复旦大学：《高等数学》课程往年试题（高等数学C）高等数学2012_2013第一学期A卷答案（高数C）

复旦大学数学科学学院 2012~2013学年第一学期期末考试试卷 □A卷答案 课程名称:高等数学 课程代码: MATH120005.04 开课院系:法医学、医学试验班、临床医学(八年制)考试形式:闭卷 姓名 学号 专业: 题号12345 910总分 得分 求下列极限:(6′×3) m-√s)-)=1 1+Cos Tx t cost dt 0 ta 、已知y2f(x)+xf(y)=x2,且f(x)可导,求 dy 2x-yf(x)-f) 答案:y-2yf(x)+x(y) 、设∫(tanx+1)=cos2x+sec2x,且f()=4,求f(x)。(6) 答案:f(x)= arctan(x-1)+x+(x-1)3+3

复旦大学数学科学学院 2012～2013 学年第一学期期末考试试卷 □A 卷答案 MATH120005.04 一、求下列极限：（ 63 ） 1．    2 3 1 3 1 1 cos 1 1 lim        x x x x ； 2． 0 sin cos lim 0 2 2 0 2 0             x x x t dt t t dt ； 3．     0 tan sin sin tan lim 3 0    x x x x 。 二、已知     2 2 y f x  xf y  x ，且 f x 可导，求 dx dy 。（ 6 ） 答案： 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 yf x xf y x y f x f y y        。 三、设 f  x  x x 2 2  tan 1  cos  sec ，且 f 1  4 ，求 f x 。（ 6 ） 答案： ( 1) 3 3 1 ( ) arctan( 1) 3 f x  x   x  x  

则、设y=如405分=0与x0所面积为,y=m0x5号 y=a(0≤a≤1)与x=所围面积为A1,求A=A1+A2的最小值。(6 答案:最小值为Az=√2 五、求下列积分:(6′×3) 「dk=amx+小-x sIn x cos x dx=-(sin x-cos x)--In/csc x+ 十 sin x+ cos x √2 COs x 六、已知f(x)存在,f(O)=a,且对任何xy恒有f(x+y)=f(x)+f(U)+2xy,试求f(x)。(6) 答案:f(x)=ax+x 寸论广义积分∫x“lm”xh(2>0n∈M)的敛散性,(10) 答案:01时收敛

四、设          2 sin 0  y x x ， y  a0  a 1 与 x  0 所围面积为 A1，          2 sin 0  y x x ， y  a0  a 1 与 2  x  所围面积为 A2 ，求 A  A1  A2 的最小值。（ 6 ） 答案：最小值为 2 1 4         A 。 五、求下列积分：（ 63 ） 1． dx x x c x x        2 arcsin 1 1 1 ； 2． dx x x x x c x x x x                      4 cot 4 ln csc 2 2 1 (sin cos ) 2 1 sin cos sin cos   ； 3． 3 2 1 cos 2 2 3       dx e x x 。 六、已知 f x 存在， f 0  a ，且对任何 x, y 恒有 f x  y  f x f y 2xy ，试求 f x。（ 6 ） 答案： 2 f (x)  ax  x 。 七、讨论广义积分    1 x ln xdx  n   0,n N 的敛散性。（ 10 ） 答案：0   1 时发散；  1 时收敛

证明:假设f(x)在[ab]上有连续的二阶导数,又f(a)=f(b),f(a)>0,f(b)>0,那么在a,b) 内,至少有一点5,使得f)=0。(10) 证:因为f(a)=f(b),由Rol定理知,在(anb)内至少有一点5,使得f(1)=0。对f(x)分别 在[a,51]和[1b]上应用 Lagrange中值定理,有 )sf(1)-f( (a) f(a) r()=b-/)=/()>0,5∈(5,b b 由零点存在定理可知,5∈(2,)c(ab),使得∫"()=0 1-n1 九、求行列式Dn=11 n11。(10′) 答案:Dn=(-1)2(m 十、设a=2.b=1.c=0.A=ab,B=ba,求解方程2B2X=4x+B (10′) 答案:X=c2+0

八、证明：假设 f x 在 a,b 上有连续的二阶导数，又 f a  f b， f a  0, f b  0 ，那么在 a,b 内，至少有一点  ，使得 f    0 。（ 10 ） 证：因为 f a  f b，由 Rolle 定理知，在 a,b 内至少有一点  1 ，使得 f  1   0 。对 f x 分别 在   1 a, 和  ,b  1 上应用 Lagrange 中值定理，有 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2            a f a a f f a f     ， ( , )  2  a  1 ， 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 3               b f b b f b f f ， ( , )  3   1 b ， 由零点存在定理可知， ( , ) ( , )    2  3  a b ，使得 f    0。 九、求行列式 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1            n n n n Dn      。（ 10 ） 答案： 2 1 ( 1) ( 1) ( 1)      n n n Dn n 。 十、设            1 2 1 a ，              0 2 1 1 b ，            8 0 0 c ， T A  ab ， B b a T  ，求解方程 B A X  A X  B X  c 2 2 4 4 2 。 （ 10 ） 答案：                                    2 1 0 0 1 2 1 X c