复旦大学数学科学学院 2015~2016学年第二学期期末考试试卷 口A卷 课程名称:高等数学C(下)课程代码 开课院系:数学科学学院考试形式:闭卷 姓名 学号 专业 题目1 4 6 7总分 分 装订线内不要答题 1、(本题满分48分,共6小题,每小题8分) (1).求极限 1-cose (x2+y2) lim (x)→(0.)(x2+y2)2 页(共8页)
( K â á ÿ S Ç æ C ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . EåÆÍÆâÆÆ 2015*2016Æc1Æœœ"££Ú ✷ A Ú ë߶°µ p ÍÆC£e§ ëßì˵ mëXµ ÍÆâÆÆ £/™µ 4Ú 6 ¶µ Æ “µ ; íµ K 8 1 2 3 4 5 6 7 o© © 1!£ K˜©48©ß6KßzK8©§ (1). ¶4Å lim (x,y)→(0,0) 1 − cos[e x (x 2 + y 2 )] (x 2 + y 2 ) 2 . 11ê ( 8ê)
(2).交换积分顺序并求积分的值:d/e-ydy (3)求幂级数∑=2(x-1)"的收敛域 第2页(共8页)
(2). Ü»©^Sø¶»©äµ R 1 0 dx R 1 x e 1−y 2 dy. (3).¶ò?Í P∞ n=2 2 n n (x − 1)n¬Òç" 12ê ( 8ê)
(4).解微分方程vy=2x+y (5).求函数Z=x4+y4+2016在条件x+y=2上的最小值 第3页(共8页)
(4). )á©êßyy0 = 2x + y. (5). ¶ºÍZ = x 4 + y 4 + 2016 3^á x + y = 2˛Åä" 13ê ( 8ê)
(6).已知随机变量服从正态分布N(,4),且级数∑m=1n收敛的 概率为0.5,求μ及ξ的数学期望E; 2、计算题(本题满分10分)设平面区域D={(x,y)|r2≤x2+ ≤42},计算二重积分 n V +y2+ sin(2 ry)le 第4页(共8页)
(6). ÆëÅC˛ξ—l©ŸN(µ, 4)ßÖ?Í P∞ n=1 n ξ¬Ò V«è0.5ß ¶µ 9 ξ ÍÆœ" Eξ; 2!OéK£ K˜©10©§ ²°´çD = {(x, y)|π 2 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4π 2}ßO黩 Z Z D [sin p x 2 + y 2 + sin(2xy)]dxdy . 14ê ( 8ê)
3、计算题(本题满分10分)已知函数y(x)满足方程y+4y/+3y= 丌(3x+4),且y(0)=丌,y(0)=0.记an=y(m),n=1,2,…,试判断 级数 的敛散性并说明理由。 第5页(共8页)
3!OéK£ K˜©10©§ ƺÍy(x)˜vêßy 00 + 4y 0 + 3y = π(3x + 4), Öy(0) = π, y0 (0) = 0. Pan = y(n), n = 1, 2, · · · , £‰ ?Í X +∞ n=1 n sin an Ò—5ø`²nd" 15ê ( 8ê)
4、计算题(本题满分8分)展开x()为x的幂级数,并求级数 的和 z=1(n+1 5、(本题满分8分)设二元函数∫(u,U)具有连续一阶偏导数,z 2(x,y)由方程 (x+1)z+y2=2x2f(x,y+z 确定,求全微分d|0. 第6页(共8页)
4!OéK£ K˜©8©§–m d dx e x − 1 x è x ò?Íßø¶?Í X +∞ n=1 n (n + 1)!⁄. 5!£ K˜©8©§ ºÍf(u, v) ‰kÎYò †Íßz = z(x, y)dêß (x + 1)z + y 2 = 2x 2 f(x, y + z) (½, ¶ á© dz|(0,1). 16ê ( 8ê)
6、计算题(本题满分10分)已知一日之内进入某商铺的顾 客数n服从参数为30的 Poisson分布(即P(n=n)=m0c-30,n 0,1,2,…),而每位顾客实际购物的概率为,求一日之内实际购物 的顾客数目的分布,并求5的数学期望以及方差 第7页(共8页)
6!OéK£ K˜©10©§ ÆòFÉS?\,˚£ êÍη—lÎÍè30Poisson©Ÿ£=P(η = n) = 30n n! e −30, n = 0, 1, 2, · · · §ß z†ê¢S ‘V«è1 3 , ¶òFÉS¢S ‘ êÍ8ξ ©Ÿßø¶ξ ÍÆœ"±9ê " 17ê ( 8ê)
7、证明题(本题满分6分)设二元函数z=f(x,y)在闭单位圆 盘D:x2+y2≤1上连续,在D的内部D:x2+y2<1上具有连续偏 导数,且满足方程 ax 2016()2 如果z=f(x,y)在D的边界(即闭单位圆周D:x2+y2=1)上取值 恒为零,请证明函数z=f(x,y)在闭单位圆盘D:x2+y2≤1上取值 恒为零。 第8页(共8页)
7!y²K£ K˜©6©§ ºÍz = f(x, y)34¸† D : x 2 + y 2 ≤ 1˛ÎYß3DS‹D0 : x 2 + y 2 .£=4¸† ±∂D : x 2 + y 2 = 1§˛ä ðè"ßûy²ºÍz = f(x, y)34¸† D : x 2 + y 2 ≤ 1˛ä ðè"" 18ê ( 8ê)