复旦大学数学科学学院 2011~2012学年第一学期期末考试试卷 A卷 课程名称:高等数学A(上) 课程代码:MATH120001 开课院系: 数学科学学院 考试形式:闭卷 姓名: 学号: 专业 题号1 2 4 6 分 得分 (本题满分48分,每小题6分)计算下列各题: (1)求曲线e2xy-cos(xy)=e-1在点(0,1)处的切线方程 装订线内不要答题 (2)求极限 lim x n(r+
1 复旦大学数学科学学院 2011～2012 学年第一学期期末考试试卷 A 卷 数学科学学院 1．（本题满分 48 分，每小题 6 分）计算下列各题： （1）求曲线 cos( ) 1 2 e xy e x y 在点 (0, 1) 处的切线方程； （2）求极限 ln( 1) 1 3 lim x x x ； （ 装 订 线 内 不 要 答 题 ）
(3)设函数f(x)=ax3+bx2+cx+2在x=1点取极小值0,且该函数的图像以(0,2)为 拐点,求a,b,c的值 (4)设一元函数/满足x(x)=asmx+C(C是任意常数),求 (5)求定积分(1+cos2x+|x|sn3x)b
2 （3）设函数 ( ) 2 3 2 f x ax bx cx 在 x 1 点取极小值 0，且该函数的图像以 (0, 2) 为 拐点，求 a，b ，c 的值。 （4）设一元函数 f 满足 xf x dx x C ( ) arcsin （ C 是任意常数），求 dx f x ( ) 1 ； （5）求定积分 ( 1 cos 2x | x |sin x)dx 3 ；
(6)若 x+a =xedk,求常数 (7)已知a1=(2,4,0),a2=(-2,1),a3=(4,-1,1),问t为何值时,a1,a2,a3线 性相关? (8)已知R3中的两组基为 a1=(1-1),a2=(1,-1,1),a3=(-1,,1) b=(1,1,1),b2=(0,1,1),b3=(0,0,1), 求从基{a1,a2,a3}到基{b,b2,b3}的过渡矩阵
3 （6）若 a x x x xe dx x a x a 2 lim ，求常数 a ； （7）已知 (2, 4,0) a1 ， ( 2,1,1) a2 ， (4, 1, ) 3 a t ，问 t 为何值时， a1， 2 a ， 3 a 线 性相关？ （8）已知 3 R 中的两组基为 T (1, 1, 1) a1 ， T (1, 1, 1) a2 ， T ( 1, 1, 1) a3 ， 和 T (1, 1, 1) b1 ， T (0, 1, 1) b2 ， T (0, 0, 1) b3 ， 求从基{ a1， 2 a ， 3 a }到基{ 1 b ，b2，b3 }的过渡矩阵
2.(本题满分8分)求点(0,1)到曲线y=x2-x的最短距离。 3(本题满分8分)求曲线y=mxe-me)(x∈(-,+∞)与两条直线y=1x (1+x2)e 和x=1所围平面图形的面积
4 2．（本题满分 8 分）求点 (0, 1) 到曲线 y x x 2 的最短距离。 3．（本题满分 8 分）求曲线 nx nx nx n x e x e e y 2 3 (1 ) 6 ( sin ) lim （ x (, ) ）与两条直线 y x 2 1 和 x 1 所围平面图形的面积
4.(本题满分9分)问λ为何值时,线性方程组 (2-)x1+2 4x2+(5-A)x3=- 有唯一解、无穷多解、无解?请说明理由
5 4．（本题满分 9 分）问 为何值时，线性方程组 2 4 (5 ) 1 2 (5 ) 4 2, (2 ) 2 2 1, 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x x x x x x x x x 有唯一解、无穷多解、无解？请说明理由
200 5.(本题满分10分)设A=001,B=0-10。 010 0-62 (1)求A的特征值和特征向量 (2)问A是否相似于对角矩阵?若是,求正交矩阵S,使得S′AS为对角矩阵 (3)问A和B是否相似?请说明理由。 6
6 5．（本题满分 10 分）设 0 1 0 0 0 1 2 0 0 A ， 0 6 2 0 1 0 1 0 0 B 。 （1）求 A 的特征值和特征向量； （2）问 A 是否相似于对角矩阵？若是，求正交矩阵 S ，使得 S AS T 为对角矩阵； （3）问 A 和 B 是否相似？请说明理由
6.(本题满分9分)设f(x)=」(-2)sm2tr(n是正整数),证明:当x0时成 (2n+2(2n+3) 7
7 6．（本题满分 9 分）设 x n f x t t tdt 0 2 2 ( ) ( )sin （ n 是正整数），证明：当 x 0 时成 立 (2 2)(2 3) 1 ( ) n n f x
7.(本题满分8分)设1<a<b,f(x)=-+hx,证明 0<f(b)-f(a)≤:(b-a) 8
8 7．（本题满分 8 分）设 1 a b， x x f x ln 1 ( ) ，证明 ( ) 4 1 0 f (b) f (a) b a 。