复旦大学：《高等数学》课程电子课件讲义_第三章 一元函数积分学 定积分的计算3.3

§3定积分的计算 微积分基本定理( Newton- Leibniz公式) 揭示了定积分与不定积分之间的关系: ∫(x)dx=F(b)-F(a) 不定积分的常用方法(如:换元法、分部积分法、 有理函数等)可直接适用于定积分的相应运算中。 换元积分法 定理设∫是[a,b上的连续函数,是定义在a 和β间的连续可微函数,其值域包含于 a,b且a=q(a),b=q(6) 则∫f(x)dx=」Jo)p(O)=(O)|

1 §3 定积分的计算 微积分基本定理（Newton-Leibniz 公式） 揭示了定积分与不定积分之间的关系： f (x)dx F(b) F(a) b a    不定积分的常用方法（如：换元法、分部积分法、 有理函数等）可直接适用于定积分的相应运算中。 一、换元积分法 定理 a b       ( ) ( ). ， F t [ ( )]     设 f 是 [a, b] 上的连续函数，  是定义在  和  间的连续可微函数，其值域包含于 [a, b] . 且 ( ) [ ( )] ( ) b a f x dx f t t dt      则  

例1、求」√sin3x-sin3xat 例2、求 -2 Cvx In 3 d x 例3、求 JIn2 e -e 例4、求 dx a>o xta=x

2 例 1、求 3 5 0 sin sin x xdx    例 2、求 2 2 21 1 dx x x    例 3、求 ln3 ln2 x x dx e e    例 4、求 0 2 2 1 0 a dx a x a x    

例5、设函数f(x)∈CoN、,)dr 1)证明:∫f(mx)dk=「f 2)证明:∫m/(mx)k=2J2 f(sinx)d 3)计算:

3 例 5、设函数 [0,1] f x C ( ) 1）证明： 2 2 0 0 f x dx f x dx (sin ) (cos )      2）证明： 2 0 0 f x dx f x dx (sin ) 2 (sin )      3）计算： 3 2 3 3 0 cos sin cos x dx x x   

二、分部积分法 Newton- Leibniz公式和不定积分的分部积分法 相结合,即可得定积分的分部积分法。 u(x)dv(x)=u(x)v(x)a- v(x)du(x) 例6、求∫x 例,设f(x)=t,求∫,9()k

4 二、分部积分法 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )     b a b a b a u x dv x u x v x v x du x 例6、求 1 ln e e x dx  Newton-Leibniz 公式和不定积分的分部积分法 相结合，即可得定积分的分部积分法。 例7、设 , 求 2 1 sin ( ) x t f x dt t   1 0 xf x dx ( ) . 

例8、求1=1smm为非负整数 解:/1=∫ 0 sin xar= x2 : sina cosx 0—2m20 当n≥2时,则有 sIn xo= sinxsinxa 0 sin"(cosx -sin"-Ixcos x2+(n-12 sin -2x cos xdx (n-1l sin"-x(1-sin x)dx (n-1)(n

5 例8、求 2 0 sinn n I xdx    n 为非负整数 解： 2 0 0 0 I xdx sin    2 0 x   2   2 1 0 I xdx sin    2 0 cos x     1 当 n  2 时，则有 2 0 sinn n I xdx    2 1 0 sin sin n x xdx     2 1 0 sin (cos ) n xd x     1 2 0 sin cos n x x     2 2 2 0 ( 1) sin cos n n x xdx      2 2 2 0 ( 1) sin (1 sin ) n n x x dx       2 ( 1)( )    n I I n n 

可得递推公式= n≥2 2 n n-3 以此类推得 n n-1 n-1 n n-n n= 2k n n-(n-2 n-1 n n nU 2) 2k+1 nn n 3 0 2 unIcxc n 22 n-1n-32 21 n=2k n=2k+1 23

6 可得递推公式 2 1 2 n n n I I n n     4 1 3 1 n n n n I I n n        以此类推得： 0 1 1 3 [ ( 1)] 2 2 [ ( 2)] 1 3 [ ( 2)] 2 1 2 [ ( 3)] n n n n n I n k n n n n I n n n n I n k n n n n                           0 1 1 2 I I    1 3 1 2 2 2 2 1 3 2 1 2 1 2 3 n n n n k n n I n n n k n n                     

例9、计算「xln(x+√1+x2)dx 例10、求 1 arctan x 0(1+x 3/2

7 1 2 0 x x x dx ln( 1 )   例  9、计算 例10、求 1 2 3/ 2 0 arctan (1 ) x dx  x 

三、补充:定积分的二个性质 性质6设a>0,∫是|-a,上的连续函数 则:1)当f是奇函数时,f(x)d=0 2)当是偶函数时,Jf(x)d=2m(x) 证:「f(x)=广f(x)+J(x)dt f(r)cx f(-0)(-d)=f(-)d f(x)dx=f(-0)d+。f(x) 0奇 ∫(x)d偶

8 三、补充：定积分的二个性质 性质6 ( )  0  a a f x dx   a a f (x)dx  a f x dx 0 2 ( )   a a f (x)dx  0 ( ) a f x dx   a f x dx 0 ( )  0 ( ) a f x dx  x  t dx  dt    0 ( )( ) a f t dt    a f t dt 0 ( )    a a f (x)dx   a f t dt 0 ( )   a f x dx 0 ( )       a f x dx 0 2 ( ) 0 奇 偶 设 a > 0，f 是 [-a, a] 上的连续函数， 则：1）当 f 是奇函数时， 2）当 f 是偶函数时， 证：

性质7设f是以T为周期的连续函数, 则对任何实数a,都有 a+T f(rdx=lf(x)dx 证 a+T +T f(xdx= f(x)dx+f(x)dx x=t+ =f(x)+r()t f(x)dx 0 9

9 性质7  aT a f (x)dx   T f x dx 0 ( )  aT a f (x)dx   T a f (x)dx    a T T f (x)dx   T a f (x)dx x  t T   a f t dt 0 ( )   T f x dx 0 ( ) 设 f 是以T 为周期的连续函数， 则对任何实数 a ，都有 证：

1 2x+xcos x 例11、计算 1+√1-x 例12、求 3.m在0,1上的最值。 +t+1 例13、设(x)∈C且满足f(x)=1 f(r)dx √(x2+13 求f(x) 例14、设函数f(x)g(x)∈Cl 证明:存在ξ∈(an,b), 使得f(4)g(x)=g(5)f(x)hx

10 2 1 1 2 2 cos 1 1 x x xdx x     例11、计算  例12、求 2 0 3 1 x t dt t t    在[0, 1] 上的最值。 例13、设 f x C ( ) [0,1] 且满足 1 2 3 0 1 ( ) ( ) ( 1) f x f x dx x     求 f x( ) . 例14、设函数 . [ , ] ( ) ( ) a b f x g x C 、  使得 ( ) ( ) ( ) ( ) . b a f g x dx g f x dx        证明：存在  ( , ) , a b