复旦大学数学科学学院 2016~2017学年第二学期期末考试试卷 A卷 课程名称 高等数学A(下) 课程代码 MATH120022 1开课院系: 数学科学学院 考试形式: 闭卷 题号 2 3 4 5 6 总分 得分 1.(本题共40分,每小题5分)计算下列各题 1(1)设z= arctan,求”n !解:z 如 1(2)求曲面e-z+xy=3在点(210)处的切平面方程 会解:记F(x2=e-x+xy-3,VF(x,y,2x,e-1),VF(21.0)=(120), 切平面方程为x+2y-4=0。 (3)求函数=xy2+z在点(1,0,1)处的最大方向导数。 解: 01y0,abhn,=1:w.01)=(00),最大方向导数为1 (4)求椭圆3x2+2xy+3y2=1的面积。 解:令L=x2+y2-4(3x2+2xy+3y2-1)。解 ∫=2x-A(6x+2y)=0 L=2y-1x+6y)=0’得x-y=0或 者x+y=0,代人3x2+2xy+3y2=1,分别得x2+y2=或者x2+y2=。面积为
1 复旦大学数学科学学院 2016～2017 学年第二学期期末考试试卷 A 卷 数学科学学院 1. (本题共 40 分，每小题 5 分) 计算下列各题 (1) 设 arctan ，求 。 解： 2 2 ， 2 2 2 2 - 。 (2) 求曲面 3 在点 (2,1,0) 处的切平面方程。 解：记 ( , , ) -3， ( , , ) ( , , 1) ， (2,1,0) (1,2,0)， 切平面方程为 2 4 0 。 (3) 求函数 3 2 在点 (1,0,1) 处的最大方向导数。 解： 0 1 0 1 ( , , ) ， 0 1 0 1 ( , , ) ， 1 1 0 1 ； (1,0,1) (0,0,1) ，最大方向导数为 1 。 (4) 求椭圆 3 2 3 1 2 2 的面积。 解：令 (3 2 3 1) 2 2 2 2 。解 2 2 6 0 2 6 2 0 ( ) ( ) ，得 0 或 者 0 ，代人 3 2 3 1 2 2 ，分别得 4 2 2 1 或者 2 2 2 1 。面积为 2 2 。 （ 装 订 线 内 不 要 答 题 ）
)计算b。 解:∫”b9m=0一1=1-m1 (6)计算』xh+ybdx+z2h,其中Σ为x2+y2+2=1的外侧。 解:由Gas公式∫xhyd+zhy=3(x2+y2+2)hb x2+y2 再由球坐标变换化为了如= (7)求方程 3=x的通解 解:d y o dy =0特征根为A=0,2=3;其通解为C1+C2e3。设 dfy-3少=x的 特解为(x+b)x,解得y=-12x2-1x。故原方程的通解为C1+Cex-1x-1x (8)求幂级数∑ (-3+2x2m1的收敛半径与收敛区间。 解:im =lim n(-3)"+2 n=lm2x。当时时, -3y+2x=+得 级数发散。故收敛半径为R=3。当=3时,lm 32|=+∞,级数发散 3)+2 故收敛区间(-3,√3)。 2
2 (5) 计算 1 0 sin 。 解： 1 1 1 1 0 1 0 1 0 2 ( )sin sin sin sin 。 (6) 计算 3 3 3 ，其中 为 1 2 2 2 的外侧。 解：由 Gauss 公式 1 3 3 3 2 2 2 2 2 2 3 ( ) 。 再由球坐标变换化为 5 12 3 2 0 0 1 0 2 2 sin 。 (7) 求方程 3 2 2 的通解。 解： 3 0 2 2 特征根为 1 0，2 3 ；其通解为 3 1 2 。设 3 2 2 的 特解为 ( ) ，解得 9 1 6 1 2 * 。故原方程的通解为 9 1 6 3 1 2 1 2 。 (8) 求幂级数 1 2 1 ( 3) 2 的收敛半径与收敛区间。 解： 2 1 2 1 1 2 1 3 1 3 1 2 3 3 2 lim [ ( )] lim ( ) lim 。当 3 时，由 Cauchy 判别法，级数 1 2 1 ( 3) 2 绝对收敛；当 3 时， 2 1 ( 3) 2 lim 得 级数发散。故收敛半径为 3 。当 3 时， 2 1 3 ( 3) 2 lim ，级数发散。 故收敛区间 ( 3, 3)
2.(本题共10分)将f(x)=x2在[0,2x]上展开成 Fourier级数,并求其和函数S(x) 解: x dx 8 x cos ndx= b=x2 sin nxd=-一z,n=12,… 4 4 x2的 Fourier级数为 2 coS nY-- T sIn nx。 (0,2r) 由于x2的局部可导,收敛定理得S(x)=12x,x=02z 3(本题共10分)求幂级数习m+1)x的和函数S() 解:原幂级数的收敛半径为R=1。因此 (sx)-=∑x,xe(-1):当x=0时,(Sx)=0 1(x(x)"=∑x1 ,x∈(-1,1) 两边积分得(xx)=-h(1-x),x∈(-1)。 再积分得xS(x)=x+(1-x)l(1-x),x∈(-1,1)。 i由于原幂级数的收敛域为x∈[-1],由S(x)在x=-1处的右连续,S(x)在x=-1处的 左连续,得 (1-x)l(l-x) +1,x∈[-1)x≠0 1S(x)= x=0 4(本题共10分)求叮(xy)2ddh,其中D是由y=x,y=4以及x=2y2所围成 的区域。 解:令n=y,v=x,在om坐标中的积分区域为D:1≤≤11s<+
3 2. (本题共 10 分) 将 2 ( ) 在 [0,2 ] 上展开成 Fourier 级数，并求其和函数 ( ) 。 解： 2 2 0 2 0 3 1 8 ， 2 2 0 1 2 4 cos ， 1 2 4 0 2 sin ， 1,2, 。 2 的 Fourier 级数为 1 2 2 4 4 3 4 cos sin 。 由于 2 的局部可导，收敛定理得 0 2 0 2 2 2 2 , ( , ) , , ( ) 。 3. (本题共 10 分) 求幂级数 1 1 1 ( ) 的和函数 ( ) 。 解：原幂级数的收敛半径为 1 。因此 1 1 ( ) ' ， (1,1) ；当 0 时， ( )' 0。 1 1 1 1 ( ) ' ' ， (1,1) 。 两边积分得 ( )' ln(1 )， (1,1) 。 再积分得 ( ) (1 )ln(1 ) ， (1,1) 。 由于原幂级数的收敛域为 [1,1] ，由 ( ) 在 1 处的右连续， ( ) 在 1 处的 左连续，得 1 0 11 0 1 0 1 1 1 [ , ), , , , ( )ln( ) ( ) 。 4. (本题共 10 分) 求 2 ( ) ，其中 是由 2 ， 2 4 1 以及 2 4 1 所围成 的区域。 解：令 2 ， 2 ，在 坐标中的积分区域为 4 1 1 4 1 : , 。 （ 装 订 线 内 不 要 答 题 ）
Du, v3u-2y-2. [ayr "drdy=fluv?pu wy -ucv= j dudov=+oo x, y D(x 5(本题共10分)证明不等式:当x≥1,y≥0时,e"+xhx-x-xy≥0。 证明:令f(x,y)=e"+xhx-x-xy, f(x,y)=hnx-y, fex,y=er-x, x≥1,f(x,y)在n=hx处最小值f(xo,hx0)=0; y≥0,f(x,υ)在x=e处最小值f(e,y)=0。因此f(x,y)最小值0 6(本题共10分)设z=f(x,y)在x2+y2≤1上有连续的偏导数,且在x2+y2=1上恒 为零,证明:f(0,0)=lm x2+ya,其中D)为圆环区域 E2≤x2+y2 x+12,9=4/(xy)aaP_x+V 证明一:令P=二V(xy) 。由 Green公式得 ∫x+y4=。P+Q,其中x+y=为顺时针方向, 设z为x2+y2=E2上沿顺时针方向的单位切向量,n为x2+y2=E2上指向原点的单位 法向量,则 (dx, dy)=tds=(-cos(n, v), cos(n, x)ds=-(y 从而 Pdx+Ody 又 ds=2n,和z=f(x,y)的连续性,利用三角不等式估计得证 证明二:由散度定理(Gren公式的等价形式)
4 2 2 3 1 ( , ) ( , ) 。 3 2 2 1 ( , ) ( , ) ( ) ( ) 。 5. (本题共 10 分) 证明不等式：当 1， 0 时， ln 0。 证明：令 ( , ) ln ， ( , ) ln ， ( , ) ， 0 1， ( , ) 0 在 0 0 ln 处最小值 ( 0 ,ln 0 ) 0 ； 0 0， ( , ) 0 在 0 0 处最小值 0 0 0 ( , ) 。因此 ( , ) 最小值 0 。 6. (本题共 10 分) 设 ( , ) 在 1 2 2 上有连续的偏导数，且在 1 2 2 上恒 为零，证明： ( ) ( , ) lim 2 2 0 2 -1 0 0 ， 其 中 ( ) 为圆环区域 1 2 2 2 。 证明一：令 2 2 ( , ) ， 2 2 ( , ) ，则 2 2 。由 Green 公式得 2 2 2 2 2 ( ) ，其中 2 2 2 为顺时针方向。 设 为 2 2 2 上沿顺时针方向的单位切向量， 为 2 2 2 上指向原点的单位 法向量，则 ( , ) ( cos( , ),cos( , )) ( , ) 2 2 2 2 - ， 从而 2 2 2 2 2 2 2 2 。 又 2 1 2 2 2 2 2 ，和 ( , ) 的连续性，利用三角不等式估计得证。 证明二：由散度定理(Green 公式的等价形式)
令P=X(xy),Q=y(xy),直接得 d小 17(本题共10分)设z=f(x,y)在R2上具有连续的二阶偏导数。证明 1)若z=f(x,y)变量可分离,即存在连续可导函数(x),v(y)使得 1f(xy)=o(xy(y),则z=f(x,y)满足z Oxy ax a 2)若z=f(xy)>0,且满足:z_BB,则z=1xy)变量可分离。 证明:1)略:2)日 2-=,故三=Mx),其中hx)为连续可导函数。 1从而h=M对,积分得h2=xk+g(y,其中g()为连续可导函数,得证 部
5 cos( , ) cos( , ) ， 令 2 2 ( , ) ， 2 2 ( , ) ，直接得 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 。 7. (本题共 10 分) 设 ( , ) 在 2 上具有连续的二阶偏导数。证明： 1) 若 ( , ) 变 量 可 分 离 ， 即 存 在 连 续 可 导 函 数 ( ) ， ( ) 使 得 ( , ) ( ) ( ) ，则 ( , ) 满足 2 ； 2) 若 ( , ) 0 ，且满足 2 ，则 ( , ) 变量可分离。 证明：1) 略；2) 0 2 ，故 ( ) ，其中 ( ) 为连续可导函数。 从而 ln ( ) ，积分得 ln ( ) ( ) ，其中 ( ) 为连续可导函数。得证。 （ 装 订 线 内 不 要 答 题 ）
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