第八章多元脑數积分学
1 第八章 多元函数积分学
§1重积分的概念及其性质 、问题的提出 曲顶柱体的体积 先看平顶柱体的体积 柱体的体积=底面积X高 石团 那么曲顶柱体呢?
2 §1 重积分的概念及其性质 一、问题的提出 曲顶柱体的体积 先看平顶柱体的体积 柱体的体积 = 底面积 ×高 那么曲顶柱体呢？
曲顶柱体: z=f(x, y) ∫是定义在平面区域G上的一个 曲面 非负二元函数(曲面),以此曲面 z=f(x,y)为顶,以Oy平面上区 域σ为底的空间区域,其侧面是以 的边界为准线,母线平行于z轴 的柱面。 求此曲顶柱体体积的过程: 分四步:
3 x z o y z f x y ( , ) 曲面 曲顶柱体： f 是定义在平面区域 σ 上的一个 非负二元函数（曲面），以此曲面 z = f (x, y) 为顶，以 Oxy 平面上区 域 σ 为底的空间区域，其侧面是以 σ 的边界为准线，母线平行于 z 轴 的柱面。 求此曲顶柱体体积的过程： 分四步：
1)分割: 分割区域σ为n个小区域△1;…,△σn 即得到n个小曲顶柱体, f∫(x,y) △1:第i个小区域的面积; 曲面 2)代替: 在每个小区域上任取一点 (x1,y1),…,(xn,Jn) 则第i个小曲顶柱体的体积就 用小平顶柱体体积近似代替 ΔV=f(x1,y)△1; △
4 1 , , , n x z o y z f x y ( , ) 曲面 i : i 1 1 ( , ) , ,( , ) , n n x y x y i x ( , ) ; V f x y i i i i i y 1) 分割: 分割区域 σ 为 n 个小区域 即得到 n 个小曲顶柱体， 第 i 个小区域的面积； 2) 代替: 在每个小区域上任取一点 则第 i 个小曲顶柱体的体积就 用小平顶柱体体积近似代替
3)求和: n个平顶柱体的体积之和 ∑△V≈∑∫(x,P)A 为曲顶柱体体积的近似值; 4)取极限: 使分割越来越细,且这些小区域都趋于一点(即 小区域的最大直径mnx{4}→0) 上式和式的极限就是曲顶柱体的体积 im∑f(x,y)A max4,1-30
5 max 0 di max 0 1 lim ( , ) i n i i i d i V f x y 4) 取极限: 使分割越来越细，且这些小区域都趋于一点（即 小区域的最大直径 ）， 上式和式的极限就是曲顶柱体的体积 1 n i i V V 1 ( , ) n i i i i f x y 3) 求和: n 个平顶柱体的体积之和 为曲顶柱体体积的近似值；
二重积分的定义 设Ω是一个有界区域,∫:Ω2→R是一个有界函 数,任意分Ω为n个内部互不相交(重叠)的子区 域Δ1(i=1,…,n),记△1的直径为d2(即△21中 任意两点的距离的‘最大值’),并记其面积为△o1 任取一点P∈△Q; 作和式∑f(P)△a i=1 如果=max(d1,…,dn)→>0时, I=nim∑f(P)△σ存在
6 一、二重积分的定义 设 Ω 是一个有界区域， f R : 是一个有界函 数，任意分 Ω 为 n 个内部互不相交（重叠）的子区 ( 1, , ) i 域 i n i ，记 的直径为di （即 中 i , 任意两点的距离的‘最大值’），并记其面积为 i , 任取一点 Pi i 1 ( ) n i i i f P 作和式 max( , , ) 0 1 n 如果 d d 时， max 0 1 lim ( ) i n i i d i I f P 存在
则称∫在Ω上 Riemann可积,简称可积。 称和式的极限I为∫在9上 Riemann积分,记为 盈J24d=imC/(P)o 分积蓄面 区题元 域数素 说明当ΩcR2(平面区域)时,称为二重积分。 记为Ⅰ=f(x,y)d=lim∑f(x1,y)△a1 ->0 i=1 积分变量
7 0 1 lim ( ) n i i i fd f P 积 分 区 域 被 积 函 数 面 积 元 素 积 分 号 说明 0 1 ( , ) lim ( , ) n i i i i I f x y d f x y 积分变量 则称 f 在 Ω 上 Riemann 可积，简称可积。 称和式的极限 I 为 f 在 Ω 上 Riemann 积分，记为 2 当 R （平面区域）时，称 I 为二重积分 。 记为
对二重积分定义的说明: 1)定义中,对闭区域的划分是任意的 2)当∫(x,y)在闭区域上连续时,定义中和式的 极限必存在,即二重积分比存在; 3)二重积分的几何意义—曲顶柱体的体积; 4)在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来 划分区域D,则面积元为 do=dxdy, 二重积分改写为: ∫j(x,p)Jf(x)dkd
8 对二重积分定义的说明： x y o D d dxdy , ( , ) ( , ) D D f x y d f x y dxdy 1) 定义中，对闭区域的划分是任意的； 2) 当 f (x, y) 在闭区域上连续时，定义中和式的 极限必存在，即二重积分比存在； 3) 二重积分的几何意义——曲顶柱体的体积； 4) 在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来 划分区域 D , 则面积元为 二重积分改写为：
、重积分的性质 1、线性性 若∫和g是g上的可积函数,a,B∈R, 则∫(a∫+B8gr=alJn+ 二重积分即Ω为平面区域D, (af+Bado =all fdo +pll gdo
9 三、重积分的性质 fd gd ( ) D D D f g d fd gd 1、线性性 若 f 和 g 是 Ω 上的可积函数， , , R ( ) f g d 则 二重积分 即 Ω 为平面区域 D
2、可加性 若Ω可分解为内部互不相交的区域921和息2的并, ∫是Ω上的可积函数, fda=」。fd+ Io fda 二重积分即g为平面区域D, f(, yodo=l f(x, y)do+lf(x,y)de 3、若在!上,∫=1, A=d为积分区域9的面积A
10 2、可加性 1 2 f d f d ( , ) D f x y d 1 2 ( , ) ( , ) D D f x y d f x y d A d f d 若 Ω 可分解为内部互不相交的区域 Ω1 和 Ω2 的并， f 是 Ω 上的可积函数，则 二重积分 即 Ω 为平面区域 D ， 3、若在 Ω 上，f = 1 , 为积分区域 Ω 的面积 A