教案 阶常微分方程 教学内容 在数学理论和实际应用中的许多问题,常常会归结为含有未知量的导数的微 分方程问题,因此微分方程理论是科学研究和实际应用中的重要工具,也是经常 使用的数学方法之一。对于一阶常微分方程的知识的掌握,是进一步了解和学习 更深入的微分方程理论知识的基础,是不可或缺的步骤之一。在本节中主要讲解 以下几方面的内容 (1)介绍一阶微分方程的解的存在与唯一性定理; (2)重点讲解变量可分离方程、齐次方程、全微分方程、一阶线性方程和 Bernoulli方程的解法; (3)介绍一些可化为这几类方程的方法; (4)根据一些简单数学模型,介绍数学建模的思想。 教学思路和要求 (1)变量可分离方程、齐次方程、全微分方程、一阶线性方程和 Bernoulli 方程,是本节的内容的基础和重点 (2)因为有固定的方法,如何解这些类方程对于学生来说比较容易。但对于 些方程如何经过适当变形处理后化为这几类方程的技巧,对于学生们来说就不 容易了。这就需要多举例和适当引导,特别是典型技巧的介绍。 (3)通过一些具体实例,介绍一些简单数学模型的建立方法,这对于学生们 了解数学的应用很有帮助,也会提高他们的学习兴趣。这是常微分方程这一章教 学内容的重要环节。 教学安排 解的存在与唯一性定理 导数已解出的一阶常微分方程可以表示为如下的一般形式 女=(xy (10.2.1) y(xo)=yo 对于这类定解问题,有以下解的存在与唯一性定理 定理10.2.1(解的存在与唯一性定理)如果f(x,y)和(x,y)在矩形区域 {(x,y)‖x-xk<a,ly-yk<b}上连续,那么存在一个正数h(0<h≤a),使得 定解问题(1021)在|x-x0k<h上有唯一的解y=(x),即在|x-x0kh上成立 及
教 案 一阶常微分方程 教学内容 在数学理论和实际应用中的许多问题，常常会归结为含有未知量的导数的微 分方程问题，因此微分方程理论是科学研究和实际应用中的重要工具，也是经常 使用的数学方法之一。对于一阶常微分方程的知识的掌握，是进一步了解和学习 更深入的微分方程理论知识的基础，是不可或缺的步骤之一。在本节中主要讲解 以下几方面的内容： （1）介绍一阶微分方程的解的存在与唯一性定理； （2）重点讲解变量可分离方程、齐次方程、全微分方程、一阶线性方程和 Bernoulli 方程的解法； （3）介绍一些可化为这几类方程的方法； （4）根据一些简单数学模型，介绍数学建模的思想。 教学思路和要求 （1）变量可分离方程、齐次方程、全微分方程、一阶线性方程和 Bernoulli 方程，是本节的内容的基础和重点。 （2）因为有固定的方法，如何解这些类方程对于学生来说比较容易。但对于 一些方程如何经过适当变形处理后化为这几类方程的技巧，对于学生们来说就不 容易了。这就需要多举例和适当引导，特别是典型技巧的介绍。 （3）通过一些具体实例，介绍一些简单数学模型的建立方法，这对于学生们 了解数学的应用很有帮助，也会提高他们的学习兴趣。这是常微分方程这一章教 学内容的重要环节。 教学安排 一．解的存在与唯一性定理 导数已解出的一阶常微分方程可以表示为如下的一般形式 ( ) . ( , ), 0 0 y x y f x y dx dy （10.2.1） 对于这类定解问题，有以下解的存在与唯一性定理 定理 10.2.1（解的存在与唯一性定理) 如果 f (x, y) 和 (x, y) y f 在矩形区域 {( , ) | | | , | | } x y x x0 a y y0 b 上连续，那么存在一个正数 h （ 0 h a ），使得 定解问题（10.2.1）在 | x x0 | h 上有唯一的解 y (x) ，即在 | x x0 | h 上成立 (x) f (x,(x)) 及
yo 这个定理的证明超出本课程的要求,此处从略 在这个定理中,只说明了在局部的解的存在性和唯一性,而且也没有说明解 的表达式如何。事实上,并不是每个一阶常微分方程的解都可以用初等函数或它 们的有限次积分来表达(这种方法称为初等积分法)。例如, Liouville在1841牛 就证明了方程y′=y2+x不能用初等积分法来求解,虽然它看起来形式很简单。 因此,下面对一些常见类型的方程的解法进行介绍 二.变量可分离方程 若一阶方程=f(xy)中的f(x,y)可以分解成x的函数g(x)与y的函数 h(y)的乘积,即 =g(x). hy) (102.2) 则称其为变量可分离方程。 若g(x)与h(y)连续,把原方程改写成 dy h(y) g(x)d 对两边取不定积分,得 (y)=8(xht, 若G(x)是g(x)的一个原函数,H(y)是,的一个原函数,就得到方程的通解 h(y) 这里C是任意常数。这种形式的解也称为隐式解。 若y是方程hy)=0的根,函数y=y也是方程(1022)的解,而且这个解 并不一定包含在通解的表达式中。 例10.2.1求解微分方程 解将此方程化为变量可分离方程 dy ①今后我们总用C表示任意常数。虽然它可能在同一问题中每次出现时并一定相同,也不再特别说明
0 0 (x ) y 。 这个定理的证明超出本课程的要求，此处从略。 在这个定理中，只说明了在局部的解的存在性和唯一性，而且也没有说明解 的表达式如何。事实上，并不是每个一阶常微分方程的解都可以用初等函数或它 们的有限次积分来表达（这种方法称为初等积分法）。例如，Liouville 在 1841 牛 就证明了方程 y y x 2 不能用初等积分法来求解，虽然它看起来形式很简单。 因此，下面对一些常见类型的方程的解法进行介绍。 二．变量可分离方程 若一阶方程 f (x, y) dx dy 中的 f (x, y) 可以分解成 x 的函数 g(x) 与 y 的函数 h(y) 的乘积，即 g(x) h(y) dx dy （10.2.2） 则称其为变量可分离方程。 若 g(x) 与 h(y) 连续，把原方程改写成 g x dx h y dy ( ) ( ) ， 对两边取不定积分，得 g x dx h y dy ( ) ( ) ， 若 G(x) 是 g(x) 的一个原函数， H(y) 是 ( ) 1 h y 的一个原函数，就得到方程的通解 H(y) G(x) C ， 这里 C 是任意常数①。这种形式的解也称为隐式解。 若 0 y 是方程 h(y) 0 的根，函数 0 y y 也是方程（10.2.2）的解，而且这个解 并不一定包含在通解的表达式中。 例 10.2.1 求解微分方程 1 2 2 y dx dy 。 解 将此方程化为变量可分离方程 2 1 y dx dy ， ① 今后我们总用 C 表示任意常数。虽然它可能在同一问题中每次出现时并一定相同，也不再特别说明
两边积分得 arcsin y=±x+C y=sin(x+C) 注意y=±1也是方程的两个解,但它们并不在通解之中。 例10.2.2解定解问题 dy In dx =e. 解将此方程化为 yIny sin x 两边积分得 In In y= In(csc x-cot x)+In C lny=C(cscx-cotx)。 由 e得C=1。因此定解问题得解为 J=ecscx-cotx 例10.2.3设函数∫在(0,+∞)上可导,且满足 f(rdt=(x'+xf( 求f(x)。 解显然f()=1。对∫O)=(x3+x2)(x)-2两边求导得 f(x)=(x3+x2)f(x)+(3x2+2x)f(x) 因此函数∫满足方程
即 dx y dy 2 1 。 两边积分得 arcsin y x C ； 即 y sin( x C) 。 注意 y 1 也是方程的两个解，但它们并不在通解之中。 例 10.2.2 解定解问题 . 2 sin ln , y e y y dx dy x 解 将此方程化为 x dx y y dy ln sin ， 两边积分得 ln ln y ln(csc x cot x) lnC 。 即 ln y C(cscx cot x)。 由 y e 2 得 C 1 。因此定解问题得解为 x x y e csc cot 。 例 10.2.3 设函数 f 在 (0, ) 上可导，且满足 ( ) ( ) ( ) 2 3 2 1 f t dt x x f x x ， 求 f (x) 。 解 显然 f (1) 1 。对 ( ) ( ) ( ) 2 3 2 1 f t dt x x f x x 两边求导得 ( ) ( ) ( ) (3 2 ) ( ) 3 2 2 f x x x f x x x f x ， 因此函数 f 满足方程
(x3+x2)y=[l-(3x2+2x)y 对方程分离变量得 3x2+2 两边积分得 Iny=x+x x+x d dx x+x I+xx x =h(1+x)-hnx---l(x3+x2)+hC 所以 因此∫就具有上述形式。又由f(1)=1得C=e,所以 f(x)=-ex,x∈0,+∞)。 例10.2.4(跟踪问题一)设A在初始时刻从坐标原点沿y轴正向前进,与 此同时B于(a,0)处始终保持距离a对A进行跟踪(B的前进方向始终对着A当 时所在的位置),求B的运动轨迹。 解设B的运动轨迹为 利用跟踪的要求和导数的几何意义(图10.1.1),容易得到 B 数学模型 图10.2.1 (a)=0 两边取定积分 dy 即得到B的运动轨迹方程为
(x x ) y [1 (3x 2x)]y 3 2 2 。 对方程分离变量得 dx x x x x y x x dy 3 2 2 3 2 1 3 2 ， 两边积分得 ln y dx x x x x x x 3 2 2 3 2 1 3 2 ln( ) ln . 1 ln(1 ) ln 1 1 3 2 1 1 3 2 1 3 2 3 2 2 3 2 2 2 3 2 x x C x x x d x x x x x d x x x x d x x x x x d x x x 所以 x e x y C 1 3 1 。 因此 f 就具有上述形式。又由 f (1) 1 得 C e ，所以 x e x f x 1 1 3 1 ( ) ， x(0, ) 。 例 10.2.4（跟踪问题一） 设 A 在初始时刻从坐标原点沿 y 轴正向前进，与 此同时 B 于 (a, 0) 处始终保持距离 a 对 A 进行跟踪（B 的前进方向始终对着 A 当 时所在的位置），求 B 的运动轨迹。 解 设 B 的运动轨迹为 y y(x) 利用跟踪的要求和导数的几何意义（图 10.1.1），容易得到 数学模型 ( ) 0. , 2 2 y a x a x y 两边取定积分 x a y dx x a x dy 2 2 0 ， 即得到 B 的运动轨迹方程为 A B x a 图 10.2.1
a+√a2-x y=aIn 上述积分曲线可以看成一个重物B被某人A用一根长度为a的绳子拖着走时留下 的轨迹,所以该曲线又被称为电线 三.齐次方程 若对于任何r≠0 f(a,y)=f(, y) 则称函数f(x,y)为(0次)齐次函数,相应的微分方程 dy f∫(x,y) 相应地称为齐次方程。 令y=1x,代入方程得 du dx=u+x =f(x,ax)=f(1,), 化简后就是变量可分离方程 x=f(l, u)-u 解出方程后,用u=2代入便得到方程的解 例10.2.5求方程 (xy-ydx-(x--2xy)dy=0 的通解。 解将方程写成 y xy-) 2 容易判断,这是一个齐次方程。令y=ux,得到 du u dx 于是 解此方程得 2n u=Inx+C 用u=2代入,便得到方程的隐式通解
y a a a x x a x ln 2 2 2 2 。 上述积分曲线可以看成一个重物B被某人A用一根长度为 a 的绳子拖着走时留下 的轨迹，所以该曲线又被称为曳线。 三．齐次方程 若对于任何 0 f (x,y) = f (x, y) ， 则称函数 f (x, y) 为（0 次）齐次函数，相应的微分方程 f (x, y) dx dy 相应地称为齐次方程。 令 y ux ，代入方程得 ( , ) ( ) f x ux dx du u x dx d ux f (1,u)， 化简后就是变量可分离方程 dx du x f (1,u) - u， 解出方程后，用 x y u 代入便得到方程的解。 例 10.2.5 求方程 ( ) ( 2 ) 0 2 2 xy y dx x xy dy 的通解。 解 将方程写成 x xy xy y dx dy 2 2 2 ， 容易判断，这是一个齐次方程。令 y ux ，得到 dx du x u u u u 1 2 2 u u 1 2 2 。 于是 du u u 2 1 2 dx x 1 ， 解此方程得 u x C u 2ln ln 1 。 用 x y u 代入，便得到方程的隐式通解
+2n y-In x+C=0 对于形如 dy a, x+by+C a2x+b,y 的方程,显然,当c=c2=0时,这是齐次方程。 当 不全为零时,若行列式 a,b, ≠0,作变换 a2 b2 y=y-7 将方程变为 dy a x+by-(a,5+b dx a2x+b,y-(a25+b,n-c2) 从线性代数方程组 hb 27 中解出5,n,就得到了关于x,y的齐次方程 Φa1x+by dr a,x+b,y 若行列式 b =0,则两行对应成比例。若b1,b2全为零,那么原方程为 b 2 ly a,x+Cu dx ax+c 它是可解的。若b,b2不全为零,不妨设b≠0,设λ是常数使得 (a2b2)=λ(a12b)。令=a1x+by,则 x+by+Cu a, +b x+b,y 因此原方程变为变量可分离方程。 综上所述,形式为
2ln y ln x C 0 y x 。 对于形如 2 2 2 1 1 1 a x b y c a x b y c dx dy 的方程，显然，当 c1 c2 0 时，这是齐次方程。 当 1 c ， 2 c 不全为零时，若行列式 0 2 2 1 1 a b a b ，作变换 y y x x ~ , ~ 将方程变为 ( ) ~ ~ ( ) ~ ~ ~ ~ 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 a x b y a b c a x b y a b c dx dy ， 从线性代数方程组 2 2 2 1 1 1 , a b c a b c 中解出 , ，就得到了关于 x y ~ , ~ 的齐次方程 a x b y a x b y dx dy ~ ~ ~ ~ ~ ~ 2 2 1 1 。 若行列式 0 2 2 1 1 a b a b ，则两行对应成比例。若 1 2 b , b 全为零，那么原方程为 2 2 1 1 a x c a x c dx dy ， 它是可解的。若 1 2 b , b 不全为零，不妨设 b1 0 ， 设 是常数使得 (a2 , b2 ) ( , ) a1 b1 。令 u a x b y 1 1 ，则 dx dy a b dx du 1 1 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 1 u c u c a b a x b y c a x b y c a b ， 因此原方程变为变量可分离方程。 综上所述，形式为
6,y+Cu dx a,x+b,y 的微分方程总是可解的,并且可以推广到 dy d a,x+b,y dx x+by 的情况 例10.2.6求方程 5y+3)dx-(2x+4y-6dy=0 的通解 解由于行列式 a1b2-5 0 由线性代数方程组 5-57=3, 25+4 解出ξ=n=-1。作变换 5=x+1 ly=y-n=y+l, 得到齐次方程 令y=,得到 u+x 整理后得 4 3dx 1-4ut+2 从此解得 还原变量,便得方程的通解 4y+3y+2x-3)2=
2 2 2 1 1 1 a x b y c a x b y c dx dy 的微分方程总是可解的，并且可以推广到 2 2 2 1 1 1 a x b y c a x b y c f dx dy 的情况。 例 10.2.6 求方程 (2x 5y 3)dx (2x 4y 6)dy 0 的通解。 解 由于行列式 2 2 1 1 a b a b 0 2 4 2 5 ， 由线性代数方程组 2 4 6 2 5 3, 解出 1 。作变换 1, ~ ~ 1, ~ ~ y y y x x x 得到齐次方程 x y x y dx dy ~4 ~2 ~5 ~2 ~ ~ 。 令 y ux ~ ~ ，得到 u u dx du u x 2 4 2 5 ~ ~ ， 整理后得 x dx du u u ~ ~ 3 2 2 1 4 4 , 从此解得 u u x C 2 ~3 (1 4 )( 2) 。 还原变量，便得方程的通解 x y y x C 2 ( 4 3)( 2 3)
四.全微分方程 若存在函数u(x,y)使得 du(x, y)=f(x, y)dx+g(x, y)dy 则称方程 f(x, y)dx+g(x, y)dy=0 为全微分方程。显然,它的解可以表示为 u(x 我们已经知道,f(x,y)dx+g(x,y)d在单连通区域上是某个函数的全微分的 充分必要条件是 af(x,y)ag(x, y) 此时,若(x0,y)是所考虑区域中的任一定点,则可以通过曲线积分 u(,y) f(x, y)dx+g(x, y)dy 计算出u(x,y)。 例10.2.7求微分方程 (e sin y-mx)y=e cos y+mmy 的通解(m是常数)。 解将其改写为 af(x, y) -e sin y+m ag(x,y) 知道它是全微分方程。取(x0,y0)为(,0),则 u(r, y) =l(e cos y+my 所以它的通解为 e cos)+mxy=C。 若条件 f(x, y) ag(x,y)
四．全微分方程 若存在函数 u(x, y) 使得 du(x, y) f (x, y)dx g(x, y)dy， 则称方程 f (x, y)dx g(x, y)dy 0 为全微分方程。显然，它的解可以表示为 u(x, y) C 。 我们已经知道， f (x, y)dx g(x, y)dy 在单连通区域上是某个函数的全微分的 充分必要条件是 x g x y y f x y ( , ) ( , ) ， 此时，若 ( , ) 0 0 x y 是所考虑区域中的任一定点，则可以通过曲线积分 u(x, y) = f x y dx g x y dy x y x y ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0 0 ， 计算出 u(x, y)。 例 10.2.7 求微分方程 e y mx y e y my x x ( sin ) cos 的通解（m 是常数）。 解 将其改写为 (e cos y my)dx (e sin y mx)dy 0 x x ， 由 x g x y e y m y f x y x ( , ) sin ( , ) ， 知道它是全微分方程。取 ( , ) 0 0 x y 为 (0, 0) ，则 u(x, y) = x x e y my dx 0 ( cos ) + y y dy 0 ( sin ) e y mxy x cos -1， 所以它的通解为 e y mxy C x cos 。 若条件 x g x y y f x y ( , ) ( , )
不满足,则方程 ∫(x,y)dx+g(x,y)dy=0 不是全微分方程。但是,如果此时能够找到一个函数(x,y),使得 u(x, y)f(x, y)dx+u(x, y)g(x, y)dy=0 是全微分方程,那么,还是可以按上述方法求解的。 这里的(x,y)称为积分因子。一般说来,求积分因子并不是很容易的事,但 对于一些简单的情况,可以通过观察凑出积分因子。 例10.2.8求方程 ydx-xdy+y xdx=0 的通解 解容易验证,这不是全微分方程。但观察其前2项,可以发现,只要乘上 因子一,它就是一个全微分 因此,取积分因子为一,将原方程改写为 ydx-xdu +xdx=0, 这就是 2 所以方程的通解为 例10.2.9求方程 (2x√x2+y2+x)dx+(√x2+y2+y)dy=0 的通解。 解容易验证,这不是全微分方程。将方程改写为 xdxydy+ x2+y2(2xdxdy)=0
不满足，则方程 f (x, y)dx g(x, y)dy 0 不是全微分方程。但是，如果此时能够找到一个函数 (x, y) ，使得 (x, y) f (x, y)dx (x, y)g(x, y)dy 0 是全微分方程，那么，还是可以按上述方法求解的。 这里的 (x, y) 称为积分因子。一般说来，求积分因子并不是很容易的事，但 对于一些简单的情况，可以通过观察凑出积分因子。 例 10.2.8 求方程 0 2 ydx xdy y xdx 的通解。 解 容易验证，这不是全微分方程。但观察其前 2 项，可以发现，只要乘上 因子 2 1 y ，它就是一个全微分 y x d y ydx xdy 2 。 因此，取积分因子为 2 1 y ，将原方程改写为 0 2 xdx y ydx xdy ， 这就是 0 2 2 x d y x d ， 所以方程的通解为 C x y x 2 2 。 例 10.2.9 求方程 (2 ) ( ) 0 2 2 2 2 x x y x dx x y y dy 的通解。 解 容易验证，这不是全微分方程。将方程改写为 (2 ) 0 2 2 xdx ydy x y xdx dy
乘上积分因子 后,方程变为 dx+ vdu dy=0 d(2+y)=l 所以方程的通解为 从以上两个例子可以看出,我们利用了一些已知的二元函数的全微分来观察 出积分因子。下面列出一些常用的二元函数的全微分,以备查阅 d (xy) xdx dx-xdu 五.线性方程 阶线性常微分方程的一般形式为 f(xy=g(x) 利用分离变量法,易知齐次线性方程 y f(x)y=0 的通解为 为了找非齐次线性方程的一个特解,我们利用常数变易法(实际上就是待定系数 法,只是待定的“系数”是函数)。令C=l(x),将 u(x)e
乘上积分因子 2 2 1 x y 后，方程变为 2 0 2 2 xdx dy x y xdx ydy ， 即 ( ) 0 2 2 2 2 2 2 d x y d x y d x y x y 。 所以方程的通解为 x y x y C 2 2 2 。 从以上两个例子可以看出，我们利用了一些已知的二元函数的全微分来观察 出积分因子。下面列出一些常用的二元函数的全微分，以备查阅： d(xy) ydx xdy ； 2 y ydx xdy y x d ； 2 2 2 2 ( ) x y xdx ydy d x y ； 2 2 2 2 ln( ) 2 x y xdx ydy d x y ； 2 2 arctan x y ydx xdy y x d 。 五．线性方程 一阶线性常微分方程的一般形式为 f (x) y g(x) dx dy 。 利用分离变量法，易知齐次线性方程 f (x) y 0 dx dy 的通解为 f x dx y C ( ) e 。 为了找非齐次线性方程的一个特解，我们利用常数变易法（实际上就是待定系数 法，只是待定的“系数”是函数）。令 C u(x) ，将 f x dx y u x ( ) ( )e
