第二籯缆唯代数与窆间解祈几何 线性代数的主要课题: 线性代数源于对线性方程组求解方法和 解的结论的讨论。 它以矩阵为工具研究线性空间之间各类 线性变换性质的数学理论。 2011/9/3
2011/9/3 1 第二篇 线性代数与空间解析几何 线性代数的主要课题: 线性代数源于对线性方程组求解方法和 解的结论的讨论。 它以矩阵为工具研究线性空间之间各类 线性变换性质的数学理论
线性代数基本内容 行列式、矩阵、n维向量、线性方程组、 标准形与二次型。 基本理论基础 线性代数特点 以离散变量为研究对象, 抽象性、逻辑性和应用性强 2011/9/3
2011/9/3 2 线性代数基本内容 行列式、 标准形与二次型。 矩阵、 n 维向量、 线性方程组、 基本理论基础 线性代数特点 以离散变量为研究对象， 抽象性、逻辑性和应用性强
第四章矩阵和线性方程组 大介绍行列式、矩阵的基本概念、性质和运算 大讨论线性方程组的解。 §1行列式 行列式产生于解线性方程组。从消元法 解二元、三元线性方程组来引入二阶和三阶 行列式,将其推广到n阶行列式。进而介绍 其的定义、性质和计算方法,最后给出解 线性方程组的 cramer法则。 2011/9/3 3
2011/9/3 3 第四章 矩阵和线性方程组 ＊介绍行列式、矩阵的基本概念、性质和运算。 ＊讨论线性方程组的解。 §1 行列式 行列式产生于解线性方程组。从消元法 解二元、三元线性方程组来引入二阶和三阶 行列式，将其推广到 n 阶行列式。进而介绍 其的定义、性质和计算方法，最后给出解 线性方程组的 Cramer 法则
n阶行列式的定义 1、二阶行列式 ar 1a1x1+a2x2=b2 主对角线a1t④12 1122 12u21 次对角线 二阶行列式 2011/9/3
2011/9/3 4 一、n 阶行列式的定义 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 a x a x b a x a x b 1 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1 1 2 a a a a a a a a 次对角线 主对角线 二阶行列式 1、二阶行列式
2、三阶行列式 12 n212223=a12a3+a12a2331+a13a2a32 a31 32231-a13223T1233122133 三阶行列式 3、三阶行列式的结构 1)每项为三个元的乘积,所属不同的行、列, 且仅出现一次 每一项都可写成a1i1a2i2a3i 1,2,3是1,2,3的一个排列; 2011/9/3
2011/9/3 5 31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a11a23a32 a12a21a33 三阶行列式 1）每项为三个元的乘积，所属不同的行、列， 且仅出现一次。 每一项都可写成 1 1 2 2 3 3 a i a i a i 1 2 3 i , i , i 是 1，2，3 的一个排列； 2、三阶行列式 3、三阶行列式的结构
2)每项都带有符号 3)三阶行列式可写成 12 13 21 22 23 z-1) 1i 2i, 3i 32 33 当n>3时,行列式的代数形式呢? 对角线法对四元一次方程组不成立! 4、逆序数的概念 个数i逆序 即数字i的前面比大的数字的个数。 逆序数:一个排列中,逆序的总和,称为此排列 2013逆序数
2011/9/3 6 2） 每项都带有符号 3） 三阶行列式可写成 3 1 3 2 3 3 2 1 2 2 2 3 1 1 1 2 1 3 a a a a a a a a a 1 1 2 2 3 3 a i a i a i t (1) ？ ？ 对角线法对四元一次方程组不成立!!! 当 n > 3 时，行列式的代数形式呢？ 逆序数：一个排列中，逆序的总和，称为此排列 的逆序数。 4、逆序数的概念 一个数 i 逆序： 即数字 i 的前面比 i 大的数字的个数
例1、求排列135…(2n-1)24…(2n)逆序数。 解:135…(2n-1)不构成逆序; 2前面有n-1个数比它大,故有n-1个逆序; 4前面有n-2个数比它大,故有n-2个逆序; 依次下去,直到前面没有数比它大,故没有逆序; 将所有元素的逆序相加得逆序数 1+2+…+(n-1)=n(n-1)/2 2011/9/3
2011/9/3 7 1 2 (n1) n(n1)/ 2 例1、求排列 135 (2 1)24 (2 ) n n 逆序数。 解： 135 (2 1) n 不构成逆序； 2 前面有 n-1 个数比它大，故有 n-1 个逆序； 4 前面有 n-2 个数比它大，故有 n-2 个逆序； 依次下去，直到前面没有数比它大，故没有逆序； 将所有元素的逆序相加得逆序数：
三阶行列式中正项的情况: 1122033 123=0 n12a2331:231z'=2}均为偶数, 1302132 312 2 行数已成自然排列123,∴τ=0只需考虑列数的情况; 三阶行列式中负项的情况: 1123032 132 2a23:213x=1均为奇数 1322031 321 3 直观地得到 排列2…in的逆序数z为偶数时,该项符号为正; 排烈i2…i的逆序数z为奇数时,该项符号为负
2011/9/3 8 : : : 13 21 32 12 23 31 11 22 33 a a a a a a a a a 312 2 231 2 123 0 0 : : : 13 22 31 12 21 33 11 23 32 a a a a a a a a a 321 3 213 1 132 1 三阶行列式中正项的情况： 均为偶数， 行数已成自然排列123， 只需考虑列数的情况； 三阶行列式中负项的情况： 均为奇数。 直观地得到 排列 i i i 1 2 n 的逆序数 为偶数时，该项符号为正； 排列 i i i 1 2 n 的逆序数为奇数时，该项符号为负
5、n阶行列式的定义 把n2个数an(i,j=1,…,n)排列成一个有n行、 n列的记号:记为a1a12 de(4)=|A4=2n 22 称此为n阶行列式,an:第i行第j列上的数或元 n阶行列式是下列所有这些项的代数和 21 22 =∑(-D 2 n2 2011/9/3 9
2011/9/3 9 5、n 阶行列式的定义 n n nn n n a a a a a a a a a 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 det(A) A 称此为 n 阶行列式， ij a n 阶行列式是下列所有这些项的代数和。 ( , 1, , ) ij 把 n a i j n 2 个数 排列成一个有 n 行、 n 列的记号：记为 ：第 i 行第 j 列上的数或元 n n nn n n a a a a a a a a a 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 nin a i a i a 1 1 2 2 1 （ ）
说明: 1)每项为n个元的乘积,n个元素是从每一行 中选出,且在不同列上,一般形式为 1i 2i 第一下标:按行1,2,,.n的顺序排列, 第一下标:i…L是1,2,…,n的一个排列, 2)符号确定: 若i2…i的逆序数z为偶数,(-1)为正, 若i2…n的逆序数z为奇数,(-1)为负; 3)n阶行列式有n2个元,共有n!项 2011/9/3 10
2011/9/3 10 nin a i a i a 1 1 2 2 1）每项为n 个元的乘积，n 个元素是从每一行 中选出，且在不同列上，一般形式为 第一下标：按行 1, 2, …, n 的顺序排列， 1 2 n 第一下标： i i i 是 1, 2, …, n 的一个排列， 2）符号确定： ( 1) 若 i i i 1 2 n 的逆序数 为偶数， 为正， ( 1) 若 i i i 1 2 n 的逆序数 为奇数， 为负； 3）n 阶行列式有 n 2 个元，共有 n! 项。 说明：