复旦大学：《高等数学》课程电子课件讲义_第一章 极限与连续 函数的极限1.3

§3函数的极限 大数列极限是定义在正整数集上的函数当自变量 趋于无穷大时的极限。 大函数极限是定义在实数集上的函数当自变量连 续地趋于某个值(有限或无限)时的极限 海豹

1 §3 函数的极限 ＊数列极限是定义在正整数集上的函数当自变量 趋于无穷大时的极限。 ＊函数极限是定义在实数集上的函数当自变量连 续地趋于某个值(有限或无限)时的极限。 海豹

自变量趋于有限值时函数极限 定义:(精确的) 如果对任意给定的正数E>0,总存在δ>0, 使得当0x0时,以A为极限 记为limf(x)=A 定义:(通俗的) 设函数∫在U(x0,6)有定义(点x可除外), 当x→x时,函数f(ax)无限地接近于常数A, 即f(x)-A趋于0, 则称∫(x)在x→x时,以A为极限

2 一.自变量趋于有限值时函数极限 f x A ( )   定义: （精确的） 如果对任意给定的正数   0 ，总存在   0 ， 0 使得当 0    x x  时，有 0 则称 f x x x ( ) 在  时，以 A 为极限。 f x A x x   lim ( ) 0 记为 定义: （通俗的） 设函数 f 在 U x( , ) 0  有定义（点 x0 可除外）， 当 x x  0 时，函数 f (x) 无限地接近于常数 A ， 即 f (x)- A 趋于 0 ， 0 则称 f x x x ( )在  时，以 A 为极限

定义:(数列极限的形式) limf(x)=A分对任意收敛于x的数列{x}, x→>xo 其中xn≠x,=1,2, 均有lm∫(xn)=A n→)0 邻域的定义:对A的任何E邻域,存在x的某个 δ邻域,当x属于该邻域而非x时,f(x)落在A的 E邻域中,也即: y=∫(x 对E>0,彐8>0, A+a 当x∈U(x0,)且x≠x时,A2 f(x)∈U(A,E) lim∫(x)=A +6 x→>x0

3    f x A x x lim ( ) 0 定义: （数列极限的形式） 0 , 1,2, n 其中 x x n   lim ( ) n n f x A  均有  邻域的定义: 对 A 的任何  邻域，存在 x0 的某个 对任意收敛于 x0 的数列 x n  ，  邻域，当x 属于该邻域而非 x0 时，f (x)落在A 的  邻域中，也即： f x U A ( ) ( , )   f x A x x    lim ( ) 0 对       0, 0, 0 0 当 x U x x x   ( , )  且 时， y f x  ( ) A A  A 0 x  0 x0 x    x y o

极限的性质 1、定理(极限的四则运算) 若limf(x)与img(x)均存在, x→>x0 x→x 则:)lm[f(x)±g(x)=imf(x)士mg(x) 2)lim[f(x).(x)=lim f(x). lim g(x) 0 lim f() 3)li f(r) x→x (只要img(x)≠0) g(x) lim g(x) x→X0 x→x 4

4 二.极限的性质   0 2) lim ( ) ( ) x x f x g x   0 ( ) 3) lim ( ) x x f x  g x lim ( ) lim ( ) 0 0 f x g x xx xx   lim ( ) lim ( ) 0 0 f x g x xx xx   lim ( ) lim ( ) 0 0 g x f x x x x x    ( lim ( ) 0) 0   g x x x 只要 海星 1、定理(极限的四则运算) 0 0 lim ( ) lim ( ) x x x x f x g x 若   与 均存在，   0 1) lim ( ) ( ) x x f x g x  则： 

证明:1)设limf(x)=Aimg(x)=B x→x 由数列极限形式的定义得: 对y X.≠y 0 均有Iim∫(xn)= A ling(xn)=B n→00 n→0 limf(xn)±g( n→0 limf(xn)±limg(xn)=A±B n→0 再由数列极限形式的定义得 in/(x)±g(xl=A±B=im(x)±im(x) 同理可证2)、3)

5 对 xn   A B lim ( ) ( ) 0 f x g x x x   xn  x0 0 limxn x n   lim ( ) ( ) n n n f x  g x  lim ( ) lim ( ) n n n n f x g x      A B lim ( ) lim ( ) 0 0 f x g x xx xx   证明： 0 0 lim ( ) lim ( ) x x x x f x A g x B   1）设   由数列极限形式的定义得： lim ( ) lim ( ) n n n n f x A g x B   均有   再由数列极限形式的定义得： 同理可证 2）、3）

利用有限次的运算法则可求得 P(x)=∑ ax lim P2(x)=lim∑a1x′=∑a(imx) i=0 n次多项式 ∑axn=P(xn) 也可求得 lin P(r) P(o) (只要Qn1(x)≠0) x-x0 2m(x)2m(xo) m次多项式

6 i n i Pn x ai x   0 ( ) ( ) ( ) lim 0 Q x P x m n xx n 次多项式 m 次多项式   lim ( ) 0 Pn x x x i n i i x x a x   0 0 lim ( ) ( ) 0 0 Q x P x m n  ( ( ) 0) 只要Qm x0  (lim ) 0 0 i x x n i ai x     ( )  Pn x0 i n i ai x0 0   利用有限次的运算法则可求得 也可求得

例1、求伍x2-6x+8 x→4x2-5x+4 x+1-1 例2、求lim x→0

7 2 2 4 6 8 lim x 5 4 x x  x x     例1、求 0 1 1 lim x x  x   例2、求

2、夹逼性(定理)质 设对某r>0,当0x0 则limg(x)=A 证明 f(r)=limh(x)=A x→>xo 由数列极限形式的定义: f(xn)=limh(rn) n→ 又∵∫(xn)≤g(Xn)≤h(xn)由数列的夹逼性 img(xn)=A由{xn}的任意性, 及数列极限形式的定义→limg(x)=A

8 f (x)  g(x)  h(x) f x h xn A n n n     lim ( ) lim ( ) f x h x A x x x x     lim ( ) lim ( ) 0 0  g xn A n   lim ( ) g x A x x    lim ( ) 0 2、夹逼性（定理）质 设对某 r > 0 ， 0 当 0    x x r 时， 0 0 lim ( ) lim ( ) x x x x f x h x A   且   0 lim ( ) x x g x A  则  证明： 由数列极限形式的定义： ( ) ( ) ( ) n n n 又 f x g x h x   由数列的夹逼性 由 xn  的任意性， 及数列极限形式的定义

3、有界性(定理) 如果lim∫(x)存在, 则彐δ>0,30B 则彐δ>0,30g(x)

9 3、有界性（定理） 0 lim ( ) x x f x  如果 存在 ，    0, 0 则     0 x x  时， 0 函数 x f (x) 有界（点 除外）. 4、保号性 0 0 lim ( ) , lim ( ) x x x x f x A g x B A B   设    且    0, 0 则     0 x x  时， f x g x ( ) ( ) 

4-B 证:取E 2 limf(x)=A381>090030 2 >g(x)即f(x)>g(x) 10

10 f x A x x   lim ( ) 0  g x B x x   lim ( ) 0  A  f (x)  A B  g(x)  B  1  0  0  x  x0   1 时 f (x) A    2  0  0  x  x0   2 时 g(x) B   2 ( ) 2 A B f x A A B A        2 ( ) 2 A B g x B A B B        证： 0 2 A B   取   2 ( ) 2 A B f x A A B      即 2 ( ) 2 A B g x A B B      ( ) 2 ( ) g x A B f x     即 f (x)  g(x)