复旦大学数学科学学院 2011~2012学年第一学期期末考试试卷 《高等数学A》(上)试题(答案) (本题满分48分,每小题6分)(1)y+2x-1=0;(2)ve (3)a=1,b=0 3:(4)-(1-x2)2+C:(5)42:(6) 5 (7) 9 ;(8)1211 2.(本题满分8分) ⌒装订线内不要答题 x≥0. 3.(本题满分8分)即求曲线y=x 与两条直线y=x和x=1所围 1+x ,x<0 平面图形的面积。答案:-ln2。 4.(本题满分9分) 当λ≠1且≠10时,方程组有唯一解; 当λ=10时,方程组无解 当A=1时,方程组有无穷多解。 5.(本题满分10分)(1)A的特征值为2,1,-1。对应于2的特征向量为d0, 对应于1的特征向量为d1,对应于-1的特征向量为d1(c为任意非零常 数) 10 0 (2)S=01/√21/√2|,SAS=010。 00-1 (3)A与B相似
复旦大学数学科学学院 2011～2012 学年第一学期期末考试试卷 《高等数学 A》（上）试题（答案） 1．（本题满分 48 分，每小题 6 分）（1） y 2x 1 0 ；（2） 3 e ； （3） a 1，b 0，c 3 ；（4） x 2 C 3 2 (1 ) 3 1 ；（5） 4 2 ；（6） 2 5 ； （7） 5 9 ；（8） 2 2 1 2 1 1 2 1 0 2 1 。 2．（本题满分 8 分） 4 5 。 3．（本题满分 8 分）即求曲线 , 0 1 0, 0, 2 x x x x y 与两条直线 y x 2 1 和 x 1 所围 平面图形的面积。答案： ln 2 2 1 。 4．（本题满分 9 分） 当 1 且 10 时，方程组有唯一解； 当 10 时，方程组无解； 当 1 时，方程组有无穷多解。 5．（本题满分 10 分）（1） A 的特征值为 2 ，1，1。对应于 2 的特征向量为 0 0 1 c ， 对应于 1 的特征向量为 1 1 0 c ，对应于1 的特征向量为 1 1 0 c （ c 为任意非零常 数）； （2） 0 1/ 2 1/ 2 0 1/ 2 1/ 2 1 0 0 S ， 0 0 1 0 1 0 2 0 0 S AS T 。 （3） A 与 B 相似。 （ 装 订 线 内 不 要 答 题 ）
6.(本题满分9分)证明:由于f(x)=(x-x2)smn2nx,则当00 当x>1时f(x)≤0,因此∫在x=1点取[O,+∞)上的最大值。于是 f(x)s(t-t)sin"tdt s(t-1)t dt 0 (2n+2)(2n+3) 7.(本题满分8分)证明:显然f(x)=2。由 Lagrange中值定理得 f(b)-f(a b-a)>0,10;当x>2时g(x)<0,所以g(2)=为 极大值,且它是g(x)在(,+∞)上的唯一极值,因此也是最大值,即 (1,+∞) 于是 f(b)-f(a)=22(b-a)≤7(b-a)
6．（本题满分 9 分）证明：由于 f x x x x 2 2n ( ) ( )sin ，则当 0 x 1 时 f (x) 0， 当 x 1 时 f (x) 0 ，因此 f 在 x 1 点取 [0, ) 上的最大值。于是 (2 2)(2 3) 1 ( ) ( )sin ( ) 1 0 2 2 1 0 2 2 n n f x t t tdt t t t dt n n ， x 0。 7．（本题满分 8 分）证明：显然 2 1 ( ) x x f x 。由 Lagrange 中值定理得 ( ) 0 1 ( ) ( ) 2 f b f a b a ，1 a b。 为证明右面的不等式，考察函数 2 1 ( ) x x g x 。易知 3 2 ( ) x x g x ，令 g (x) 0 得驻点 x 2 。因为当 1 x 2 时 g (x) 0 ；当 x 2 时 g (x) 0 ，所以 4 1 g(2) 为 极大值，且它是 g(x) 在 (1, ) 上的唯一极值，因此也是最大值，即 4 1 1 ( ) 2 x x g x ， x (1, ) 。 于是 ( ) 4 1 ( ) 1 ( ) ( ) 2 f b f a b a b a