复旦大学：《高等数学》课程电子课件讲义_第一章 极限与连续 连续函数1.4

§4连续函数 大现实世界中”连续不断”的现象在数学上的反映, 就是函数的连续性。 大函数连续的直观意义:当自变量在某点处有微小 变化时,函数也在此点处有微小的变化。 大微积分讨论的对象主要是连续函数或只有个别间 断点的函数

1 §4 连续函数 ＊现实世界中”连续不断”的现象在数学上的反映， 就是函数的连续性。 ＊函数连续的直观意义：当自变量在某点处有微小 变化时，函数也在此点处有微小的变化。 ＊微积分讨论的对象主要是连续函数或只有个别间 断点的函数

函数在一点的连续性 1、函数的增量 设函数∫在U(x,)有定义,Vx∈U。(x0), 设△x=x-x0,称为自变量在点x的增量, 而△y=f(x)-f(x0) 称为函数f(x)相应于△x的增量 y=f(x) y=f(r) △ △y △x △x xa+△xx +△ry

2 一、函数在一点的连续性 设x  x  x0 ( ) ( ) x0 而y  f x  f 1、函数的增量 x y 0 0 x x0  x y  f (x) x y x y 0 0 x x0  x x y y  f (x) ( ), 设函数  xU x0 f 在 U x( , ) 0  有定义， 0 ，称为自变量在点 x 的增量， 称为函数 f (x) 相应于 x 的增量

2、定义 1)设函数∫在U(x0,6)有定义,△x=x-x △y=f(x+△x)-f(x0)如果lm△=0 则称函数∫在x处连续,或称xo是∫的连续点 兮2)limf(x)=f(x) 台3)VE>0,3δ>0,当x-xX(n→>) n→0

3 ( ) ( ) 0 x0 y  f x  x  f lim 0 0     y x 如果 0 0 2) lim ( ) ( ) x x f x f x         3) 0, 0   ，  ( ) ( )   x0 f x f   0 0 ( , ) 4) ( ) n n n x U x x x x n           lim ( ) ( ) x0 f x f n n   2、定义 x  x  x0 当 x  x0   时 ( ( , )) xU x0  1）设函数 f 在 U x( , ) 0  有定义， 则称函数 f 在 x0 处连续，或称 x0 是 f 的连续点

例1、证明f(x)=a2(a>1)在vx∈(∞+)连续 证:即证ⅤE>0,3δ>0,Vx∈U(x,6)a2-a|0,38>0,vx∈U(0,8)2-10彐8>0ax-0-11)在x0∈(-∞,+)连续

4 x x0 a  a lim 1 , 1 0 0 ' '    a a x x  '       0, 0, 0 ' x  0,即 x  x 0 0    x a   对 于 ’ ' 1 0     x x a 1 0 0   x x x a a ( , )  xU x0  0 x a   ( , )  xU x0      x x0 a a (0, ) '  x U    0 ' 1 '     x a      1 x x0 a 0 ( ) ( 1) ( , ) x 例1、证明 f x a a x        在 连续 证：即证       0, 0, 由连续的等价定义得    x x0 a a ' 0  x 0 0 1  a x x x a a ( , )  xU x0  0 0 x x a a     0 ( ) ( 1) ( , ) x       f x a a x 在 连续

3、性质 1)如果函数∫和g在x0处连续, 和∫+g 则两个函数的差f8在x处连续, 积∫g 商∫g(g(x)≠0) 证.Ch)xx f(x)=∫(x0) ling(x)=g(xo) imLf(x)±g(x)]=limf(x)±limg(x) x→x r-co x→x f(x)±g(x) fg在x0处连续,同理可证积商 5

5 3、性质 0 1）如果函数 f 和 g 在 x 处连续， 则两个函数的 和 f + g 差 f - g 积 f g 0 商 f g ( ( ) 0 ) g x  在 x0 处连续， 证： ( ) x0  f 、gC lim ( ) ( ) 0 0 g x g x x x   lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x        lim ( ) ( ) 0 f x g x x x ( ) ( ) x0 g x0  f  lim ( ) lim ( ) 0 0 f x g x xx xx  ∴ f±g在x0处连续，同理可证积商

例2、设f(x) P,(x) 其中P(x)和Qn(x)分别为 2m(x) n次和m次多项式,且Qn1(x)≠0, 解:对于常数函数∫(x)=C与函数g(x)=x,容易 从定义证明其连续性,然后由连续的四则运算 法则可以得到: lim f(x)=limon(r) P(xo) =f(x0) x-xo 2m(x)2m(o) ∫在x处连续

6 ( ) ( ) lim ( ) lim 0 0 Q x P x f x m n xx xx  ( ) x0  f ( ) ( ) 0 0 Q x P x m n  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n m m P x f x P x Q x Q x 例2、设  ，其中 和 分别为 0 ( ) 0 , n 次和 m 次多项式，且 Q x m  对于常数函数 f (x) = C 与 函数 g (x) = x ，容易 0  f x 在 处连续。 解： 从定义证明其连续性，然后由连续的四则运算 法则可以得到：

2)设有函数∫和g,x∈D4b=g(x)∈Dr 如果g在x连续,∫在山连续, 则∫。g在x0处连续。 证::=g(x)∈Cx)xx lim g(x)=g(o) lim u=uo 又∵y=f(u)在=g(x)处连续 limfg(x)l=limf(u)=f(uo) l-→>lo fk(xo)=∫°g(x 则∫。g在x0处连续

7 ( ) 0 ( ) u  g x C x lim ( ) ( ) 0 0 g x g x x x        lim ( ) 0 f g x x x ( ) u0  f  ( ) g x0  f ( ) g x0  f  x0  Dg u  g x  Df ( ) 0 0 lim ( ) 0 f u uu 2）设有函数 f 和 g ， 如果g 在 x0 连续，f 在 u0 连续， 0 则 f g x 在 处连续。 证： 0 0 lim x x u u  即  0 0 又 y f u u g x   ( ) ( ) 在 处连续 0 则 f g x 在 处连续

、函数的间断点 函数∫在x连续的三个条件 1)f(x)在x=x0有定义 2)imf(x)存在(有限)}缺一不可 3)lim f(x)=f(ro) y→ 1、间断点的定义 函数∫在x连续的三个条件中有一个不满足, 则称函数∫在x=x处不连续即间断,并称x 为∫(x)的间断点(不连续点) 间断点有第一类、第二类间断点

8 二、函数的间断点 0 0 3) lim ( ) ( ) x x f x f x   函数 f 在 x0 连续的三个条件： 1）f (x) 在 x = x0 有定义 0 lim ( ) x x f x  2） 存在（有限）      缺一不可 1、间断点的定义 函数 f 在 x0 连续的三个条件中有一个不满足， 则称函数 f 在 x = x0 处不连续即间断，并称 x0 为 f (x) 的间断点（不连续点）. 间断点有第一类、第二类间断点

2、第一类间断点 1)可去间断点、定义imf(x)存在,但 0 imf(x)≠f(x0orf(x0)无意义。 /x0≤x1的连续性。 解:lim∫(x)=lim2x=2 x→1 y=1 lim f(x)=lim(1+x)=2 2√x f(r=lim f(x) x→)1 1f(x)=2 x→

9 o x y 1 1 2 y  1 x y  2 x 2、第一类间断点 1）可去间断点 x0  定义 0 lim ( ) x x f x  存在，但 0 0 lim ( ) ( ) x x f x f x   or f (x0 ) 无意义。            1 1 1 0 1 1 2 ( ) x x x x x 例3、讨论函数 f x 在 x = 1 处 的连续性。 解： lim ( ) 1 f x x    x x lim2 1     2 lim ( ) 1 f x x  lim(1 ) 1 x x      2    lim ( ) 1 f x x 1 lim ( ) x f x   1 lim ( ) x f x     2

而f(1)=1limf(x)≠∫(1) x→)1 f(x)在x=1处不连续,为可去间断点。 注意可去间断点可对间断点补充或调整使之连续。 若x=x是∫(x)的可去间断点,可构造 x≠x0 F(x)=lim∫(x)X=x"(x)在x=x连续。 x→>x0 如上例,令∫(1)=2 2√x0≤x<1 则f(x) 1+xy≥1 在x=1处连续。 10

10 lim ( ) (1) 1 f x f x    而 f (1) 1   f x( ) 在 x = 1 处不连续，为可去间断点。 注意 可去间断点可对间断点补充或调整使之连续。 若 x = x0 是 f (x) 的可去间断点，可构造       lim ( ) ( ) ( ) 0 f x f x F x x x x  x0 x  x0 F (x) 在 x = x0 连续。 如上例，令 f (1) 2  2 0 1 ( ) 1 1 x x f x x x         则 在 x = 1 处连续。 o x y 1 1 2