§7极值 问题的提出 实例:某商店卖两种牌子的果汁,本地牌子每 瓶进价2元,外地牌子每瓶进价2.4元,店主估计, 如果本地牌子的每瓶卖x元,外地牌子的每瓶卖y 元,则每天可卖出70-5x+4y瓶本地牌子的果汁, 80+6x-7y瓶外地牌子的果汁,问:店主每天以什 么价格卖两种牌子的果汁可取得最大收益? 每天的收益为 f(x,y)=(x-2)(70-5x+4y)+(y-24)80+6x-7y) 2012/2/22
2012/2/22 1 §7 极值 一、问题的提出 实例：某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每 瓶进价2 元，外地牌子每瓶进价 2.4 元，店主估计， 如果本地牌子的每瓶卖 x 元，外地牌子的每瓶卖 y 元，则每天可卖出 70 - 5x + 4y 瓶本地牌子的果汁, 80 + 6x - 7y 瓶外地牌子的果汁,问：店主每天以什 么价格卖两种牌子的果汁可取得最大收益？ 每天的收益为 f (x, y) (x 2)(70 5x 4y) ( y 2.4)(80 6x 7y)
二、多元函数的无条件极值 二元函数极值的定义 设函数∫(x,y)在点(x,yo)的某邻域内有 f(x,y)≤f(x,y)(Orf(x,y)≥f(x0,V 称(x,y)为函数∫的一个极大值点(或极小值点) 称f(x,yo)为相应的极大值(或极小值) 2012/2/22
2012/2/22 2 二、多元函数的无条件极值 二元函数极值的定义: 设函数 f (x, y) 在点 (x0 , y0 ) 的某邻域内有 极大值点 (或极小值点). 极大值 (或极小值). 称 (x0 , y0 ) 为函数 f 的一个 称 f (x0 , y0 ) 为相应的
例如: x=3x2+4 在点(0,0)有极小值; vr+ 在点(0,0)有极大值; 在点(0,0)无极值。 2012/2/22 3
2012/2/22 3 例如: 在点(0, 0)有极小值； 在点(0, 0)有极大值； 在点 (0, 0) 无极值
定理1(极值的必要条件) 设函数f(x,y)在点(xo,y取得极值,且∫在 在点(xy)处的一阶偏导数存在, 则必有f(x0,yn)=0,∫(x0,%)=0, 这样的点(x,y)称为驻点。 说明:1)使偏导数都为0的点称为驻点; 2)偏导数存在的前提下,极值点必是驻点, 但驻点不一定是极值点; 如:乙=x在点(0,0)是驻点,但不是极值点。 2012/2/22
2012/2/22 4 定理1 (极值的必要条件) 则必有 0 0 0 0 ( , ) 0 , ( , ) 0 , x y f x y f x y 驻点。 说明: 1) 使偏导数都为 0 的点称为驻点； 2) 偏导数存在的前提下，极值点必是驻点， 但驻点不一定是极值点； 设函数 f (x, y) 在点 (x0 , y0 ) 取得极值，且 f 在 在点 (x0 , y0 ) 处的一阶偏导数存在， 这样的点 (x0 , y0 ) 称为 如： z = xy 在点 (0, 0) 是驻点，但不是极值点
3)偏导数不存在的点也可能是极值点。 如:z=∫(x,y)=1x 在Oxy”平面整个y轴上的每一点(0,y)都是∫的 极小值点,但在这些点上∫关于x的偏导数均 不存在。 2012/2/22
2012/2/22 5 3) 偏导数不存在的点也可能是极值点。 如： z f (x, y) x 在Oxy 平面整个 y 轴上的每一点 (0, y) 都是 f 的 极小值点，但在这些点上 f 关于 x 的偏导数均 不存在
定理2(极值的充分条件) 设函数∫(x,y)在点P0xm,y)的某邻域内具有 一阶和二阶连续偏导数,且∫(x,y)=0,f”(x,)=0, aA=f(o, yo), B=f(o,o),C=f(o, yo) 则:1)当AC-B2>0时, 设函数∫(x,y)在点P0x0,y具有极值: A>0时,f(x0,y0)为极小值, A<0时,∫(x0,y)为极大值; 2)当AC-B2<0时,f(x,y)没有极值; 3)当AC-B2=0时,不能确定,需另行讨论。 2012/2/22
2012/2/22 6 定理2 (极值的充分条件) 一阶和二阶连续偏导数，且 0 0 0 0 ( , ) 0 , ( , ) 0 , x y f x y f x y 令 0 0 ( , ) , A f x y xx 0 0 ( , ) , B f x y xy 0 0 ( , ) . C f x y yy 则: 1) 当 AC B 2 0 时， A 0 时, 不能确定，需另行讨论。 设函数 f (x, y) 在点 P0 (x0 , y0 ) 的某邻域内具有 设函数 f (x, y) 在点 P0 (x0 , y0 ) 具有极值： f(x0 , y0 ) 为极小值， A 0 时, f(x0 , y0 ) 为极大值； 2) 当 AC B 2 0 时，f (x, y) 没有极值； 3) 当 AC B 2 0 时
求函数∫(x,y)极值的步骤: 1)在其定义域范围内求出驻点、偏导数及 不存在的点; 2)对于驻点,求出相应点的A、B、C用极值的 充分条件来判定; 3)对于偏导数不存在的点,或AC-B2=0的点, 用极值定义判别。 2012/2/22
2012/2/22 7 求函数 f (x, y) 极值的步骤: 1) 在其定义域范围内求出驻点、偏导数及 不存在的点； 2) 对于驻点，求出相应点的A、B、C 用极值的 充分条件来判定； 3) 对于偏导数不存在的点，或 AC-B2 = 0 的点， 用极值定义判别
例1、求函数∫(x,y)=x(a-x-y),a≠0的极值。 例2、求函数z=1-(x2+y2)3的极值。 例3、讨论函数z=x3+y3及z=(x2+y2)2 在点(0,0)是否取得极值 2012/2/22
2012/2/22 8 2 2 2 3 例2、求函数 z x y 1 ( ) 的极值。 例1、求函数 f x y xy a x y ( , ) ( ) , a 0 的极值。 在点 (0, 0) 是否取得极值。 例3、讨论函数 及
、多元函数的最值 函数∫在闭域上连续 函数∫在闭域上可达到最值 最值可能点「驻点 边界上的所有点 比较其大小,最大为最大值、最小为最小值 特别当区域内部最值存在,且只有一个极值点P时 ∫(P)为极小(大)值→∫(P)为最小(大)值 2012/2/22 9
2012/2/22 9 三、多元函数的最值 函数 f 在闭域上连续 函数 f 在闭域上可达到最值 最值可能点 驻点 边界上的所有点 比较其大小，最大为最大值、最小为最小值。 特别当区域内部最值存在, 且只有一个极值点P 时， f (P)为极小( 大) 值 f (P)为最小( 大) 值
例4、求函数∫(x,y)=1-x2-y2在区域 D={(x,y)x2+y2≤1,x>0,y>0}内的最大值。 例5、求乙 x+y最 de t 12 值 十 例6、求∫(x,y)=(x2+y3)e的极值和最值 2012/2/22 10
2012/2/22 10 2 2 f x y xy x y ( , ) 1 2 2 D x y x y x y ( , ) 1, 0, 0 内的最大值。 例4、求函数 在区域 2 2 1 x y z x y 例5、求 最值。 例6、求 的极值和最值。 2 2 2 2 ( ) ( , ) ( ) x y f x y x y e