复旦大学：《高等数学》课程精选教案_隐函数存在定理及应用

教案 隐函数存在定理及应用 教学内容 考察一个方程或方程组是否确定一个隐函数(向量值函数),是一个在实际 中经常遇到的问题。隐函数存在定理就是研究这个问题的基础。它不但在数学理 论中起着重要作用,而且对实际应用问题起着指导作用。让学生掌握学好这个定 理,并会用这个定理解决问题,是这节课的授课重点。本节课中主要讲解下面的 内容: (1)隐函数存在定理成立的条件; (2)隐函数存在定理的结论与隐函数导数(偏导数)的计算; (3)空间曲面的切平面。 教学思路和要求 (1)通过例子说明隐函数存在是需要条件的,且存在性常常是有一定范围 的,即存在性是局部性质 (2)讲述隐函数存在定理,并且讲述导数(偏导数)计算公式的推导过程, 这可以对接下来的实际计算提供指导和方法上帮助。 (3)举例说明如何计算隐函数的一阶和二阶导数(偏导数)等。 (4)讲述对于由曲面一般方程所表示的曲面,如何计算它的切平面方程。 教学安排 问题的引入 在讨论一元函数时,我们已经注意到两个变量x与y间的函数关系有时未必 能表示为显函数y=f(x)的形式。设F是一个二元函数,由它导出的方程 F(x,y)=0在一定条件下确定了x与y间的函数关系,我们称这类函数为隐函数。 在什么条件下,隐函数是存在的?这个函数是否连续、可导?又如何求隐函数的 导数?这些自然是人们关心的问题。对于多元函数和多元函数组(即向量值函 数),同样提出了是否能由变量间满足的方程或方程组,确定相应的变量间的函 数关系,以及这些函数是否可微等问题。 先考察一个简单的方程 x2+y2-1=0。 它对应于平面上的单位圆周。容易知道在上半圆周 y (或下半圆周)上,除(1,0)和(-1,0)这两点外,任 何点处都能取到一个邻域,在此邻域内,由方程 x2+y2-1=0唯一确定了x与y间的函数关系,即 O y=1-x2(y=-√1-x2),其图象恰好是单位圆 周落在该邻域中的一段弧。我们注意到圆周上在这 种点处的切线斜率都是有限值。另一方面,在(1,0)和 图7.4.1 (-1,0)的任何邻域内,一个x值可能有两个满足方程 x2+y2-1=0的y值与之对应,因而不能确定x与y间的函数关系。这说明,隐 函数存在是有一定条件的 元函数的隐函数存在定理

23 x y y  f (x ) F F(x, y)  0 x y 1 0 2 2 x  y   ( 1 , 0 ) (  1 , 0 ) 1 0 2 2 x  y   x y 1 ( 1 ), 2 2 y   x y    x ( 1 , 0 ) (  1 , 0 ) x 1 0 2 2 x  y   y x y y x O 1

若将单位圆周方程写为 F(x,y) 1=0 易发现,(10)和(-1,0)是使得F(x,y)=0的仅有的两个点,这提示F,(x,y)≠0对 于确定y是x的隐函数可能有着重要作用。进一步,若方程F(x,y)=0确实决定 了y是x的函数,如果y=y(x)可导,F(x,y)可微,则由F(x,y(x)=0及复合函 数的链式规则,有 d F(x,y(x) aF(x,y) aF(x,y)dy d F+F 0 因此若F(xy)≠0,则可得到y=y(x)的导数⑨y=-F。这又说明条件 X F(x,y)≠0”可能具有举足轻重的意义。 事实上,我们有下面的定理 定理7.4.1(隐函数存在定理)设二元函数F在点B(xny)的某邻域 O(P,r)上有定义,而且 (1)F(x0,y)=0; (2)在B(P3r)中,F的偏导数F’,F连续; (3)F(x0,y)≠0, 则存在δ>0和在(x0-δ,x+δ)中唯一确定的一元函数∫,使得 1)F(x,f(x)=0(x∈(x0-,x0+6),且y0=f(x); (2)∫在(x。-6,x+δ)上可微,而且 dy 我们略去这个定理中隐函数存在性的证明。当隐函数∫存在时,由前面提到 的,从F(x,f(x)=0,两边对x求导,即得 Fr+F(x)=0 由F;的连续性,在(n,y)的某邻域中F,≠0,所以f()=-E。这就是定理 中关于隐函数导数的关系式。 例反映行星运动的 Kepler方程为 y-x-Esiny=0 (00 显然,F,F,F均是R2上的连续函数。因而,在原点附近由 Kepler方程唯 一地确定了y关于x的隐函数关系,这个隐函数是可微的,而且

( , ) 1 0 2 2 F x y  x  y   , (1, 0) (1, 0) Fy (x, y)  0 Fy (x, y)  0 y x F(x, y)  0 y x y  y(x) F(x, y) F(x, y(x))  0 x y y F x y x F x y x F x y x d ( , ) ( , ) d d d ( , ( ))       0 d d    x y Fx Fy , Fy (x, y)  0 y  y(x) y x F F x y   d d Fy (x, y)  0 设二元函数 F 在点 ( , ) 0 0 0 P x y 的某邻域 ( , ) 0 O P r 上有定义，而且 （1） F(x0 , y0 )  0 ； （2）在 BP ,r 0 中， F 的偏导数 Fx ， Fy  连续； （3） Fy (x0 , y0 )  0， 则存在   0 和在 ( , ) x0  x0  中唯一确定的一元函数 f ，使得 （1） F(x, f (x))  0 （ ( , ) x  x0  x0  ），且 ( ) 0 0 y  f x ； （2） f 在 ( , ) x0  x0  上可微，而且 y x F F dx dy     。 f F(x, f (x))  0 x Fx   Fy  f (x)  0 Fy  ( , ) 0 0 x y Fy   0 y x F F f x   ( )   y  x  sin y  0 0    1 y x x y  y x F(x, y)  y  x  sin y F(0,0)  0 Fx (x, y)  1 Fy (x, y)  1  cos y  0 F Fx  Fy  2 R y x

dx Fr 1-8cosy 三.多元函数的隐函数存在定理 在定理7.4.1中,一元隐函数y=f(x)是由二元函数F满足的方程 F(x,y)=0导出的。如果形式上把自变量x视为R"中的元,F视为n+1元函数, 则相应的结论便是多元隐函数的存在与可微性定理 定理7.4.2设n+1元函数F在点P(x1),…,x0,y)的某邻域OP,r)上有 定义,而且 (1)F(x y0)=0 (2)在O(P,n)中,F的各偏导数F(=1…,m),F均连续; (3)F(x xn,y0)≠0, 则存在δ>0和在x=(x1),…,x)的δ邻域上定义的n元函数∫,使得 (1)F(x1…xn,f(x1,…,xn)=0((x1,…,xn)∈O(x0,)),且 y=f(x10)…,x) (2)∫在O(x0,6)上可微,而且 Fx)。 例求由1+y2+x2+3=0确定的隐函数=(xy)的偏导数,正以及 它们在点(,1,-1)处的值 解记F(x,y,z)=1+y2+x2x2+z3,可得 ay F.y+ 由此又得 l(.,-1) ay (1,1,-1) 例设二元函数F的两个偏导数连续,z=x(x,y)是由F(x-x,y+z)=0所确 定的隐函数,试求, 解记a 则F(x-z,y+z)=0,即 ULv= 将此方程两端关于x求偏导数,得 ax ax 即 h( +F;==0 从而

F y F dx dy y x 1 cos 1        y  f (x) F F(x, y)  0 x n R F n 1 设 n 1 元函数 F 在点 ( , , , ) 0 (0) (0) 0 1 P x x y  n 的某邻域 ( , ) 0 O P r 上有 定义，而且 ( , , , 0 ) 0 (0) (0) F x1  xn y  在 ( , ) 0 O P r 中， F 的各偏导数 F (i 1, ,n) i x    ， Fy  均连续 ( , , , 0 ) 0 (0) (0) Fy  x1  xn y  则存在   0 和在 ( , , ) (0) (0) 0 1 n x  x  x 的  邻域上定义的 n 元函数 f ，使得 F(x1 ,  , xn , f (x1 ,  , xn ))  0 ( , , ) ( , ) x1  xn O x0  且 ( , , ) (0) (0) 0 1 n y  f x  x f 在 ( , ) O x0  上可微，而且 ( ) 1 1 1 n x x n y F F x F y x y                    1 0 2 2 3  yz  x z  z  z  z(x, y) x z   y z   (1,1, 1) 2 2 3 F(x, y,z) 1 yz  x z  z 2 2 2 2 3 2 y x z z xz F F x z z x           2 2 y 2x z 3z z F F y z z y           1 (1,1, 1)      x z 2 1 (1,1, 1)     y z F z  z(x, y) F(x  z, y  z)  0 x z   y z   u  x  z,v  y  z F(x  z, y  z)  0 F(u,v)  0 x  0        x v F x u Fu v 1  0               x z F x z Fu v

Ox F-F 同样,将F(ωu,v)=0两边同时关于y求偏导数,可得 本例中如引入f(x,y,z)=F(x-x,y+z),则由定理742同样可得 U: p) (F"F) 例设方程x2+y2+2=4确定=为x,y的函数,求三和102- ax- ax0 解在方程x2+y2+z2=4z两边对x求偏导,得 2x+2:=4 所以 再对上一等式两边对x求导偏得 4 ax 在方程x2+y2+x2=4两边对y求偏导,得 4 所以 ay 2-2 再对上一等式两边对x求偏导,得 2 4- ax ay andy axo 即 四.空间曲面的切平面 设一个空间曲面由形如 (x,y,=)=0 的方程给出,P(x0,y0,=0)为曲面上的一点。如果F的三个一阶偏导数在P的某 邻域中存在且连续,F(x0,y0,=0)≠0,则由定理74.2可知,在(xa,y)的某邻域 中由此方程确定了一个函数z=f(x,y)。由第二节的结论可知,曲面在P处的法 向量为

u v u F F F x z        F(u,v)  0 y u v v F F F y z        f (x, y,z)  F(x  z, y  z) 7.4.2       u v u v u v u v x y z F F F F F F F F f f y f z x z                                1 1 1 x y z 4z 2 2 2    z x, y 2 2 x z   x y z    2 x y z 4z 2 2 2    x x z x z x z      2  2 4 z x x z     2 x 2 2 2 2 2 2 2 2 4 x z x z z x z                3 2 2 2 2 2 (2 ) (2 ) 2 1 z z x z x z x z                  x y z 4z 2 2 2    y y z y z y z      2  2 4 z y y z     2 x x y z x y z z y z x z             2 2 2 2 4 3 2 2 (2 z) xy z y z x z x y z            F(x, y,z)  0 ( , , ) 0 0 0 0 P x y z F P0 F z (x0 , y0 ,z0 )  0 7.4.2 ( , ) 0 0 x y z  f (x, y) P0

n=-f(ro, yo)i-f(xo, yo)j+k F j+k=(F+F+Fk)。 记N=(F+F+Fk),N也是F(x,y,2)=0在P处的法向量。 对于一般形式的方程 F(x,y,=)=0 而言,变量xy,的地位是相同的,因而,只要F,F,F之一不为0,上述N便 是曲面F(x,y,z)=0在点P处的法向量。于是,该曲面在P处的切平面方程即 Fx(x0,y0,20)(x-x0)+Fy( )(y-y)+F(x0,y0,=0(=--0) 例试求椭球面 b+2=1在点川abc 处的切平面方程 解记F(xy2)=Xy+-1。椭球面方程即F(x,y,)=0,它在点P 处的法向量为 k 因而椭球面在点P处的切平面方程为 C 0 b 例已知曲面Σ:e2x-=f(my-√2x),其中∫为具有连续导数的一元函数 证明∑为柱面。 证要证明曲面Σ为柱面,只要证∑上任意一点的切平面都平行于一条定直 线,即证Σ上任意一点的法向量垂直于一个定向量。 曲面∑的方程即为F(xy,)=e2x-f(y-√2z)=0。所以曲面Σ上任一点 (x,y,=)的法向量为 n=(F1,F1,F)=(2e2 (y-√2=) 2x= 设定向量为a=(l,m,n),要使n与a垂直,只要n·a=0,即 2le2x--mnyf(ny-√2)-nex+√2nf(m-√2z)=0 只要取 2,n=2 即 a=(丌 √2 则na=0。即曲面∑上任意一点的法向量垂直于定向量a=(丌,2√2,2x),因此Σ 为柱面。 证毕 五.进一步的问题

n   f x (x0 , y0 )i  f y (x0 , y0 ) j  k 0 0 0 ( ) 1 P x y z z P z y z P x F F F F F F F F i j k i   j  k          0 ( ) P N  Fx i  Fy  j  Fz k N F(x, y,z)  0 P0 F(x, y,z)  0 x, y,z Fx Fy Fz  ,  ,  0 N F(x, y,z)  0 P0 P0 Fx (x0 , y0 ,z0 )(x  x0 )  Fy (x0 , y0 ,z0 )(y  y0 )  Fz (x0 , y0 ,z0 )(z  z0 )  0 1 2 2 2 2 2 2    c z b y a x         3 , 3 , 3 a b c P ( , , ) 1 2 2 2 2 2 2     c z b y a x F x y z F(x, y,z) =0 P P c z b y a x       N  i  j  k 2 2 2 2 2 2          a b c i j k 3 2 P 0 3 1 3 1 3 1                              c z c b y b a x a    3 c z b y a x  ( 2 ) 2 e f y z x z     f      F(x, y,z) = ( 2 ) 0 2     e f y z x z   (x, y,z) n  ( , , ) 2 , ( 2 ), 2 ( 2 ) 2 2 F F F e f y z e f y z x z x z x y z              a  (l,m,n) n a n a  0 2 ( 2 ) 2 ( 2 ) 0 2 2           le mf y z n e nf y z x z x z    l   m  2 2 n  2 a  (, 2 2, 2 ) n a  0  a  (, 2 2, 2 ) 

作为本节讨论的继续,下一节将讨论: 1.由函数方程组如何确定向量值隐函数函数的问题; 2.进一步的几何应用 六.习题 1;2.(1),(3),(4);3;4;5;6;10;11;12

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