复旦大学：《高等数学》课程电子课件讲义_第三章 一元函数积分学 定积分的概念、性质、和微积分基本定理3.1

第三章一元數积分学 上一章我们讨论了一元函数的微分运算, 这一章将讨论微分的逆运算一积分学。 因为我们不仅需要解决已知函数导数(或微 分)的问题,而且往往需要解决与导数(或微分) 运算正好相反的问题 已知物体运动速度v(),如何求物体运动 的路程s();已知曲线上各点的切线斜率kx) 时,又如何求出曲线方程;在经济管理中,类三 似的问题还可提出很多

1 第三章 一元函数积分学 上一章我们讨论了一元函数的微分运算， 这一章将讨论微分的逆运算—积分学。 因为我们不仅需要解决已知函数导数(或微 分)的问题, 而且往往需要解决与导数(或微分) 运算正好相反的问题: 已知物体运动速度 v(t) ，如何求物体运动 的路程 s(t) ；已知曲线上各点的切线斜率 k(x) 时，又如何求出曲线方程；在经济管理中，类 似的问题还可提出很多

§1定积分的概念性质基本定理 、实际问题 1、 Kepler第二定律(定积分思想的雏形) 联结行星和太阳之间的焦半径在相等的时间 内扫过相等的面积。 关键:计算椭圆扇形的面积

2 一、实际问题 A B C D S E F t t t 联结行星和太阳之间的焦半径在相等的时间 内扫过相等的面积。 关键：计算椭圆扇形的面积 §1 定积分的概念性质基本定理 1、Kepler 第二定律 （定积分思想的雏形）

2、面积问题 y Cx 设∫是定义在[,b上的非负函数, 由y=f(x),x=a,x=b,y=0 A=? 围成的图形为曲边梯形。 用矩形面积近似取代曲边梯形面积 J (九个小矩形) b 小矩形越多,矩形总面积越接近曲边梯形面积

3 a b x y o A  ? y  f (x) x a x b y    , , 0 2、面积问题 设 f 是定义在 [a, b] 上的非负函数， 围成的图形为曲边梯形。 用矩形面积近似取代曲边梯形面积。 a b x y o （四个小矩形） a b x y o （九个小矩形） 由 y f x  ( ), 小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积

作区间[a,b的一个分割: D a=x0时, 上述和式的极限存在,则曲边梯形的面积 A=lim>f(S:)Ar ->0

4 D: a  x0  x1  x2  xn1  xn  b  i x y o a x1 xi1 xi xn1b i i xi A  f ( ) 作区间 [a, b] 的一个分割： 把 [a, b] 分成 n 个小区间 [ xi-1 , xi ] ， 1 , i i i x x x 长度为     i 在 [ xi-1 , xi ] 上任取一点  ， i 以 x 为底， 小矩形面积： i n i  f i x  ( ) 1  n 个小矩形面积相加得 max i i 记   x ( )i f  为高的 如果分割越细，即   0 时， 上述和式的极限存在，则曲边梯形的面积 i n i A   f i x   lim ( ) 1 0  

、定积分的定义 定义设∫是,b上的有界函数,对[a,b的 任意分割D:a=xn<x,<x,<…<x.,<x.=b n-1 任取5∈[x;1,X,(=1,…,n) 并记△x;=x1-x1=1 作和式a=∑f(4)x称为 Riemann和 i=1 记九=maAx; 如果元→0时, Rieman和的极限存在, 称∫是{a,b上的可积函数, 称此极限为f在{a,b上的 Riemann积分

5 二、定积分的定义 D a x x x x x b :  0  1  2  n1  n  定义 (i  1,  ,n) 设 f 是 [a, b] 上的有界函数，对 [a, b] 的 任意分割 1 [ , ] , i i i  x x 任取   i i i 1 x x x 并记     称为 Riemann 和， 1 ( ) n i i i   f x  作和式    max , i i 记   x 如果   0 时， Riemann 和的极限存在， 称 f 是 [a, b] 上的可积函数， 称此极限为 f 在 [a, b] 上的Riemann 积分

简称定积分记作「f(x)dx 积分上限 积分变量 f(x=im∑f(4)△ i=1 积积被 分分积 被积表达 号限数式 说明 1)定积分是面积的代数和,曲边梯形的面积 就是定积分的几何意义;

6 0 1 lim ( ) n i i i f x        积分变量 积 分 号 ﹏﹏ 被 积 函 数 ﹏﹏﹏ 被 积 表 达 式 ( ) b a f x dx  积分上限 积 分 下 限 简称 定积分  b a 记作 f (x)dx 即 说明 1）定积分是面积的代数和，曲边梯形的面积 就是定积分的几何意义；

2)积分值与积分变量符号的选取无关,即 ∫f(x)x=Jf(o)t 但与被积函数及积分区间有关; 3)定义中区间的分法及5的取法是任意的; 4)规定∫(x)dx=0 当a>b时,f(x=-f(x)d 5)计算面积的途径(即计算定积分) 分割,取点,求和,取极限

7 ( ) ( ) b b a a f x dx f t dt        a b b a f (x)dx f (x)dx 分割，取点，求和，取极限。 2）积分值与积分变量符号的选取无关，即 但与被积函数及积分区间有关； i 3）定义中区间的分法及  的取法是任意的；   a a 4）规定 f (x)dx 0 当 a b  时， 5）计算面积的途径（即计算定积分）

提出两个基本问题: 1)什么样的函数可积? 2)怎样求可积函数的定积分? 、存在定理 定理1当函数∫在{a,b上连续时, 称∫在{a,b上可积。 定理2设∫是|a,b上的有界函数, 且只有有限个间断点, 则∫在{a,b上可积

8 提出两个基本问题： 1）什么样的函数可积？ 2）怎样求可积函数的定积分？ 三、存在定理 定理1 定理2 当函数 f 在 [a, b] 上连续时， 称 f 在 [a, b] 上可积。 设 f 是 [a, b] 上的有界函数， 且只有有限个间断点， 则 f 在 [a, b] 上可积

例1、利用定义计算ea 解:不妨把0,1n等分,x= 取51=x i=1,,n ea=Im∑f(4)Ax lime = lim-em+en+…+e n→0 n n→ e e m 1->oo n 9

9 n i xi     e dx x 1 0 i n i  f i x   lim ( ) 1 0       n i n i n n e 1 1 lim            n n n n n e e e n  1 2 1 lim n n n n n e e e n 1 1 1 1 (1 ) lim      e 1 n xi 1   i  1,  ,n 1 0 x e dx 例  1、利用定义计算 解： 不妨把 [0, 1] n 等分， i i i x n 取   

例2、设函数f在|0,1上连续,且取正值。 试证 In f(x)dx n 2 左式=lime (1(2)(m n n→ In f(xdx 右式 10

10 1 0 ln ( ) f x dx e   1 2 ln lim n n f f f n n n n e                                n i f n n i n e 1 ln 1 lim n n i f n i n e 1 lim ln 1             1 0 ln f ( x)dx e                           n n f n f n f n n e  1 2 ln 1 lim 例2、设函数 f 在 [0, 1] 上连续，且取正值。 试证 1 2 lim n n n f f f   n n n                    左式 = 右式