§2幂级数 函数项级数的概念 二、幂级数及其收敛性 三、幂级数的运算 2012/6/4
2012/6/4 1 §2 幂级数 一、函数项级数的概念 二、幂级数及其收敛性 三、幂级数的运算
常数项级数 函数数项级数 数列{xn} n∈ N 函数列{un(x)}n∈N,x∈ 形式求和级数∑xn形式求和级数∑41(x),xEI 部分和S=∑x 部分和Sn=∑4(x),x∈ =1 S N收夢若limS不存在x∈-D S ∈D 若 limIn不存在发散 基本问题 则称D为∑矶(x)的收敛域 ∑xn敛散性 ∑(x)的收敛域D喜 H-=1 n=1 收敛级数的和S=∑xn 和函数S(x)=∑u1(x)的性质 n=」 2012/6/4 和函数的初等表示2
2012/6/4 2 常数项级数 数列 x n N n 形式求和 级数 部分和 若 lim n n s S 收敛 基本问题 收敛级数的和 函数数项级数 函数列 u x n N x I n ( ) , 形式求和 级数 部分和 若 lim n n s S x D 则称D为 的收敛域 和函数 的性质 和函数的初等表示 不存在 敛散性 不存在 的收敛域 D 发散 x I D
函数项级数的一般概念 、函数项级数的定义 设给定一个定义在区间Ⅰ上的函数列, 1(x),U2(x),…,Ln(x) 称∑,(x)=u(x)+l2(x)+…+1(x)+ 为定义在区间Ⅰ上的函数项级数。 2012/6/4 3
2012/6/4 3 1、函数项级数的定义 设给定一个定义在区间 I 上的函数列， 为定义在区间 I 上的 1 2 ( ), ( ), , ( ) , u x u x u x n 称 函数项级数。 一、函数项级数的一般概念
2、收敛点与收敛域的定义 1)若对于固定的x∈I,常数项级数∑矶(x)收敛, = 则称函数项级数∑un(x)在点x收敛,或称 x是∑u1(x)的收敛点,否则x称为发散点 2)函数项级数收敛点的全体所构成的集合D, 称为级数的收敛域, 所有发散点的全体集合称为发散域。 2012/6/4
2012/6/4 4 2、收敛点与收敛域的定义 1) 若对于固定的 常数项级数 收敛, 则称函数项级数 0 在点 x 收敛, 或称 0 x 是 的 否则 0 x 称为 2) 函数项级数收敛点的全体所构成的集合 D , 称为级数的 收敛点， 发散点。 收敛域， 所有发散点的全体集合称为 发散域
3、和函数 1)在收敛域D上,函数项级数的和是x的函数, 称为函数项级数∑l1(x)的和函数, 记为S(x)=∑un(x)x∈D H-=1 2)若用S(x)表示函数项级数前n项的和, 甲Sn(x)=∑u4(x) k=1 若x∈DS(x)= :lim s(x)=im∑(x)存在 k=1 则称S(x)为函数项级数∑1(x)的和函数。 2012/6/4
2012/6/4 5 3、和函数 记为 1) 在收敛域 D上, 函数项级数的和是 x 的函数， 和函数。 1 ( ) ( ) n n S x u x x D 称为函数项级数 的 ( ) S x n 2) 若用 表示函数项级数前 n 项的和， 即 1 ( ) ( ) n n k k S x u x 若 x D ( ) lim ( ) n n S x S x 1 lim ( ) n k n k u x 存在 则称 S x( ) 为函数项级数 的 和函数
4、函数项级数的余项 oo r(x)=S(x)-S(x)=∑(x) k=n+1 limr, ()=0 n→0 结论在收敛域上有 lims,(x)=s(r) limr (x)=0 n→)0 2012/6/4
2012/6/4 6 4、函数项级数的余项 1 ( ) k k n u x 结论 在收敛域上有 lim ( ) ( ) n n S x S x
如等比级数 ∑ xCn=1+x+y2+…+x"+ 0 它的收敛域是(-1,1), 当x∈(-1,1)时,有和函数∑x= 它的发散域是(-∞,-1U[1,+∞) 如何求函数项级数的收敛域呢? 2012/6/4
2012/6/4 7 它的收敛域是 ( , 1 ] [1 . ， ） 如等比级数 它的发散域是 有和函数 如何求函数项级数的收敛域呢？ 当 时
级数藴涵了分解的特性。 由一个新鲜的观点和一个简单的类比开辟了一个 新的研究方向。这也是高层次的创造性思维。 高等数学中的两类基函数: 整幂函数 角函数 un(x)=x”n=0,1, sinn n=1.2 cos nx n=0. 2012/6/4
2012/6/4 8 级数蕴涵了分解的特性。 由一个新鲜的观点和一个简单的类比开辟了一个 新的研究方向。这也是高层次的创造性思维。 高等数学中的两类基函数： 整幂函数 三角函数 ( ) 0,1, n u x x n n sin 1, 2, ( ) cos 0,1, n nx n u x nx n
二、幂级数 幂级数系数 定义形如 ∑ n 任意给定的实数。 =a0+a1(x-x0)+a2(x-x)2+…+an(x-x)”+ 的函数项级数称为x-x0的幂级数。 作代换t=x-x0(x0=0)即转换成 x的幂级数: ∑unx"=an+a1x+a2x2+…+anx"+ 任意一个幂级数在x=0处总是收敛的。 2012/6/4 9
2012/6/4 9 二、幂级数 0 0 ( )n n n a x x 2 0 1 0 2 0 0 ( ) ( ) ( )n n a a x x a x x a x x 形如 的函数项级数称为 任意给定的实数。 0 0 作代换 t x x x ( 0) 的幂级数。 0 x x 即转换成 x 的幂级数： 0 n n n a x 2 0 1 2 n n a a x a x a x 任意一个幂级数在 x = 0 处总是收敛的。 1、定义 幂级数系数
oo 下面着重讨论x的幂级数∑anx =0 对每一个实数x,幂级数∑qnx”即为常数项级数。 H=0 1)如果∑qx收敛,则称x为∑qnx”的收敛点, n=0 0 所有收敛点的全体称为∑qx"的收敛区域 n=0 oo 2)如采∑anx发散,则称x为∑anx"的发散点, 幂级数的和∑anx=S(x) n=0 在收敛域上是x的函数。 2012/6/4 10
2012/6/4 10 下面着重讨论 x 的幂级数 0 n n n a x 对每一个实数 ,幂级数 0 x 0 n n n a x 即为常数项级数。 1) 如果 0 0 n n n a x 收敛, 则称 x0 为 的收敛点， 0 n n n a x 所有收敛点的全体称为 的收敛区域。 0 n n n a x 2) 如果 0 0 n n n a x 发散, 则称 为 的发散点， 0 x 0 n n n a x 幂级数的和 0 ( ) n n n a x S x 在收敛域上是 x 的函数