女长鹭 复旦大学数学科学学院 R 2017~2018学年第一学期期末考试试卷 A卷 课程名称:高等数学A(上)课程代码:MATH120021 开课院系:数学科学学院考试形式: 闭卷 剑 归凶长长無业长迎地实显温無中皮豆雷 题目 三四五六七八「总分 得分 、简单计算题(本题满分18分,每小题6分) 1.求im(1+5)m; 2.设f(x)=xe,求f(x),n≥1 3.求函数 arccos的 Maclaurin展开式(到4阶) 第1页(共9页)
6 ¶ Æ “ ; í ( ²:· Æ GÆ È u £ V Æ Ó ã 5 ½,Ú [±™¢Å & m ë,Ó Å £ V Æ,ÿ ä 6,ÿ 3 á;e k ä áÆ £ V Æ 1 è,g …ÆÓ ã ? n" Æ )£\ ¶§µ c F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . EåÆÍÆâÆÆ 2017*2018Æc1òÆœœ"££Ú A Ú ë߶°µ p ÍÆA£˛§ ëßì˵ MATH120021 mëXµ ÍÆâÆÆ £/™µ 4Ú K 8 ò n o 8 ‘ l o© © ò!{¸OéK( K˜©18©ßzK6©) 1. ¶limx→0 1 + 5x) 1 sin x¶ 2. f(x) = xex ,¶f (n) (x)ßn ≥ 1¶ 3. ¶ºÍarccos xMaclaurin–m™£4 §" 11ê ( 9ê)
、计算下列各题(本题满分18分,每小题6分) 1.设函数y=y(x)由方程x=t+sint及y= arctan t-y3(t>0)所确定,求 2.求lim(sin +3n3∑ke 3.已知f(x)=√1+x2,g(x) 1+x 且f(0)=9(0)=0,试求极限 lim( r+0 f(a) g(a) 第2页(共9页)
. !OéeàK( K˜©18©ßzK6©) 1. ºÍy = y(x)dêßx = t + sin t9y = arctan t − y 3 (t > 0)§(½,¶ dy dx¶ 2. ¶ limn→∞ (sin 1 n2 + 3n3 ) Xn k=1 ke k n¶ 3. Æf 0 (x) = √ 1 + x 2ßg 0 (x) = 1 1 + x ßÖf(0) = g(0) = 0ß £¶4Å limx→0 1 f(x) − 1 g(x) " 12ê ( 9ê)
女长鹭 R 剑 归凶长长無业长迎地实显温無中皮豆雷 八:三、计算下列积分(本题满分24分,每小题8分) 1 2d [0,2b-a>1 (1+x2) 第3页(共9页)
6 ¶ Æ “ ; í ( ²:· Æ GÆ È u £ V Æ Ó ã 5 ½,Ú [±™¢Å & m ë,Ó Å £ V Æ,ÿ ä 6,ÿ 3 á;e k ä áÆ £ V Æ 1 è,g …ÆÓ ã ? n" Æ )£\ ¶§µ c F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . n!Oée»©( K˜©24©ßzK8©) 1. Z √ x 2 + 2x + 2dx¶ 2. Z 2π 0 1 1 + 2a cos θ + a 2 dθ, Ÿ•¢Ía > 1¶ 3. £^BetaºÍL´ Z +∞ 0 x a (1 + x 2 ) b dxߟ•a, bè¢ÍÖa > 0ß2b − a > 1" 13ê ( 9ê)
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. 14ê ( 9ê)
0 四、(本题满分8分)已知平面∑ 过程 经方 直线L 十十 且与平面 y ∑0:3x+z J夹 角为,求∑的 剑 女条取归温卫来兴凶强最长长亚长把兴实最無皮 第5页(共9页)
6¶ Æ“ ;í (²:·ÆGÆÈu£VÆÓã5½,Ú[±™¢Å&më,ÓÅ£VÆ,ÿä6,ÿ3á;ekäáÆ£VÆ1è,g…ÆÓã? n" Æ)£\¶§µ c F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o! ( K˜© 8© ) Æ ² ° Σ ² L Ü Ç L : x + 3 y + z = 0 x − y + 2 z = 0 Ö Ü ² ° Σ 0 : 3 x + z = 6 Y è π3 , ¶ Σ ê ß " 1 5 ê ( 9 ê )
五、(本题满分8分)设曲面∑是由平面曲线r=a(1+cosθ)(a>0)绕极轴旋转一周 所成,其中x轴正向与极轴相重合。(1)试写出∑在相应空间直角坐标系中的方 程;(2)求∑的面积。 第6页(共9页)
!( K˜©8©)°Σ¥d²°Çr = a(1 + cos θ) (a > 0)74¶^=ò± §§ßŸ•x¶ïÜ4¶É‹"£1§£—Σ3ÉAòmÜãIX•ê ߶£2§¶Σ°»" 16ê ( 9ê)
六、(本题满分8分)设a>0,试确定a的范围使得曲线y=a与直线y=x必相交 要求说明理由) 剑 女条取归温卫来兴凶强最长长亚长把兴实最無皮 第7页(共9页)
6¶ Æ“ ;í (²:·ÆGÆÈu£VÆÓã5½,Ú[±™¢Å&më,ÓÅ£VÆ,ÿä6,ÿ3á;ekäáÆ£VÆ1è,g…ÆÓã? n" Æ)£\¶§µ c F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8! ( K˜© 8© ) a > 0, £ ( ½ a â å ¶ Ç y = a x Ü Ü Ç y = x 7 É £ á ¶ ` ² n d § " 1 7 ê ( 9 ê )
七、(本题满分8分)设函数f(x)于[0,+∞)上连续,且满足 f(a) +(/f()d+v3)2 ∞ (1)证明:反常积分/f(x)d收敛,且其值小于,后;(2)设数列{xn}m=1满 足xn+1=/f(dt,n≥1,n1≥0,试证:imxn存在且有限 第8页(共9页)
‘!( K˜©8©)ºÍf(x)u[0, +∞)˛ÎYßÖ˜v f(x) = 1 x 2 + R x 0 f(t)dt + √ 3 2 , £1§y²µá~»© Z +∞ 0 f(x)dx¬ÒßÖŸäu π 2 √ 3 ¶£2§Í{xn} ∞ n=1˜ v xn+1 = Z xn 0 f(t)dtßn ≥ 1, x1 ≥ 0ߣyµ lim n→+∞ xn 3ÖkÅ" 18ê ( 9ê)
女长鹭 八、(本题满分8分)设A= 是3阶实方阵 ,|A1≠0,记D(x)=(ak+x)3x3 及g(x)=detD(x)。(1)试求导数g(x)并证明:g(0)=|A4a(A-)a,其中向 可:量a=(1,1,1);(2)若A= 求g(0)。 1 剑 第9页(共9页)
6 ¶ Æ “ ; í ( ²:· Æ GÆ È u £ V Æ Ó ã 5 ½,Ú [±™¢Å & m ë,Ó Å £ V Æ,ÿ ä 6,ÿ 3 á;e k ä áÆ £ V Æ 1 è,g …ÆÓ ã ? n" Æ )£\ ¶§µ c F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . l!( K˜©8©) A = akj 3×3¥3 ¢ê ß|A| 6= 0ßPD(x) = akj +x 3×3 9g(x) = det D(x)"£1§£¶Íg 0 (x)øy²µg 0 (0) = |A|α T (A −1 )αß Ÿ•ï ˛α T = (1, 1, 1)¶£2§eA = 2 3 4 2 1 1 −1 1 2 ß ¶g 0 (0)" 19ê ( 9ê)