复旦大学数学科学学院 2010~2011学年第一学期期末考试试卷 口A卷 课程名称:高等数学B(上)课程代码:MATH120008 开课院系:数学科学学院考试形式:闭卷 姓名: 学号 专业: 题日12345678总分 得分 装订线内不要答题 、计算题(每小题6分,共36分) 1.求limv2n+sinn。 2.求lim In(1+r)-x a-0 In(1+a) 第1页(共6页)
( 题 答 要 不 内 线 订 装 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 复旦大学数学科学学院 2010～2011学年第一学期期末考试试卷 ✷ A 卷 课程名称： 高等数学B(上) 课程代码： MATH120003 开课院系： 数学科学学院 考试形式： 闭卷 姓 名： 学 号： 专 业： 题 目 1 2 3 4 5 6 7 8 总分 得 分 一、计算题(每小题6分，共36分) 1. 求 lim n→∞ √n 2n + sin n 。 2. 求lim x→0 ln(1 + x) − x x ln(1 + x) 。 第1页 ( 共 6页)
求由参数方程 3t-ti y=2t-t 所确定的函数y(x)的二阶导数 4.求不定积分∫(2+x)T 5.求不定积分∫sin4xdr 6.求定积分xn(1+x)dx 、应用计算题(每小题6分,共24分) 1.求f(1,0,0),P(0,-4,4)和B(-5,1,5)构成的三角形的面积。 第2页(共6页)
3. 求由参数方程 x = 3t − t 3 y = 2t − t 2 所确定的函数y(x)的二阶导数d 2y dx2 。 4. 求不定积分 R (2 + x) √ 1 − x 2 dx 。 5. 求不定积分 R sin4 x dx 。 6. 求定积分 R 1 0 x ln(1 + x) dx 。 二、应用计算题(每小题6分，共24分) 1. 求P1(1, 0, 0), P2(0, −4, 4)和P3(−5, 1, 5)构成的三角形的面积。 第2页 ( 共 6页)
2.求由方程x-y+siny=0所确定的隐函数y(x)在点(0,0)处的 切线方程。 3.求由曲线y=x2和直线y=1所围图形绕轴旋转一周,所得旋 转体的体积 4.求方程32-6x+1=0的实根个数。(需写出详细过程) 三、(每小题5分,共10分) (1)求过点P(1,0,0),与直线: 24相交,而且与平 面丌:x-y+z+2=0平行的直线方程l1。 第3页(共6页)
2. 求由方程x − y + 1 2 sin y = 0所确定的隐函数y(x)在点(0, 0)处的 切线方程 。 3. 求由曲线y = x 2和直线y = 1所围图形绕x轴旋转一周，所得旋 转体的体积。 4. 求方程3 x − 6x + 1 = 0的实根个数。(需写出详细过程) 三、(每小题5分，共10分) (1) 求过点P(1, 0, 0)，与直线l0 : x−2 1 = y−3 1 = z−4 2 相交，而且与平 面π : x − y + z + 2 = 0平行的直线方程l1。 第3页 ( 共 6页)
(2)求直线绕直线l1旋转一周生成的旋转曲面方程,并指出该曲面 的名称。 四、(每小题5分,共10分) (1)判别广义积分/+2(1+c-)dx(其中p>0)的敛散性。 (2)已知rl)=√,计算广义积分√ae-dro 第4页(共6页)
(2) 求直线l0绕直线l1旋转一周生成的旋转曲面方程，并指出该曲面 的名称。 四、(每小题5分，共10分) (1) 判别广义积分 R +∞ 0 ln(1+x) x p (1 + e −x ) dx (其中p > 0) 的敛散性。 (2) 已知Γ(1 2 ) = √ π，计算广义积分 R +∞ 0 √ xe−x 3 dx 。 第4页 ( 共 6页)
五、(本题7分)求cos2(sinx)的带 Peano余项的6阶 Maclaurin公式 六、(本题8分)求lim{[()+(=)+…+(-)+(-)]sin-}, 其中p>-1 第5页(共6页)
五、(本题7分) 求cos2 (sin x)的带Peano余项的6阶Maclaurin公式。 六、(本题8分) 求 lim n→∞ {[( 1 n ) p + ( 2 n ) p + · · · + (n − 1 n ) p + (n n ) p ] sin 1 n }， 其中p > −1 。 第5页 ( 共 6页)
七、证明题(本题5分)如果0≤p≤1;a≥0,3≥0,y≥0.,而 且a+≥7,则a+B≥P 第6页(共6页)
七、证明题(本题5分) 如果0 ≤ p ≤ 1; α ≥ 0, β ≥ 0, γ ≥ 0, 而 且α + β ≥ γ, 则α p + β p ≥ γ p 。 第6页 ( 共 6页)