ( ) 0 时， x0 为f (x) 极大值点； 0 2）若 f x ( ) 0 时，x0 为f (x) 极小值点； 0 3）若 f x ( ) 0 时，则不能判定 x0 是否为极值点。 证：1） 2 2 0 0 0 0 0 0 1 ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) (( ) ) 2 f x f x f x x x f x x x o x x 0 0 f x ( ) 0 , 由在 x = x0 的 Taylor 公式， 2 2 0 0 0 0 1 ( ) ( )( ) (( ) ) 2 f x f x x x o x x 2 0 0 2 2 0 0 0 ( ) ( ) (( ) ) 1 ( ) ( ) 2 ( ) f x f x o x x f x x x x x 0 0 2 0 0 ( ) ( ) 1 lim ( ) x x ( ) 2 f x f x f x x x
由保号性得f(x)-f(x<0 r- f(x)<f(x0) ∴x为f(x)极大值点; 同理可证2)、3) 例5、求函数f(x)=nx(1-x)"n∈Z+在(0,1)内的 极值M(m),并计算lmM(m) → 10
10 同理可证 2）、3）. 由保号性得 0 2 0 ( ) ( ) 0 ( ) f x f x x x 0 f x f x ( ) ( ) ∴ x0 为f (x) 极大值点； 例5、求函数 f x nx x n Z ( ) (1 ) n 在 (0, 1) 内的 极值 M(n) , 并计算 lim ( ) . n M n
