复旦大学数学科学学院 2014~2015学年第一学期期末考试试卷 A卷 !课程名称:《高等数学A》(I) 课程代码:MATH20001 1开课院系: 数学科学学院 考试形式:闭卷 题号 2 3 4 5 6 总分 得分 1.(本题满分48分,每小题6分)计算下列各题: 1(1)求函数 的导数 y 國长 1(2)求极限im|cotx
1 复旦大学数学科学学院 2014～2015 学年第一学期期末考试试卷 A 卷 数学科学学院 1．（本题满分 48 分，每小题 6 分）计算下列各题： （1）求函数 y t t x t arctan ln(1 ), 2 的导数 dx dy ； （2）求极限 x x x 1 lim cot 0 0 ； （ 装 订 线 内 不 要 答 题 ）
(3)求函数f(x)=J(-1(-2)3的单调区间和极值 (4)求曲线y=x2lnx的凸性与拐点; (5)求不定积分m3xdk
2 （3）求函数 x f x t t dt 0 2 ( ) ( 1)( 2) 的单调区间和极值； （4）求曲线 y x ln x 2 的凸性与拐点； （5）求不定积分 xdx 3 sin ；
(6)计算定积分1n(1+x2)k; 0 (7)设A=210|,B=-21,求解矩阵方程AX=B 铷长 (8)已知a+a1+a2=0,间线性方程组{x2-x=a2,是否一定有解?请说明理由。 x3-x=a
3 （6）计算定积分 1 0 2 ln(1 x )dx ； （7）设 3 2 5 2 1 0 1 0 1 A ， 1 0 2 1 1 0 B ，求解矩阵方程 AX B ； （8）已知 a1 a2 a3 0 ，问线性方程组 3 1 3 2 3 2 1 2 1 , , x x a x x a x x a （ 是否一定有解？请说明理由。 装 订 线 内 不 要 答 题 ）
ax+ ≥0, 2.(本题满分8分)设函数f(x)={sinx+cosx x<0 在x=0点可导,求常数 a、b的值。 3.(本题满分8分)设函数∫在x=0点附近有定义,且满足lims2x+xf(x)=0。 (1)求lim +f(x) (2)若∫在x=0点二阶可导,问x=0是否为函数∫的极值 点?若是,指出它是极小值点还是极大值点
4 2．（本题满分 8 分） 设函数 , 0 sin cos 1 , 0, ( ) x x x x ax b x f x 在 x 0 点可导，求常数 a 、b 的值。 3．（本题满分 8 分）设函数 f 在 x 0 点附近有定义，且满足 0 sin 2 ( ) lim 3 0 x x xf x x 。 （1）求 2 0 2 ( ) lim x f x x ；（2）若 f 在 x 0 点二阶可导，问 x 0 是否为函数 f 的极值 点？若是，指出它是极小值点还是极大值点
4.(本题满分10分)已知抛物线的一段L:y=-x2+1(0≤xs1)。(1)设(x,y) 1为L上一点,求L在这点的切线、L和两个坐标轴所围成的图形的面积;(2)确定 1(xo,y),使得(1)中图形的面积最小 5.(本题满分8分)证明:当x∈(0时成立 tanx+-sinx>x 部
5 4．（本题满分 10 分）已知抛物线的一段 L ： 1 2 y x （ 0 x 1 ）。（1）设 ( , ) 0 0 x y 为 L 上一点，求 L 在这点的切线、 L 和两个坐标轴所围成的图形的面积；（2）确定 ( , ) 0 0 x y ，使得（1）中图形的面积最小。 5．（本题满分 8 分）证明：当 2 π x 0, 时成立 x sin x x 3 2 tan 3 1 。 （ 装 订 线 内 不 要 答 题 ）
6.(本题满分8分)已知定义在(-1,+∞)上的连续函数∫满足 f(xlL. f(odt+1 2(1+x)2 求∫(x)的表达式。 7.(本题满分10分)设A是3阶实方阵,满足A2=I且A≠I(Ⅰ是单位矩阵), 问A是否可以相似于对角矩阵,为什么? 6
6 6．（本题满分 8 分）已知定义在 (1, ) 上的连续函数 f 满足 2 0 2(1 ) e ( ) ( ) 1 x x f x f t dt x x ， 求 f (x) 的表达式。 7．（本题满分 10 分）设 A 是 3 阶实方阵，满足 A I 2 且 A I （ I 是单位矩阵）， 问 A 是否可以相似于对角矩阵，为什么？
