复旦大学数学科学学院 2012~2013学年第一学期期末考试试卷 卷答案 课程名称:高等数学A(上)课程代码:MTH120001 开课院系:数学科学学院 考试形式 闭卷 姓名 题号1 6 总分 得分 (本题共24分,每小题6分) 1设函数y=f(x)由方程e-xy=1确定,求二阶导数∫"(0) 解:两边对x求导,得e(+y)-y-xy=0, 所以 y 继续对x求导,得y”=(e(1+y)-yXx-e”y)-(e-y1-e(+y) 代入x=0,y=0,y(0)=-1,得y”(0)=-2 4x+6 2计算 x2+4x+5 解:原式=2 dh x2+4x+5 x2+4x+5 2In(x+4x+5)-2arctan(x+2)+c 3计算∫二在 解:原式 In(1+ xt dt 4求lm →0tanx-Slnx
1 复旦大学数学科学学院 2012～2013 学年第一学期期末考试试卷 A 卷答案 数学科学学院 一.（本题共 24 分，每小题 6 分） 1.设函数 y f (x) 由方程 1 e xy x y 确定，求二阶导数 f (0) ; 解：两边对 x 求导，得 (1 ) 0 e y y xy x y ， 所以 x y x y x e e y y ， 继续对 x 求导，得 2 ( ) ( (1 ) )( ) ( )(1 (1 )) x y x y x y x y x y x e e y y x e e y e y y ， 代入 x 0, y 0, y (0) 1 ，得 y (0) 2 2.计算 dx x x x 4 5 4 6 2 ; 解：原式 4 5 ( 4 5) 2 2 2 x x d x x dx x 4x 5 1 2 2 2ln( 4 5) 2 x x 2arctan(x 2) c 3.计算 1 2 2 1 1 dx x x ; 解：原式 1 3 2 1 1 dx x x 1 2 2 1 1 2 1 dx x 2 。 4.求 x x xt dt x x tan sin ln(1 ) lim 0 0
解:tanx-sinx=tanx(1-cosx)~x3(x→0), 2。n(1+a)dh 令=xt,则原式=lim 2In(1+x 二.(本题共24分,每小题6分) 1求矩阵A2-53 的秩 3-211 )(13-22) 231 0-18-7 00-2724 0000 所以rank(A)=3 2设矩阵AB满足AB=3A+B,其中A=012,求矩阵B; 02 解:可知(A-IB=3A,A-1=|0021,(A-D2=0012 020 0120 600 所以B=3(A-D)A=033/2 03/23 3设A是一个3×4的矩阵,rank(A)=2,方程组Ax=b有三个特解 x)=(1,-1,2,3)1,x2)=(2,-1,3,4) 3,2,1)2 求方程组Ax=b的通解 解:x2)-x0=(1,0,1,1)2,x3)-x①)=(0,-2,0-2)为齐次方程组Ax=0的基础解 系,所以Ax=b的通解为 x=(1,-1,2,3)+c1(1,0,1,1)+c2(0-2,02)(c1,c2为任意常数)
2 解： tan x sin x tan x(1 cos x) ～ ( 0) 2 1 x 3 x ， 令 u xt ，则 原式 4 0 0 2 2 ln(1 ) lim x u du x x 1 4 2ln(1 ) 2 lim 3 2 0 x x x x 。 二.（本题共 24 分，每小题 6 分） 1.求矩阵 1 1 3 2 3 2 1 1 2 5 3 1 1 3 2 2 A 的秩; 解： 1 1 3 2 3 2 1 1 2 5 3 1 1 3 2 2 A 0 0 0 0 0 0 27 24 0 1 8 7 1 3 2 2 ， 所以 rank(A） 3。 2.设矩阵 A,B 满足 AB 3A B ，其中 0 2 1 0 1 2 2 0 0 A ，求矩阵 B ; 解：可知 (A I)B 3A ， 0 2 0 0 0 2 1 0 0 A I ， 0 1/2 0 0 0 1/2 1 0 0 (A I) 1 。 所以 B 3(A I) A 1 0 3/2 3 0 3 3/2 6 0 0 。 3.设 A 是一个 3 4 的矩阵， rank(A) 2 ，方程组 Ax b 有三个特解 (1) T (2) T (3) T x (1,1,2,3) , x (2,1,3,4) , x (1,3,2,1) , 求方程组 Ax b 的通解。 解： (2) (1) T (3) (1) T x x (1,0,1,1) , x x (0, 2,0, 2) 为齐次方程组 Ax 0 的基础解 系，所以 Ax b 的通解为 x T (1, 1,2,3) T 2 T 1 c (1,0,1,1) c (0, 2,0, 2) ( 1 2 c ,c 为任意常数)
4设f(x)= sinllx lle4,求f(o)的值。 10cos 10x 10e 2r 2 sin 10x 20e Af: f(x)=lcos l lx 1le- 4+sin l lx 44e4 12cos12x12e sin 12x 96e& 所以f(0)=0。 (本题8分)求极限lmx3+ 解:令x=-,则上述极限可化为 ln+1-27+r2-1-1+2r2+ t→0+0 1+(1-2t2+t3)+0(1)-(1+(-1+2t2+t2)+o(t) lim 四.(本题10分)讨论方程xe=a的根的个数。 解:作∫(x)=xe--a,则f(x)=(1-x)e 当x0;当x>1时,f(x)e-时,方程无根 当0<a<e时,方程有两个根; 当a≤0或a=e-时,方程有一个根
3 4.设 f (x) sin12 12 8 sin11 11 4 sin10 10 2 8 4 2 x x x x e x e x e ，求 f (0) 的值。 解： f (x) 12cos12 12 8 11cos11 11 4 10cos10 10 2 8 4 2 x x x x e x e x e sin12 96 8 sin11 44 4 sin10 20 2 8 4 2 x x x x e x e x e ， 所以 f (0) 0。 三.（本题 8 分）求极限 3 3 2 3 3 2 lim 2 1 2 1 x x x x x x x 。 解：令 t x 1 ，则上述极限可化为 t t t t t t t t 3 2 3 3 2 3 0 0 1 2 1 2 lim t t t t o t t t t o t t ( 2 ) ( )) 3 1 ( 2 ) ( ) (1 3 1 1 lim 2 3 2 3 0 0 3 2 。 四.（本题 10 分）讨论方程 xe a x 的根的个数。 解：作 f (x) xe a x ，则 f (x) x x e (1 ) ， 当 x 1 时， f (x) 0 ；当 x 1 时， f (x) 0。 即 f (x) 在 (,1] 上严格单调增加；在 [1, ) 上严格单调减少， 注意到 f x a x lim ( ) ， lim f (x) x ， f e a 1 (1) 为极大值也是最大值， 所以当 1 a e 时，方程无根； 当 1 0 a e 时，方程有两个根； 当 a 0 或 1 a e 时，方程有一个根
ax1+x2+x3=4, 五.(本题10分)设有方程组{x1+bx2+x3=3,间ab为何值时,方程组无解?有唯 9 解?有无穷多解?有无穷多解时请求出其通解。 解:(41)=1b13|→0b03 13b19)(01-ab1-a4-3a 当b=0时,r(4)=2<3=r(A4b),方程组无解。 当b≠0时,(41)→0b03 4b-3 001-a b 当a=1且b≠时,r(4)=2<3=r(4b),方程组无解。 当a≠1且b≠0时,r(A)=3=r(4b),方程组有唯一解 当a=1且b=时,(4)=2=r(4b)方程组有无穷多解,通解为 x=(0,4,0)2+c(-1,0,1)。(c为任意常数)
4 五.（本题 10 分）设有方程组 3 9. 3, 4, 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x bx x x bx x ax x x ，问 a,b 为何值时，方程组无解？有唯一 解？有无穷多解？有无穷多解时请求出其通解。 解： ab a a b b b a A b 0 1 1 4 3 0 0 3 1 0 1 0 1 3 1 9 1 1 3 1 1 4 ， 当 b 0 时， r(A) 2 3 r(A b) ，方程组无解。 当 b 0 时， b b a A b b 4 3 0 0 1 0 0 3 1 0 1 0 ， 当 a 1 且 4 3 b 时， r(A) 2 3 r(A b) ，方程组无解。 当 a 1 且 b 0 时， r(A) 3 r(A b)，方程组有唯一解。 当 a 1 且 4 3 b 时， r(A) 2 r(A b) 方程组有无穷多解，通解为 T T x (0, 4, 0) c(1, 0,1) 。（ c 为任意常数）
六.(本题10分)设A是一个三阶实对称阵,其特征值为1,1,3,对应于特征值元=3的特 征向量为(1,-1,0) (1)求矩阵A (2)设R3上的线性变换由(x)=Ax所确定,求在基(1,0,0)2,(1,1,0)2, (1,1,1)下的表示矩阵B,问A与B是否相似,为什么? 解:(1)设x=(x1x2,x3)为特征值1对应的特征向量,由实对称阵的性质,可知 解此方程,得对应于特征值1的特征向量为(11,0)和(00,1)。 101 记P=10-1,则A=P010 120 010 001 (2)记B1=(1,0,0)},B2=(110)2,B3=(11)y 则(B)=(2,-1.0)1,H(B2)=(1,.0),H(B3)=(,1,1 a(B1)=3B1-B2+0B3, 300 即{a(B2)=0月+B2+0B,或者(B1,B,B3)=(月,B2,月)-110, a(B3)=0B1+0B2+B3 300 所以一在基B,B2,B3下的表示矩阵为B=-110 001 由于一在自然基e,e2,e3下的表示矩阵为A,因此,A与B相似
5 六.（本题 10 分）设 A 是一个三阶实对称阵，其特征值为 1, 1, 3，对应于特征值 3 的特 征向量为 T (1,1,0) 。 （1） 求矩阵 A ； （2） 设 3 R 上的线性变换 A 由 A (x) Ax 所确定，求 A 在基 T (1,0,0) ， T (1,1,0) ， T (1,1,1) 下的表示矩阵 B ，问 A 与 B 是否相似，为什么？ 解：（1）设 T 1 2 3 x (x ,x ,x ) 为特征值 1 对应的特征向量，由实对称阵的性质，可知 (1, 1,0) 0 T x ， 解此方程，得对应于特征值 1 的特征向量为 T (1,1,0) 和 T (0,0,1) 。 记 0 1 0 1 0 1 1 0 1 P ，则 A 1 0 0 3 0 1 0 1 0 0 P P 0 0 1 1 2 0 2 1 0 。 （2）记 1 T (1,0,0) ， 2 T (1,1,0) ， 3 T (1,1,1) ， 则 A (1 ) T (2,1,0) ，A ( 2 ) T (1,1,0) ，A ( 3 ) T (1,1,1) ， 即 ( ) 0 0 . ( ) 0 0 , ( ) 3 0 , 3 1 2 3 2 1 2 3 1 1 2 3 A A A 或者 ( , , ) A 1 2 3 ( , , ) 1 2 3 0 0 1 -1 1 0 3 0 0 ， 所以 A 在基 1 2 3 , , 下的表示矩阵为 0 0 1 -1 1 0 3 0 0 B 。 由于 A 在自然基 1 2 3 e , e , e 下的表示矩阵为 A ，因此， A 与 B 相似
七(本题8分)平面图形D由曲线y=2-√x,x=1,y=2所围,将上述图形D绕轴 x=1旋转一周得到一个旋转体,求此旋转体的体积和表面积 解:旋转体的体积V (2-y)2-1)d 表面积A=x+2∫(1-(2-y)+42-yd =丌 (1-x2)√1+4xdx 46+17ln(2+√5) 八.(本题6分)设∫在[0,1上二阶导数连续,f(O)=f(1)=0,证明 证:记a=(x)本,如果厂为常数函数,结论成立 否则(x)的最大值在(O,1)内取到,记x。∈(0,1),使(x0)=maN/(x) f∫(x)=0。 不妨设∫(x0)≥0 于是t,v∈[0,1,u≥v ∫)2(x2/(m)o) 所以f()-f(a)smrx)女=a 两边关于v在[O,x0上积分,得f(x0)-x0f(u)≤ax0, 继续关于u在[ⅹ01上积分,得(1-x0)f(x0)-x(0-f(x0)≤ax0(1-x), 即f(x0)≤ax0(1-x0)≤:a
6 七.（本题 8 分）平面图形 D 由曲线 y 2 x, x 1, y 2 所围， 将上述图形 D 绕轴 x 1 旋转一周得到一个旋转体，求此旋转体的体积和表面积。 解：旋转体的体积 V 2 1 2 2 ((2 y) 1) dy 15 8 。 表面积 2 1 2 2 A 2 (1 (2 y) ) 1 4(2 y) dy 1 0 2 2 2 (1 x ) 1 4x dx 32 46 17ln(2 5) 。 八.（本题 6 分）设 f 在 [0, 1] 上二阶导数连续， f (0) f (1) 0 ，证明 1 0 1 0 ( ) 4 1 max f (x) f x dx x 。 证：记 a 1 0 f (x) dx ，如果 f 为常数函数，结论成立。 否则 f (x) 的最大值在 (0,1) 内取到，记 x (0 1) 0 , ，使 ( ) max ( ) 0 1 0 f x f x x ， 则 f (x0 ) 0 。 不妨设 f (x0 ) 0， 于是 u， v[0, 1]，u v ， 有 u v f (x) dx ( ) ( ) ( ) u v f x dx f v f u ， 所以 f (v) f (u) f x dx a 1 0 ( ) 。 两边关于 v 在 [0, x ] 0 上积分，得 f (x0 ) x0 f (u) ax0 ， 继续关于 u 在 [ x ,1] 0 上积分，得 (1 ) ( ) (0 ( )) (1 ) 0 0 0 0 0 0 x f x x f x ax x ， 即 f x ax x a 4 1 ( ) (1 ) 0 0 0