复旦大学数学科学学院 2012~2013学年第一学期期末考试试卷 A卷 课程名称:高等数学A(上)课程代码:MTH120001 开课院系:数学科学学院 考试形式 闭卷 姓名 题号1 6 总分 得分 (本题共24分,每小题6分) 1设函数y=f(x)由方程e-xy=1确定,求二阶导数∫"(0) 4x+6 2计算 dx x2+4x+ 3.计算 dx
1 复旦大学数学科学学院 2012～2013 学年第一学期期末考试试卷 A 卷 数学科学学院 一.（本题共 24 分，每小题 6 分） 1.设函数 y f (x) 由方程 1 e xy x y 确定，求二阶导数 f (0) ; 2.计算 dx x x x 4 5 4 6 2 ; 3.计算 1 2 2 1 1 dx x x ;
In(1+xt dt 4.求lm x→0tanx-Snx 二.(本题共24分,每小题6分) 3-22 1求矩阵A2-53-1 的秩 2设矩阵AB满足AB=3A+B,其中A=012,求矩阵B; 02
2 4.求 x x xt dt x x tan sin ln(1 ) lim 0 0 . 二.（本题共 24 分，每小题 6 分） 1.求矩阵 1 1 3 2 3 2 1 1 2 5 3 1 1 3 2 2 A 的秩; 2.设矩阵 A,B 满足 AB 3A B ，其中 0 2 1 0 1 2 2 0 0 A ，求矩阵 B ;
3设A是一个3×4的矩阵,rank(A)=2,方程组Ax=b有三个特解 x=(1,-1,2,3),x2)=(2,-1,3,4)2,x)=(1,-32,1) 求方程组Ax=b的通解。 sin 10x10e 4设f(x)=sinl1xlt4,求f(O)的值 sin 12x12e 三.(本题8分)(1)求极限limx3+x2-2x+1-x3-x2+2x+
3 3.设 A 是一个 3 4 的矩阵， rank(A) 2 ，方程组 Ax b 有三个特解 (1) T (2) T (3) T x (1,1,2,3) , x (2,1,3,4) , x (1,3,2,1) , 求方程组 Ax b 的通解。 4.设 f (x) sin12 12 8 sin11 11 4 sin10 10 2 8 4 2 x x x x e x e x e ，求 f (0) 的值。 三.（本题 8 分）（1）求极限 3 3 2 3 3 2 lim 2 1 2 1 x x x x x x x
四.(本题10分)讨论方程xe=a的根的个数 ax +x+x 五.(本题10分)设有方程组{x1+bx2+x3=3,,问a,b为何值时,方程组无解?有唯 x1+3bx,+ 解?有无穷多解?有无穷多解时请求出其通解
4 四.（本题 10 分）讨论方程 xe a x 的根的个数。 五.（本题 10 分）设有方程组 3 9. 3, 4, 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x bx x x bx x ax x x ，问 a,b 为何值时，方程组无解？有唯一 解？有无穷多解？有无穷多解时请求出其通解
六.(本题10分)设A是一个三阶实对称阵,其特征值为1,1,3,对应于特征值=3的特 征向量为(1,-1 (1)求矩阵A (2)设R3上的线性变换由(x)=Ax所确定,求在基(1,0,0)2,(1,1,0)2, (1,1,1)下的表示矩阵B,问A与B是否相似,为什么?
5 六.（本题 10 分）设 A 是一个三阶实对称阵，其特征值为 1, 1, 3，对应于特征值 3 的特 征向量为 T (1,1,0) 。 （1） 求矩阵 A ； （2） 设 3 R 上的线性变换 A 由 A (x) Ax 所确定，求 A 在基 T (1,0,0) ， T (1,1,0) ， T (1,1,1) 下的表示矩阵 B ，问 A 与 B 是否相似，为什么？
七(本题8分)平面图形D由曲线y=2-√x,x=1,y=2所围,将上述图形D绕轴 x=1旋转一周得到一个旋转体,求此旋转体的体积和表面积 八.(本题6分)设∫在[0,1上二阶导数连续,f(O)=f(1)=0,证明 maxf(x)≤f(x)ah
6 七.（本题 8 分）平面图形 D 由曲线 y 2 x, x 1, y 2 所围， 将上述图形 D 绕轴 x 1 旋转一周得到一个旋转体，求此旋转体的体积和表面积。 八.（本题 6 分）设 f 在 [0, 1] 上二阶导数连续， f (0) f (1) 0 ，证明 1 0 1 0 ( ) 4 1 max f (x) f x dx x