复旦大学数学科学学院 2014~2015学年第一学期期末考试试卷 《高等数学A》(IA卷试题答案 (本题满分48分,每小题6分)(1) ;(2)0 (3)在(-∞1上单调减少,在[1+∞)上单调增加。f()=为极小值 (4)在在区间0e上,曲线上凸;在区间e2,+∞上,曲线下凸。拐点为 ⌒装订线内不要答题 (5)-cosx+cos3x+C;(6)n2-2+x;(7)X (8)一定有解。 2.(本题满分8分)a b=1。 3.(本题满分8分)(1)4(2)是极小值点。 4.(本题满分10分)(1) +2x+ (2) 5.(本题满分8分)证:作函数f(x)=tanx+sinx-x,则 f(x)= +-COS x 2sin x 2 1-cos x f"(x)= sInx=-sinx 0 CoS x 因此∫在0.上严格单调增加,于是
复旦大学数学科学学院 2014～2015 学年第一学期期末考试试卷 《高等数学 A》（I）A 卷试题答案 1．（本题满分 48 分，每小题 6 分）（1） 2 t ；（2）0； （3）在 (, 1] 上单调减少，在 [1, ) 上单调增加。 12 17 f (1) 为极小值； （4）在在区间 2 3 0, e 上，曲线上凸；在区间 e , 2 3 上，曲线下凸。拐点为 2 3 3 e 2 3 e , ； （5） x x C 3 cos 3 1 cos ；（6） 2 π ln 2 2 ；（7） 6 1 8 1 5 1 X ； （8）一定有解。 2．（本题满分 8 分） 2 1 a ，b 1。 3．（本题满分 8 分）（1） 3 4 ；（2）是极小值点。 4．（本题满分 10 分）（1） 3 1 2 2 4 1 0 0 3 0 x x x ； （2） 3 2 , 3 1 。 5．（本题满分 8 分）证：作函数 f x x sin x x 3 2 tan 3 1 ( ) ，则 cos 1 3 2 3cos 1 ( ) 2 x x f x ， 0 cos 1 cos sin 3 2 sin 3 2 3cos 2sin ( ) 3 3 3 x x x x x x f x ， 2 π x 0, 。 因此 f 在 2 π 0, 上严格单调增加，于是 （ 装 订 线 内 不 要 答 题 ）
f(x)>f(0)=0,x∈0 因此∫在0,上严格单调增加,于是 f(x)>f(0)=0 tanx+sinx>x,x∈0 6.(本题满分8分)f(x)=2V(+° 7.(本题满分10分)证:设为A的特征值,由A2=I知x2=1,即A的特征 值为1或-1。由A2=I得(-D(+D)=0,可知A+I的列向量组是方程组 (A-D)x=0的解,所以 rank(4+D≤3-rank(A-D),即rank(A+D+rank(A-D≤3。 另一方面,由于 3=rank(21)=rank(I-A+1+ A)<rank(I-A)+rank(I+A) 所以 (A+1)+rank(A-1)=3 这表明A的属于特征值为1和-1的特征子空间的维数之和等于3,即A有三个 线性无关的特征向量,于是A可以相似于对角矩阵
f (x) f (0) 0， 2 π x 0, 。 因此 f 在 2 π 0, 上严格单调增加，于是 f (x) f (0) 0， 2 π x 0, 。 即 x sin x x 3 2 tan 3 1 ， 2 π x 0, 。 6．（本题满分 8 分） 3 x (1 ) e 2 ( ) x x f x 。 7．（本题满分 10 分）证：设 为 A 的特征值，由 A I 2 知 1 2 ，即 A 的特征 值为 1 或 1 。由 A I 2 得 (A I)(A I) 0 ，可知 A I 的列向量组是方程组 (A I)x 0 的解，所以 rank(A I) 3 rank(A I) ，即 rank(A I) rank(A I) 3。 另一方面，由于 3 rank(2I) rank(I A I A) rank(I A) rank(I A)， 所以 rank(A I) rank(A I) 3。 这表明 A 的属于特征值为 1 和1 的特征子空间的维数之和等于 3，即 A 有三个 线性无关的特征向量，于是 A 可以相似于对角矩阵
