复旦大学：《高等数学》课程往年试题（高等数学B）2012秋高数B期末测验题 A卷答案

复旦大学数学科学学院 2012~2013学年第一学期期末考试试卷A卷答案 课程名称:高等数学(B上),课程代码:MATH120003.04 开课院系:数学科学学院 考试形式: 闭卷 姓名 学号 专业 题 345 6 910总 号 分 得 分 (15分,每小题5分)求下面的极限 +1 ∫"n+rk 3.m1cosx=smx+h+x=1。 xsIn x (15分,每小题5分)计算下面各题: os2x-(2×sk sin x+2 cos x 3sin x+cos x Idx=x+5In(3sin x+ cosx) 3.jmny)x=3-(0-ay2=bB1-=5r(m(0-0 2sint丌 三,(10分)判断广义积分 x 的收敛性,其中p是一个实参数。 解:1<p<5是广义积分收敛的充要条件。 四.(10分)设是空间曲线:y=e2,z=0,x≥0,将该曲线绕坐标y轴旋转一周, 1)求所成曲面上的点满足的方程;2)求所成曲面与平面y=e围成的有界立体的

1 复旦大学数学科学学院 2012 ～2013 学年第 一 学期期末考试试卷 A 卷答案 一．（15 分，每小题 5 分）求下面的极限： 1． 3 2 1 lim e n n n n           ； 2．   5 1 ln 1 lim 2 5 0 4 0      x t dt x x ； 3．   2 1 sin 1 cos sin ln 1 lim 2 0       x x x x x x 。 二．（15 分，每小题 5 分）计算下面各题： 1．   f (x) 2 90 2 x cos2x 2 5xsin 2x 1 0 8 1 0 2 1 1      ； 2．   ln 3 2 1 4 1 ln 3sin cos 2 1 2 1 3sin cos sin 2cos 2 0 2 0                  dx x x x x x x x ； 3．              t x dx u u du B t t t t t t t 2sin 1 2 1 ,1 2 1 1 2 1 tan 1 0 1 2 0 1 2               。 三．（10 分）判断广义积分   dx x x  p   0 4 ln 1 的收敛性，其中 p 是一个实参数。 解： 1 p  5 是广义积分收敛的充要条件。 四．（10 分）设  是空间曲线： , 0, 0 2 2 y  e z  x  x ，将该曲线绕坐标 y 轴旋转一周， 1）求所成曲面上的点满足的方程；2）求所成曲面与平面 y  e 围成的有界立体的

体积 x2+ 解:所成曲面上的点满足的方程为y=e2所求的体积为y=j2ryh=2x 五.(10分)设00,x2>0,都有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x) 解:无妨设x1≤x2,分别在区间x]和区间[x2,x+x2]上对函数f(x)应用 Lagrange 中值定理及一阶导函数的单调不减条件。 十.(6分)设a<b,f(x)是闭区间b上的非负连续函数,证明: lim(x)r'dx=max f(x) a≤x≤b 解:应用定积分的大小比较性质和极限夹逼法则,略

2 体积。 解：所成曲面上的点满足的方程为 2 2 2 x z y e   。所求的体积为 2 ln 2 1    V ydy e 五．（10 分）设 2 0   x  ，证明： x x x x tan sin  。 解：略。 六．（8 分）已知直线  经过点 11,9,0 ，且与直线 3 5 4 3 2 1     x  y z 和直线 2 1 1 2 5      x y z 相交，求直线  的方程。 解：平面 7x 5y  2z 32  0 和平面 15x 17y  46z 12  0 的交线。直线有方向 6,8,1 ，其对称式方程为 8 1 9 6 11     x  y z 。 七．（8 分）设平面  过直线 1 1 3 2 1     x  y z ，且平行于直线 1 1 2 1      x y z ，求 平面  的方程。 解：平面  的方程为 y  z  3  0。 八．（8 分）已知线性方程组               3 5 1 2 3 0 0 x y kz x ky z x y z 有唯一解，请决定参数 k 的取值范围， 并求出方程组相应的唯一解。 解： k 1,4 时方程组有唯一解： 4  1 3     k k k x ， 4  1 1    k k y ， 4  1 2     k k k z 。 九．（10 分）设 f (x) 在 0, 上有非负的二阶导函数，在 x  0 处连续，并且 f (0)  0 ，证明：对于任意的 x1  0, x2  0 ，都有 ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 f x  x  f x  f x 。 解：无妨设 1 2 x  x ，分别在区间  1 0, x 和区间   2 1 2 x , x  x 上对函数 f (x) 应用 Lagrange 中值定理及一阶导函数的单调不减条件。 十．（6 分）设 a  b , f (x) 是闭区间 a,b 上的非负连续函数，证明： lim  ( ) max ( ) 1 f x dx f x a x b b n a n n           。 解：应用定积分的大小比较性质和极限夹逼法则，略