2017~2018学年第二学期期末A卷 参考答案 计算和简答题(7分×7=49分)(答题时请写明过程!) 1.设z2-2 1,求 和 (2+x ax)(2-xy)-xz( ax-y 2.设三元函数f(x,y,z) x2+y+z2) (1)求函数在点P(,-1,--)处函数值增加最快的方向 (2)求函数在P点沿方向(1,-1,-1)的方向导数。 fx f2)lp=(11,-1) (1)P点处函数值增加最快的方向:(1,1,-1) (2)在P点的方向导数=(1,1,-1)(1,-1,-1)= 3.设空间曲面y2+2z2=3x,(1)求曲面在点(1,1,-1)处的切平面方程 (2)求曲面与2x-3y+5z=4的交线在点(1,1,1)处的切线方程。 曲面F(x,y,z)=3 0 (F,FyF),=(3,-2y-4z)A=(3,-2,4) (1)所求切平面方程3(x-1)-2(y-1)+4(z+1)=0, +4z+3=0 (2) 切线的方向:(3,-2,-4)×(2,-3,5)=( 所求切线方程:x-1_y-1_2z-1
1 2017～2018 学年第二学期期末 A 卷 参考答案 一. 计算和简答题（7分×7=49分） （答题时请写明过程!） 1． 设 , 求 、 和 。 , . /( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2． 设三元函数 ( ) ( )。 （1） 求函数在点 ( ) 处函数值增加最快的方向； （2） 求函数在 点沿方向( )的方向导数。 √ ( ) , √ ( ) , √ ( ) ( )| √ ( ) (1) 点处函数值增加最快的方向：( ) （2）在 点的方向导数 | √ ( ) √ ( ) 3． 设空间曲面 ，(1)求曲面在点( ) 处的切平面方程； (2)求曲面与 的交线在点( ) 处的切线方程。 曲面 𝐹( ) 0 (𝐹 𝐹 𝐹 )| 𝐴 ( z)|𝐴 ( ) （1） 所求切平面方程 ( ) ( ) ( ) 0, 0 （2）(𝐹 𝐹 𝐹 )| 𝐵 ( ) 切线的方向：( ) × ( ) ( ) || ( ) 所求切线方程：
4.求平面上由4条直线x+2y=2,x+2y=5和y=2x,y=2x-1所围闭区 域的面积。 作变换:{=x+2y2m=-5 面积: Jo dxdy=门2dn/dt=3 5.求D(x+2xy)dxdy,其中D={(x,y)x2+y2≥a2,x2+y2≤2ax 作极坐标变换: =rose D(,y2=r y= rsine D(r, 0) 两圆交在x=-a ∫,2 xydxdy=0 .(x+ 2xy)dxdy =2 o de Sa a rose rdr 16 cos48de ∫cos 3a3(2+2cos2+2cos46)d T 3(-+ 6.级数∑m1-(=3+2是否收敛?如果收敛求其和。 X:2绝对收敛,和 和为 所以原级数收敛和为37 7.将函数f(x)=x(4-x),x∈(0,)展开成周期为4的 Fourier级数,并求级数 的和 周期为4,半周期T=2,偶函数,a0=304x(4-x)dx= an=f(4x-x2)cosinxdx==o f(x)~3-n∑m=1mcoS(2nx)(连续函数,可用等号) 当x=0时,∑
2 4．求平面上由4条直线 ， 和 ， 所围闭区 域的面积。 作变换：{ 𝑢 𝑣 𝐷(𝑢 𝑣) 𝐷( ) 面积：∬ 𝑑 𝑑 𝐷 ∫ 𝑑𝑢 ∫ 0 𝑑𝑣 5．求∬ ( )𝑑 𝑑 𝐷 其中 *( )| + 作极坐标变换：{ 𝐷( ) 𝐷( ) 两圆交在 ∬ 𝑑 𝑑 𝐷 0 ∬ ( )𝑑 𝑑 𝐷 ∫ 𝑑 ∫ 𝑑 0 ∫ 𝑑 0 – ∫ 𝑑 0 ∫ ( )𝑑 0 √ ( √ ) 6． 级数 ∑ ( ) 是否收敛？如果收敛求其和。 ∑ ( ) 绝对收敛， 和 ( ) ∑ 收敛， 和 为 1， 所以 原级数收敛 和为 7．将函数 ( ) ( ) (0 ) 展开成周期为4的Fourier级数，并求级数 ∑ 的和。 周期为4， 半周期 , 偶函数， 0 ∫ ( )𝑑 0 ∫ ( ) 𝑑 0 ( )~ 8 ∑ cos ( ) （连续函数， 可用等号） 当 0 时， ∑
(10分)求曲面y=x2+z2与平面x+y-z=3的交线到原点的最远和最近距离 交线上点(x,y,z)到原点的距离之平方为f(x,y,z)=x2+y2+z 作 函数L(x,y,z,p) y2+z2+τ(x2+z2-y)+(x+y-z-3) (1+)x+=0 r=-1,=0,y=-,不符合y 2(1+)z-=0 x+z=0,y=2x2x==2,f(x,y,2)=2x2+4x4=27±9V7 最远距离33+√;最远距离33-√ 三.(10分)求积分J(x+y) dxdydz,其中为两曲面: x2+z2=(+1)2和y=1+Ⅵ1-x2-z2所围成的空间区域 作柱面坐标变换:y=y os日 2丌 1+√1-r2 (x+ y)dxdyd (sine y)dy 0+2丌 +y√1 (-1+2r)2|da 5丌 四.(11分)求幂级数∑m17+(x+1y-1的收敛域与和函数,并求级数 1 的和 收敛半径:R= 当一<x<--幂级数绝对收敛:在两端点处,级数收敛 2 幂级数的收敛域[-,-1 ∑n=1n(n+1) (x+1)n-1=2∑ (n+1) (x+1)-1=2∑m (2(x+1) 设s(t) 则s"(t)=∑=1t s(t)=6dx=-m(1-t),s(t)=-/(1-x)dx=t+(1-t)l(1-t) (2(x+1)=2(x+1)+(1-2(x+1))ln(1-2(x+1)) 当x=-1时 (x+1)n-=1 当x≠-1时,∑ x+1) m12=和#x+1-1=工 4-4ln2) In2
3 二. (10分)求曲面 与平面 的交线到原点的最远和最近距离。 交线上点( )到原点的距离之平方 为 ( ) 作 Lagrange 函 数 𝐿( ，𝜇) 𝜏( ) 𝜇( ) { ( 𝜏) 𝜇 0 𝜏 𝜇 0 ( 𝜏) 𝜇 0 { 𝜏 𝜇 0 不符合 0 ±√ ( ) 7 ± 9√7 最远距离 √ √7 ；最远距离 √ √7 三. （10分）求积分 ∭ ( )𝑑 𝑑 𝑑 ， 其中 为两曲面： ( ) 和 √ 所围成的空间区域。 作柱面坐标变换： { ∭( )𝑑 𝑑 𝑑 ∫ 𝑑 ∫ 𝑑 0 ∫ ( )𝑑 √ 0 0 ∫ [. √ / ( ) ] 𝑑 0 ( ) 四. （11分）求幂级数 ∑ ( ) ( ) 的收敛域与和函数，并求级数 ∑ ( ) 的和。 收敛半径: R , 当 < < 幂级数绝对收敛；在两端点处，级数收敛 幂级数的收敛域 , ， - ∑ ( ) ( ) = ∑ −1 ( ) ( ) ∑ ( ) ( ( )) 设 (𝑡) ∑ 𝑡 +1 ( ) , 则 ′′(𝑡) ∑ 𝑡 𝑡 ′(𝑡) ∫ 𝑑 ln( 𝑡) 𝑡 0 , (𝑡) ∫ ln( ) 𝑑 𝑡 ( 𝑡)ln( 𝑡) 𝑡 0 ( ( )) ( ) ( ( ))ln( ( )) 当 时， ∑ ( ) ( ) 当 ≠ 时， ∑ ( ) ( ) ( ( )) ( ( )) ( )ln( ) ( ) ∑ ( ) ∑ ( ) ( ) ( 𝑙 ) 𝑙
五.(10分)设f(x)有一阶连续的导函数,f(0)=0:且微分方程 (yf(x)+y2+2xy)dx+(f(x)+2xy)dy=0是全微分方程 (1)求f(x),(2)写出全微分方程的通解。 是全微分方程,则f(x)+2y+2x=f(x)+2y 那么∫(x)是定解问题 f(x)-f(x)=2 的解 f(0)=0 通解为f(x)=-2x-2+cex,f(x)=2(ex-x-1) 设全微分方程的通解u(x,y)=2y(ex-x-1)+xy2+q(x)=Co p(x)=0 全微分方程的通解u(x,y)=2y(ex-x-1)+xy2=C 六.(10分)设f(x)是以2为周期的二阶可导函数,且已知f(0)=0,并满足等式 f(x)+2f'(+x)=sin3x, f(x) 等式两边求导f(x)+2f"(+x)=3co3x 由于f(x)以2π为周期,那么f(x+)+2f"(2m+x)=f(x+)+2f"(x) 而cos3(x+π)=-cos3x 则有方程2f(x)+f(x+m)=2f(x)+l(sin3x-f(x)=-300s3x 那么∫(x)是定解问题{4()-x)=-8m3x-603x的解 f(0)= 齐次方程的通解:C1e2x+C2e2x 非齐次方程的一个特解: sin3x+一cos3x 非齐次方程的通解:ce2+c2e2+3sin3x+7cos3x C1+c2+6=0 由定解条件确定二个任意常数 Ge?-C2e-3=0 e 2t 得C1= 37(e+1) 37(e+1) C1,C2不为0,函数f(x)包含指数部分,它不是周期函数,故不存在函数满足条件
4 五．（10分）设 ( )有一阶连续的导函数， (0) 0；且微分方程： ( ( ) )𝑑 ( ( ) )𝑑 0 是全微分方程。 （1）求 ( ), （2）写出全微分方程的通解。 是全微分方程，则 ( ) ′( ) 那么 ( ) 是定解问题{ ( ) ( ) (0) 0 的解 通解为 ( ) , ( ) ( ) 设全微分方程的通解 𝑢( ) ( ) ( ) 0 ′( ) 0 全微分方程的通解 𝑢( ) ( ) 六． (10分) 设 ( )是以 为周期的二阶可导函数，且已知 (0) 0 并满足等式 ( ) ( ) ， 求 ( ). 等式两边求导 ′( ) ( ) 由于 ( )以 为周期 ， 那么 ′( ) ( ) ′( ) ( ) 而 ( ) 则有方程 ( ) ( ) ( ) ( ( )) 那么 ( ) 是定解问题{ ( ) ( ) (0) 0 ( ) 0 的解 齐次方程的通解： 1 −1 非齐次方程的一个特解： 非齐次方程的通解： 由定解条件确定二个任意常数{ 0 0 得 (𝑒 1 ) (𝑒 ) ， 𝑒 1 (𝑒 1 ) (𝑒 ) ， 不为 0，函数 ( )包含指数部分，它不是周期函数，故不存在函数满足条件