复旦大学：《高等数学》课程往年试题（高等数学C）2012-1-6高数C（A）-答案

复旦大学数学科学学院 2011~2012学年第一学期期末考试试卷 口A卷 课程名称:高等数学C(上)课程代码: MATH120005 开课院系: 数学科学学院 考试形式:闭卷 姓名 学号 专业:医学试验班、八年制临床医学 题号 四五六七八总分 得分 、填充题(3′×5) .设2是f(x)的一个原函数,则为上(x 答案 x+x()2=0,则ln6+/()2 x→0x 答案:36 0000 02000 A=00210 00320 00003 0000 0 000 答案:00 00 23

复旦大学数学科学学院 2011～2012 学年第一学期期末考试试卷 □A 卷 高等数学 C（上） MATH120005 数学科学学院 医学试验班、八年制临床医学 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 总分 得分 一、填充题（ 35 ） 1．设 x sin x 是 f x 的一个原函数，则为       2 xf x dx = 。 答案： 4 1   2．设   0 sin 6 lim 3 0    x x xf x x ，则      2 0 6 lim x f x x 。 答案： 36 3．                  0 0 0 0 3 0 0 3 2 0 0 0 2 1 0 0 2 0 0 0 1 0 0 0 0 A ，则   1  A = 。 答案： 1 0000 6 1 0 0 0 0 3 1 1 0 0 0 3 6 1 1 0 0 0 2 3 1 0 0 0 0 2      

4.lm√2n+3′ 答案:3 答案 元 2 、单选题(3′×5) lmf(x)=是f(x)在x的某空心邻域内无界的()条件。 A.充分B.必要C.充分必要D.无关 答案:A 2. lim 2,则lm f(3x) 差B.3C%D为 答案:C x1+x2+x3=0 3.设A为齐次线性方程组{x1+x2+x1=0的系数矩阵,若有三阶方阵B≠0,且AB=0,则() At=-2,且B=0B.t=-2,且B≠0C.t=1,且B=0D.t=1,且B≠0 答案:C 4.下列积分中可直接用 Newton- Leibniz公式计算积分的是() dx B In x 答案:A 5.x,有f(x)=-f(x),且f(-x0)=-k≠0,则f(x)=()

4．    n n n n lim 2 3 。 答案：3 5．     2 2 2 1 sin cos   dx x x x 。 答案： 2   二、单选题（ 35 ） 1．      f x x x0 lim 是 f x 在 0 x 的某空心邻域内无界的（ ）条件。 A．充分 B. 必要 C. 充分必要 D. 无关 答案：A 2．   lim 2 0   x f x x ，则     f x x x 3 sin 2 lim 0 （ ）。 A． 2 3 B. 3 2 C. 3 1 D. 3 4 答案：C 3．设 A 为齐次线性方程组               0 0 0 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x x tx x tx x x x x 的系数矩阵，若有三阶方阵 B  0 ，且 AB  0，则（ ）。 A. t  2,且B  0 B. t  2,且B  0 C. t 1,且B  0 D. t 1,且B  0 答案：C 4．下列积分中可直接用 Newton-Leibniz 公式计算积分的是（ ）。 A．   6 0 2 3 1 dx x x B.   1 1 2 1 dx x x C.     6 0 2 2 6 dx x x D.  e e dx x x 1 ln 1 答案：A 5．x，有 f  x   f x ，且 f  x0   k  0 ，则 f x0   （ ）

Z B.-Vk C.-kDk 答案:C 、计算题(6′×8) x sin x 答案 x1+ 答案:I cosx +c 1+e ncos 3.设y=f(x)由方程xy2+snx3=y3确定,求d。 答案:3m3-y2-3xcx 2xy-3 arctan Be),求 dsin x 答案 (1+9e)cosx l,x1 +c 1

A． k 1 B. k  1 C.  k D. k 答案：C 三、计算题( 68 ) 1．   x x t t dt x x sin 1 1 lim 2 0 2 2 0      答案： 1 3 2．      dx x xe x x sin x 2 cos 1 cos cos sin 答案： sin cos ln 1 cos x x C e x   3. 设 y  f x 由方程 x xy sin x y 3 2 3    确定，求 dy 。 答案： 2 2 3 3 ln3 3 cos 2 3 x x y y x x dx xy    4．   x y  arctan 3e ，求 d x dy sin 。 答案： 2 3 (1 9 )cos x x e  e x 5. 设              2 , 1 1,0 1 1, 0 x x x x x f x ，求    f x dx 。 答案： 2 2 0 1 ( ) 0 1 2 1 1 2 x C x f x dx x x C x x C x                   

x 答案:z1 答案: a b c d b a -d 求 b a 答案:(a2+b2+c2+d2)2 四、证明题(5′×2) 设/()在区间上有一阶连续导数,且0)-/(0)=1,证明:CUr()a21 证明:∵[∫(x)-12≥0,即[f(x)2≥2f(x)-1 ∫.Ur(x)dk2∫2/(x)-ld=21()-f(0)-1=1,即证 2.设f(x)在b上存在,且f(a)0 X F(x)=F(a)+F(a(x-a)+o(x-a 当x∈(a,a+B)时,对充分小的正数E,F(5)sF(x)<F(a),∴5≠a 同理可证:5≠b,∴5∈(a,b) 又F(x)在5可导,且F(5)为最值,由 Fermat定理,F'()=0,即证

6. dx x x    2 1 0 1 2 1 2 答案： 1 4 2   7．      0 2 2 1 x dx 答案： 4  8.                      d c b a c d a b b a d c a b c d A ，求 A 。 答案： 2 2 2 2 2 ( ) a b c d    四、证明题（ 52 ） 1． 设 f x 在 0,1 区间上有一阶连续导数，且 f 1 f 0 1 ，证明：    1 1 0 2    f x dx 。 证明： 2 [ ( ) 1] 0 f x    ，即 2 [ ( )] 2 ( ) 1 f x f x     1 1 2 0 0        [ ( )] [2 ( ) 1] 2[ (1) (0)] 1 1 f x dx f x dx f f     ， 即证。 2． 设 f x 在 a,b 上存在，且 f a  f b，r 为 f a、 f b 之间的任意一个数值，则在 a,b 内存 在一点  ，使得 f   r 。 证明：设 F x f x rx ( ) ( )   ，由已知 F x( ) 在[a, b] 上有最小值，设为 F( )  ， F x f x r   ( ) ( )   ， f a r f b   ( ) ( )   ，  F a( ) 0 ，F b( ) 0  . 又 F x F a F a x a o x a ( ) ( ) ( )( ) ( )       当 x a a   ( , )  时，对充分小的正数  ，F F x F a ( ) ( ) ( )    ，   a ； 同理可证：   b ，  ( , ) a b . 又 F x( ) 在  可导，且 F( )  为 最值，由 Fermat 定理， F( ) 0   ，即证

五、综合题(2) 设点P位椭圆x+y2 1上一点,F,F2为椭圆的两个焦点,求|PFPF的最大值。(5) 答案:Z=25 kx1+x2+x3=5 2.设{3x1+2x2+kx=18-5k,问k取何值,方程组无解,有唯一解,有无穷解?在有无穷解时,求 x2+2x3=2 出全部解。(7) 答案:1)当k≠3且k≠1时,有唯 2)当k=3时,无解 3)当k=1时,有无穷多组解,其通解为x= 2元∈R

五、综合题 12 1． 设点 P 位椭圆 1 25 9 2 2   x y 上一点， F1， F2 为椭圆的两个焦点，求 PF1 PF2  的最大值。 5 答案： max Z  25 2． 设               2 2 3 2 18 5 5 2 3 1 2 3 1 2 3 x x x x kx k kx x x ，问 k 取何值，方程组无解，有唯一解，有无穷解？在有无穷解时，求 出全部解。 7 答案：1）当 k  3 且 k  1 时，有唯一解； 2）当 k  3 时，无解； 3）当 k  1 时，有无穷多组解，其通解为 1 3 2 2 1 0 x R                          