复旦大学数学科学学院 2010~2011学年第一学期期末考试试卷 《高等数学A》(上)试题(答案) 1.(本题满分48分,每小题6分)(1) (2)a=c=1,b=0 (3)1;(4)f(n)=n"e-为极大值:(5) +C;(6)2;(73 sinx 8)c|0+c,-2|,c1,c,是不全为零的的常数 0 2.(本题满分8分)a=b=e 3.(本题满分8分)256。 ⌒装订线内不要答题 4.(本题满分8分)A= 4 5.(本题满分9分) 当a≠1时(b可为任意常数),方程组有唯一解 b-a+2 0。 当a=1,b=-1时,方程组有无穷多解。通解为 0 其中c1,c2为任意常数。 当a=1,b≠-1时,方程组无解。 6.(本题满分9分)(1)4; (2)证明:该曲线与直线x=丌,y=0所围平面图形的面积为 注意当0≤x≤丌时,√snx≥sinx,于是 sint dt≥[ sint di=1-cosx
复旦大学数学科学学院 2010～2011 学年第一学期期末考试试卷 《高等数学 A》（上）试题（答案） 1．（本题满分 48 分，每小题 6 分）（1） 2 3 2 (1 x ) x ；（2） a c 1，b 0 ； （3）1；（4） n n f n n e ( ) 为极大值；（5） C x 2 2sin 1 ；（6）2；（7）3； （8） 0 2 1 1 0 1 1 2 c c ， 1 c ， 2 c 是不全为零的的常数。 2．（本题满分 8 分） a b e 。 3．（本题满分 8 分）256。 4．（本题满分 8 分） 13 4 ， 26 9 。 5．（本题满分 9 分） 当 a 1 时（ b 可为任意常数），方程组有唯一解 1 2 1 a b a x ， 1 2 3 2 a a b x ， 1 1 3 a b x ， x4 0。 当 a 1，b 1 时，方程组有无穷多解。通解为 1 0 2 1 0 1 2 1 0 0 1 1 1 2 4 3 2 1 c c x x x x ， 其中 1 c ， 2 c 为任意常数。 当 a 1，b 1 时，方程组无解。 6．（本题满分 9 分）（1）4； （2）证明：该曲线与直线 x ， y 0 所围平面图形的面积为 A t dt dx x 0 0 sin 。 注意当 0 x 时， sin x sin x ，于是 t dt t dt x x x sin sin 1 cos 0 0 。 （ 装 订 线 内 不 要 答 题 ）
于是 A 1- cos x dx=r。 7.(本题满分10分)证明:(1)对于x∈{a,b,由于o(x)非负,则显然成立 aO(x)≤xO(x)≤bo(x), 由「o(x)dx=1,上式在[a,b]上取定积分便得结论。 (2)取x=J。x0(x)dk,则x∈abl。由于f(x)在ab上具有连续二阶 导数,且∫"(x)≥0,由 Taylor公式可得 f(x)≥f(x)+f(x0(x-x0),x∈[a,b]。 因此 x)f(x)≥f(x)o(x)+f(x)[xo(x)-x0o(x),x∈[a,b。 取积分便得 o(x)f(xdx 2f(xo) o(x)x+f(xo xo(xddx-xo o(x) xo(xdx
于是 A x dx 0 (1 cos ) 。 7．（本题满分 10 分）证明：（1）对于 x[a, b] ，由于 (x) 非负，则显然成立 a(x) x(x) b(x)， 由 ( ) 1 b a x dx ，上式在 [a, b] 上取定积分便得结论。 （2）取 b a x x (x)dx 0 ，则 [ , ] x0 a b 。由于 f (x) 在 [a, b] 上具有连续二阶 导数，且 f (x) 0 ，由 Taylor 公式可得 ( ) ( ) ( )( ) 0 0 0 f x f x f x x x ， x[a, b]。 因此 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ( ) ( )] 0 0 0 x f x f x x f x x x x x ， x[a, b]。 取积分便得 ( ) ( ) . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 f x f x x d x x f x d x f x x d x f x x x d x x x d x b a b a b a b a b a
