复旦大学数学科学学院 2017~2018学年第二学期期末考试试卷 A卷解答 11.(本题共40分,每小题5分)计算下列各题 1(1)设z=(1+x)2lm(+xy),求= 解:=(1+x)y(2ln(+xy)+1) (2)解方程y'--y=2x2 1解:可得(x2y)y=2,所以通解y=x2(2x+c)。 (3)求椭球面x2+y2+-=1上一点,使得在这点的椭球面切平面与x-y+2x=4平 行 染}解:切平面法向为(2x2y),可设===, 长1代入方彩4421,所以=75,所求点为士( t2 t2 4t2 N10'V10'V5) (4)求函数u=x3+2y2-3x-12y的极值。 解:先求驻点,l2=3x2-3,1=4y-12,得驻点(1,3),(-1,3), 由mn=6x,n=4.my=0,在点(1,3),△=mnn-=24>0,且vn=6>0 1所以函数在点(1,3)有极小值am=-20,在点(-1,3),△=mn-n2=-24<0 1所以函数在点(-1,3)没有极值。 1(5)计算「(x+y)ds,其中曲线L:x2+y2=2x。 解:原式-(+cos+sinO)0=2 1()计算∫」=adh,其中9由=3-x2-y2和=0所围。 解:原式址==(-2M=27
1 复旦大学数学科学学院 2017～2018 学年第二学期期末考试试卷 A 卷解答 1. （本题共 40 分，每小题 5 分）计算下列各题 (1)设 (1 ) ln(1 ) 2 z xy xy ，求 x z 。 解： x z (1 xy)y(2ln(1 xy) 1)。 (2)解方程 2 2 2 y x x y 。 解： 可得 ( ) 2 2 x y ，所以通解 (2 ) 2 y x x c 。 (3)求椭球面 1 2 2 2 2 z x y 上一点，使得在这点的椭球面切平面与 x y 2x 4 平 行。 解： 切平面法向为 (2x,2y,z) ，可设 t x y z 1 2 2 1 2 ， 代入方程， 1 2 4 4 4 2 2 2 t t t ，所以 5 2 t ，所求点为 ) 5 2 ,2 10 1 , 10 1 ( 。 (4) 求函数 u x 2y 3x 12y 3 2 的极值。 解：先求驻点， 3 3, 4 12 2 u x x u y y ，得驻点（1,3），（-1,3）, 由 u xx 6x, u yy 4,u xy 0，在点（1,3）， 24 0 2 u xx u yy u xy ，且 u xx 6 0， 所以函数在点（1,3）有极小值 umin 20，在点（-1,3）， 24 0 2 u xx u yy u xy ， 所以函数在点（-1,3）没有极值。 (5) 计算 L (x y)ds ，其中曲线 L : x y 2x 2 2 。 解： 原式= (1 cos sin ) 2 2 0 d 。 (6) 计算 z dxdydz 2 ，其中 由 z 3 x 2 y 2 和 z 0 所围。 解： 原式= 4 27 (3 ) 3 0 2 3 0 2 z dz dxdy z z dz z 。 （ 装 订 线 内 不 要 答 题 ）
(7)求幂级数>加n 的收敛半径与收敛区间 ln2(n+1) 解:p=lim 所以幂级数￥1n2m收敛半径R=2 n 2 当t=-2时,级数∑(-1)”ln2n发散 当1=2时,级数∑m2n发散,所以∑”的收敛区间为(-2,2),即 ∑1(-2的收数区间为(2-2+2 (8)求球面x2+y2+2=4被平面x+y+z=0所截的上半部分在xoy面上的投影区 域的面积。 解:设有向曲面Σ是平面x+y+z=0被球面x2+y2+22=4所围部分,方向取上侧 则所求面积A dxdy+2 cords+2T 14丌 2r=(+2 2.(本题共10分)设y=xlnx是方程x2y+p(x)y+y=0的一个解, (1)求p(x)的表达式; (2)求解方程x2y”+p(x)y+y=xlnx 解:(1)将y=xlnx代入方程,可得p(x)=-x。 (2)设t=lnx,方程x2y2+p(x)y+y=xlnx化为 其特解为y=te′,通解为y=(c1+c2l)e+te 原方程通解为y=(c1+c2lnx)x+xln3x 2
2 (7) 求幂级数 1 2 2 ( 2) 2 ln n n n x n 的收敛半径与收敛区间。 解： 2 1 2 ln 2 ln ( 1) lim 2 1 2 n n n n n ，所以幂级数 1 2 2 ln n n n t n 收敛半径 R 2， 当 t 2 时，级数 1 2 ( 1) ln n n n 发散， 当 t 2 时 ， 级 数 n n 2 1 ln 发 散 ， 所 以 1 2 2 ln n n n t n 的 收 敛 区 间 为 (2, 2) ， 即 1 2 2 ( 2) 2 ln n n n x n 的收敛区间为 (2 2, 2 2)。 (8)求球面 4 2 2 2 x y z 被平面 x y z 0 所截的上半部分在 xoy 面上的投影区 域的面积。 解：设有向曲面 是平面 x y z 0 被球面 4 2 2 2 x y z 所围部分，方向取上侧， 则所求面积 cos 2 2 1 2 2 1 A dxdy dS 2) 3 2 2 ( 3 4 2 1 2 3 1 2 1 dS 。 2.（本题共 10 分）设 y xln x 是方程 ( ) 0 2 x y p x y y 的一个解, （1）求 p(x) 的表达式； （2）求解方程 x y p(x)y y x ln x 2 。 解：（1）将 y xln x 代入方程,可得 p(x) x。 （2）设 t ln x,方程 x y p(x)y y x ln x 2 化为 t y te dt dy dt d y 2 2 2 , 其特解为 t y t e 3 6 1 ，通解为 t t y c c t e t e 3 1 2 6 1 ( ) ， 原方程通解为 y c c x x x x 3 1 2 ln 6 1 ( ln )
(本题共10分)设x=e",y=e",试将方程x2=x+y2=+x2+y==0从化为 关于自变量u,v的方程(假设z=x(x,y)有连续的二阶偏导数)。 解:由链式公式,:=三+1=1(+2),;=+=1(∷-2), =x=(=m2+=m2+=12+=”)-2(=1+=1) (2+2=”x人、 二 ′+z 所以 x +y =wtxcr t y 即原方程化为 2”=0。 4.(本题共10分)计算(x2+2y)d+(y2+2=x)+(2+2xy)dhy,其中Σ为 曲面=1-x2-y2的上侧。 解:设有向曲面Σ1:z=0(x2+y2≤1),取下侧。 由 Gauss公式得 ∫(x2+2y)d=+(y2+2=x)ta+(=2+2)db=2(x+y+)dodh =2 Edxrdydesz 而J(x2+2y)d+(y2+2=x)ddx+(=2+2y)dd=0, 于是jx2+2)d+(y2+2=x1t+(2+2y)db= 5.(本题共10分)计算 (ecosy+y2)d+(2- e sin y),其中有向曲线 L是y=x2从O(0,0)到A(1,1)的一段 解:记P(x,y)=e'cosy+y2,Q(x,y)=2xy- e sin y,则
3 3.（本题共 10 分）设 u v u v x e y e , ，试将方程 0 2 2 x z xx y z yy xz x yz y 从化为 关于自变量 u,v 的方程（假设 z z(x, y) 有连续的二阶偏导数）。 解：由链式公式， ( ) 2 1 x u x v x u v z z x z z u z v ， ( ) 2 1 y u y v y u v z z y z z u z v ， ( ) 2 1 ( ) 2 1 x x uu x uv x v u x v v x 2 u v z z x z u z v z u z v x z ( ) 2 1 ( 2 ) 4 1 2 uu uv v v 2 u v z z x z z z x ， ( ) 2 1 ( ) 2 1 yy uu y uv y v u y v v y 2 u v z z y z u z v z u z v y z ( ) 2 1 ( 2 ) 4 1 2 uu uv v v 2 u v z z y z z z y ， 所以 x x yy x y uu v v x z y z xz yz z z 2 1 2 2 2 1 ， 即原方程化为 zuu zvv 0 。 4.（本题共 10 分）计算 (x 2yz)dydz (y 2zx)dzdx (z 2xy)dxdy 2 2 2 ，其中 为 曲面 2 2 z 1 x y 的上侧。 解：设有向曲面 : 0 ( 1) 2 2 1 z x y ，取下侧。 由 Gauss 公式得 1 ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) 2 2 2 x yz dydz y zx dzdx z xy dxdy 2 (x y z)dxdydz 2 2 zdxdydz 而 ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) 0 1 2 2 2 x yz dydz y zx dzdx z xy dxdy ， 于是 (x 2yz)dydz (y 2zx)dzdx (z 2xy)dxdy 2 2 2 2 。 5.（本题共 10 分）计算 L x x (e cos y y )dx (2xy e sin y)dy 2 ，其中有向曲线 2 L 是 y x 从 O(0,0) 到 A(1,1) 的一段。 解：记 P x y e y y Q x y xy e y x x ( , ) cos , ( , ) 2 sin 2 ，则
=e sin y+2y ay 所以曲线积分与路径无关,记点B的坐标为(0),就有 R=t=(ecos y+y2)dx+(2xy-e 'sin y)dy+(e" cosy+y2)dx+(2xy-e'sinyydy ∫ea+∫(2y- esin y )dy=cosl 6.(本题共10分)求幂级数∑_,x”的和函数 解:其收敛半径R=1,收敛区间为[-1,1 2n+1 In(1-x)+In(l-x) In(1-x)+In(l-x)+ (x→>1-0) In(1-x) 24x∈-10)U(0,1 所以和函数为S(x)={0 x=0 d 4 7.(本题共10分)证明 x+2y-2+5 dxdvd-丌 另一方面,由 Cauchy不等式,可得 +2y-22+5 dxdyd=<1 dxdyd-(x+2y-2-+5)dxdyd:=(7)25<9T
4 y P x Q e y y x sin 2 ， 所以曲线积分与路径无关，记点 B 的坐标为 (1,0) ，就有 原式 OB x x (e cos y y )dx (2xy e sin y)dy 2 BA x x (e cos y y )dx (2xy e sin y)dy 2 1 0 e dx x (2 sin ) cos1 1 0 y e y dy e 。 6.（本题共 10 分）求幂级数 n n x n 2 2 1 1 的和函数。 解：其收敛半径 R 1,收敛区间为 [1, 1]。 n n n n n n x n x n x n 2 2 2 2 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 , [ 1,1) 2 4 1 ln(1 ) 2 1 ln(1 ) 1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 1 2 x x x x x x x x n x n x n n n n ， 而 ( 1 0) 4 3 2 4 1 ln(1 ) 2 1 ln(1 ) 2 x x x x x x ， 所以和函数为 , 1 4 3 0, 0 , [ 1,0) 0,1 2 4 1 ln(1 ) 2 1 ( ) 2 x x x x x x x S x （ ） 。 7.（本题共 10 分）证明 2 2 5 3 2 3 x y z dxdydz ， 其中 : 1 2 2 2 x y z 。 证：由 Cauchy 不等式， ( 2 2 ) (1 4 4) 2 x y z ( ) 9 2 2 2 x y z ， 可得 x 2y 2z 5 2 ， 所以 4 2 3 2 2 5 3 2 x y z dxdydz ， 另一方面，由 Cauchy 不等式，可得 2 x y z dxdydz dxdydz x y z dxdydz 2 2 5 1 ( 2 2 5) 2 2 ) 5 9 3 4 (
所以∫√x+2y-2+5dd
5 所以 2 2 5 3 x y z dxdydz