复旦大学：《高等数学》课程往年试题（高等数学B）2014-2015学年第一学期期末高等数学B（上）A卷试题题解

复旦大学数学科学学院 2014~2015学年第一学期期末考试试卷 A卷 课程名称:高等数学B(上)课程代码:MATH120008 1开课院系:数学科学学院考试形式 闭卷 题号 四五六七八总分 得分 、(本题共40分,每小题满分5分) 1.求极限lim(x+1)[hn(x-1)-lx] 迦长辽只兴 如}解答:lim(x+ D[In(x-1)-Inx=lin )h(1--)=lim(x+1)(--) 2.求极限lim →)a 补 解n+k=mn2ky= 1-dx=arctan x 13.已知函数f(x)=2mnx+xhm2,求f(x) 解答:f( lnx.ln2·+l2x ln2-1 4.设向量a和向量b的夹角为O,且l‖=2,‖b|=1,求极限 a+|b|-|a+ 解答:lim la+b-a+b 3-√5+4cos61

1 复旦大学数学科学学院 2014～2015 学年第一学期期末考试试卷 A 卷 课程名称： 高等数学 B (上) 课程代码： MATH 120003 开课院系： 数学科学学院 考试形式： 闭卷 题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 总 分 得 分 一、（本题共 40 分，每小题满分 5 分） 1. 求极限 lim( 1)[ ( 1) ] x x ln x lnx     解答: lim( 1) [ ( 1) ] x x ln x lnx      ( 1) (1 ) 1 lim x x ln   x    ( 1) ( ) 1 lim x x   x     1 2. 求极限 2 2 1 lim n k n n   n k   解答: 2 2 1 lim n k n n   n k   1 2 2 0 1 1 0 1 1 1 arctan 1 4 1 lim n k n dx x n x k n                   3. 已知函数 ( ) 2lnx ln2 f x   x ，求 f x( )  解答: 2 1 ( ) 2 2 2 ln x 1 ln f x ln ln x x        4. 设向量 a 和向量 b 的夹角为  ，且 a  2 ， b 1 ，求极限 2 0 lim a b a b      解答: 2 2 0 0 3 5 4cos 1 3 lim lim a b a b               姓 名： 学 号： 专 业： （ 装 订 线 内 不 要 答 题 ）

5.已知函数fx)k=1-x 求f"(0) 1+X 解答:方法1:可逐阶求导得:f(0)=6 方法2:f(x)=(1-x)[1-x2+o(x3)]=1-x-x2+x3+o(x3),得f"(0)=6 方法3:f(0)=-1,用 Leibniz公式于等式(1+x2)f(x)=1-x两边,求三阶导数得: (1+x2)/"(x)+6xf'(x)+6/(x)=0,代入x=0,得:f"(0)=6 6.已知函数y=xlmx,求 解答: =1 +Inx x=l 7求不定积分J(a-xyh+=x 解答 In dx 1+x Intet=÷t·(lnt-1)+C= In 8.求反常积分0Jx(-x) 解答:方法1 d x=2 d√x=2 方法2:J0√x(1-x) dx dx=arcsin

2 5. 已知函数 2 ( ) 1 1 f x x x    ，求 f (0)  解答: 方法 1： 可逐阶求导得： f (0) 6  方法 2： 2 3 2 3 3 f x x x ( ) (1 ) [1 )     o x x x x o x ( ] 1 ( )      ，得 f (0) 6  方法 3： f ( 0) 1   ，用 Leibniz 公式于等式 2 (1 1    x x ) ( )  f x 两边，求三阶导数得： 2 (1 ( ) 6 ( ) 6 ( ) x ) 0 f x x f x f x        ，代入 x  0 ，得： f (0) 6  6. 已知函数 y xlnx  ，求 1 dx dy x 解答: 1 1 1 1 1 1 1 x dy x dx dy lnx x dx        7. 求不定积分 2 1 1 (1 ) 1 x x x ln dx     解答: 令 1 1 x t x    2 1 1 1 1 1 1 1 ( 1) 1 (1 ) 1 2 2 1 1 2 x x x lntdt t lnt ln x x x x ln dx c c                           8. 求反常积分 1 0 1 x x (1 ) dx   解答： 方法 1： 1 1 1 0 0 0 1 (1 ) 1 arcsin 1 2 2 x x dx x x d x         方法 2：     2 2 1 1 2 2 1 1 1 2 0 0 1 2 1 1 1 (1 ) 0 arcsin x x x dx dx x          

方法3 b√x(-x)=x(1-x)2dhx=B(11、T()r() (本题共12分,每小题满分6分) 在数列 Vn}中,找出数值最小的项。 Inx-1 解答:令yxy= 所以x=e是最小值点,最小值为 又因为2<3,且,52 2’所以数值最小的项是 解方程: arctan√x(x-)+ arcsin 丌 解答:令f(x)= arctan√x(x-1)+ arcsin 得D=(-∞,0]u[1,+∞), 且f(x)=0,()=2,()=2,所以当xeD=(-,0几,+)时 arctan√x(x-1)+ arcsin 22·所以Mx∈D=(-∞,0[1,+∞)均为解 (本题满分8分)已知曲线y的极坐标方程由关系式:O=(x+1)(1≤r≤3) 所确定,求曲线y的长度。 解答:D(y)=小要y+1h=(+)h=2+2

3 方法 3： 1 1 1 1 2 2 1 1 ( ) ( ) 1 1 2 2 1 1 0 0 ( ) 2 2 1 1 1 (1 ) (1 ) 2 2 x ( ) , x x dx x dx B                二、（本题共 12 分，每小题满分 6 分） 1. 在数列 1 n n           中，找出数值最小的项。 解答: 令 1 x y x  , 2 1 1 x lnx y x x     , 所以 x e  是最小值点，最小值为 1 e e 又因为 2 3  e ，且 3 1 1 2 3 2  ，所以数值最小的项是 3 1 3 。 2. 解方程： 2 1 1 2 1 arctan ( ) x x arcsin x x       解答：令 2 arctan 1 1 arcsin 1 f x x x ( ) ( ) x x      ，得 ( , 0] [1, ) Df       ， 且 f x ( ) 0  ，又 (0) 2 f   ， (1) 2 f   ，所以当 ( , 0] [1, ) f x D       时 2 arctan 1 1 arcsin 1 ( ) 2 x x x x       ，所以 ( , 0] [1, ) f         x D 均为解。 三、（本题满分 8 分）已知曲线  的极坐标方程由关系式： 1 1 2 (r ) (1 3) r r      所确定，求曲线  的长度。 解答： 3 3 2 1 1 1 1 3 1 2 2 2 ( ) ( ) ( ) d dr ln r dr r dr L r          

x1+x2+x3=0 四、(本题满分8分)已知方程组{x+2x2+Ax3=0与方程x+2x+x,=2-1 x1+4x2+x3=0 有公共解,求λ的值及所有公共解。 解答:12|=(2-1)(2-2),(1)当花≠1且A≠2时,无公共解 (2)当A=1时,有公共解x2=c0.c∈R,(3)当=2时,有公共解x2-1 五、(本题满分8分)一束光线沿直线:x-1y+1z 2 1-1照射到平面镜 2x+y-+1=0后反射,用直线的对称式方程写出反射光线所在的直线方程。 解答:方法1:先求得入射光线与平面镜的交点P2(-1,0,-1),过直线x-1少1 上点P(1,-1,0)作垂直于平面2x+y-2+1=0的直线-1y+1二 1,再求得点 P1相对于平面的对称点P(3,,3),连接点P2与P的直线 为所求。 方法2:记向量a=(2,-1,1)为与入射光线平行,方向相反的向量,向量b为与反射光线平行的 向量,向量C=(2元,λ,-2)为与平镜面法向量平行的向量,利用菱形对角线平分夹角得当 =3时,b=c-a=(-2,5,-5),入射光线与平面镜的交点为p(-1,0,-1),所 以反射光线所在的直线方程为: ==

4 四、（本题满分 8 分）已知方程组 1 2 3 1 2 3 2 1 2 3 0 2 0 4 0 x x x x x x x x x                 与方程 1 2 3 x x x     2 1  有公共解，求  的值及所有公共解。 解答： 2 1 1 1 1 2 ( 1) ( 2) 1 4         ， ( 1 ) 当  1 且   2 时，无公共解。 ( 2 ) 当  1 时，有公共解 1 , 2 3 1 0 1 R x x c c x                         ，( 3 ) 当   2 时，有公共解 1 2 3 0 1 1 x x x                       五、（本题满分 8 分）一束光线沿直线： 1 1 2 1 1 x y z     照射到平面镜： 2x y z    1 0 后反射，用直线的对称式方程写出反射光线所在的直线方程。 解答： 方法 1: 先求得入射光线与平面镜的交点 0 p ( 1, 0 , 1)   ，过直线 1 1 2 1 1 x y z     上点 1 p (1, 1, 0 )  作垂直于平面 2x y z    1 0 的直线 1 1 2 1 1 x y z     ，再求得点 p1 相对于平面的对称点 2 1 2 5 3 3 3 p ( , , )   ，连接点 p2 与 p0 的直线 1 1 2 5 5 x y z      即 为所求。 方法 2: 记向量 a ( 2 , 1 , 1)  为与入射光线平行，方向相反的向量，向量 b 为与反射光线平行的 向量，向量 c( 2 , , )     为与平镜面法向量平行的向量，利用菱形对角线平分夹角得当 2 3   时， 2 5 5 ( , , ) 3 3 3 b c a      ，入射光线与平面镜的交点为 0 p ( 1, 0 , 1)   ，所 以反射光线所在的直线方程为： 1 1 2 5 5 x y z     

六、(本题满分8分) (1)、写出直线x1=271==+2绕y轴旋转而成的曲面方程 (2)、求上述旋转曲面和平面y=0,y=1所围几何体的体积。 解答:令y=2(+1,得x2+2=(1+1)+(2-1)=2(y+2)+2 (1)、绕y轴旋转而成的曲面方程为:2x2-(y+2)2+2z2=1 七(本题满分10分)讨论含参数p的反常积分门x+x)的敛散性 解答:p>1时,取r=P>1,有limx =0,所以 dx收敛。 xIn(1+x) p1时, dx收敛, x in(1+x P≤1时 x7m+x)2d爱散

5 六、（本题满分 8 分） （1）、写出直线 1 1 2 1 2 1 x y z      绕 y 轴旋转而成的曲面方程。 （2）、求上述旋转曲面和平面 y y   0 , 1 所围几何体的体积。 解答：令 1 2 1 2 x t y t z t             ，得 2 2 2 2 2 1 1 (1 ) ( 2 ) 2 2 2 x y     z   t t    ( ) （1）、绕 y 轴旋转而成的曲面方程为： 2 2 2 2 2 2 1 x    ( ) y z （2）、 2 1 0 1 1 11 ( 2) 2 2 3 y V   y dy               七、（本题满分 10 分）讨论含参数 p 的反常积分 2 1 ( ) 1 1 p dx x ln x    的敛散性。 解答： p 1 时，取 r p  1 ，有 2 1 lim (1 ) 0 x p r x x ln x     ，所以 2 1 ( ) 1 1 p dx x ln x    收敛。 p 1 时，取 p r  1 ，有 2 1 lim (1 ) x p r x x ln x       ，所以 2 1 ( ) 1 1 p dx x ln x    发散。 p 1 时， 2 2 2 1 1 2 1 1 1 2 2 1 1 ( ) (1 ) (1 ) 1 1 dx d x du xln x x ln x uln u            1 2 1 1 2 2 (1 ) ( ) 1 1 u t 1 du dt ln u lnt           发散。 综上所述： p 1 时， 2 1 ( ) 1 1 p dx x ln x    收敛 ， p 1 时， 2 1 ( ) 1 1 p dx x ln x    发散 。 （ 装 订 线 内 不 要 答 题 ）

八、(本题满分6分)已知函数∫(x)在[0,1]上连续,f(0)=0,f(1)=1,在(0,1)内 f(x)>0,证明:对于任意给定的实数k>0,k2>0,…,kn>0,均存在(0,1)内互 不相同的实数4>0,4>0,…420,他得点 解答:因为函数f(x)在[0,1上连续,在(0,1)内f(x)>0,所以存在反函数x=f(y) Dr)=(0,R2)=10,1且r0)=0,r()=1,记k=∑,将[0,1区间 分割为[0,6]、[A,A]、[,]、……、[1],在各自 区间上对函数x=广()运用 Lagrange D中值定理:存在互不相同s∈[,] (i=1,2,…,n),使得:1=f(1)-f(0)=∑f k1+…+k d厂(y) k d f(x) k f(1)k·!其中,因为f(x)严 dx 格单增,因此t,(i=1,2,…n)亦互不相同}, 所以对于任意给定的实数k>0,k2>0,…,k>0,均存在(0,1)内互不相同的实数 1>0,12>0,…,n>0,使得 ∑k f(4)台 6

6 八、（本题满分 6 分）已知函数 f x( ) 在 [ 0,1] 上连续， f f (0) 0 , (1) 1   ，在 (0 ,1) 内 f x ( ) 0  ，证明：对于任意给定的实数 1 2 0, 0, , 0, k k k   n 均存在 (0 ,1) 内互 不相同的实数 1 2 0 , 0 , , 0 , n t t t    使得 1 1 ( ) n n i i i i i k k f t       。 解答：因为函数 f x( ) 在 [ 0 ,1] 上连续，在 (0 ,1) 内 f x ( ) 0  ，所以存在反函数 1 x f y( )   ， 1 D f ( [ 0 ,1] )   ， 1 R f ( [ 0 ,1] )   且 1 f (0) 0   ， 1 f (1) 1   ，记 1 n i i k k   ，将 [ 0 ,1] 区间 分割为 1 [ ] 0, k k 、 1 1 2 [ , ] k k k k k  、 1 2 1 2 3 [ , ] k k k k k k k    、 、 1 1 [ ,1] n k k k    ，在各自 区间上对函数 1 x f y( )   运用 Lagrange 中值定理：存在互不相同 1 1 1 [ , ] i i i k k k k k s k       ( 1, 2 , , ) i n  ，使得： 1 1 1 f f (1) (0)      1 1 1 1 1 1 i i n i k k k k f f k k                             1 1 ( ) i y si n i d f y k dy k      1 1 ( ) i x ti n i k d f x k d x     1 1 ( ) i n i i k k f t    ， 其中，因为 f x( ) 严 格单增，因此 i t ，( 1, 2 , , ) i n  亦互不相同  ， 所以对于任意给定的实数 1 2 0, 0, , 0, k k k   n 均存在 (0 ,1) 内互不相同的实数 1 2 0 , 0 , , 0 , n t t t    使得 1 1 ( ) n n i i i i i k k f t      