复旦大学：《高等数学》课程往年试题（高等数学A）2014高数A（下）

复旦大学数学科学学院 2013~2014学年第二学期期末考试试卷 口A卷 课程名称:高等数学A(下)课程代码:MATH20002 开课院系:数学科学学院考试形式:闭卷 姓名: 学号 专业 题目1 4 6 7总分 分 装订线内不要答题 1、(本题满分48分,每小题6分)计算以下各题 (1).求u=sim(x+)的一阶及二阶偏导数,。 ).求椭球面42+y2+2=1在点()处的切平面。 页(共7页)

( K â á ÿ S Ç æ C ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E￾åÆÍÆâÆÆ 2013*2014Æc1Æœœ"££Ú ✷ A Ú ë߶°µ pÍÆA£e§ ëßì˵ MATH20002 mëXµ ÍÆâÆÆ £/™µ 4Ú 6 ¶µ Æ “µ ; íµ K 8 1 2 3 4 5 6 7 o©  © 1!£K˜©48©ßzK6©§Oé±eàK (1). ¶u = x sin(x + y)ò9†Í∂u ∂xß ∂ 2u ∂x∂y" (2). ¶˝•°4x 2 + y 2 + z 2 = 13:  1 2 √ 3 , √ 1 3 , √ 1 3  ?ɲ°" 11ê (
7ê)

(3).求三重积分∫ yzdadyda,其中V是由曲面x2+y2+ 1及x=0,y=0,z=0所界区域。 (4).求幂级数∑=2(-1)m22的收敛半径和收敛域 (5).解微分方程xy/-y=x 第2页(共7页)

(3). ¶n­»© RRR V xyzdxdydzߟ•V ¥d­°x 2 + y 2 + z 2 = 19x = 0,y = 0, z = 0§.´ç" (4). ¶ò?Í P∞ n=2(−1)n ln n 2 n x n¬Òåª⁄¬Òç" (5). )á©êßxy0 − y = x 3 . 12ê (
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(6).将函数f(x)=1,x∈[0,]展开成正弦级数。 (7).计算∫∫x(x+y2)dydz+(y+zm)dzdx+ zd dy,其中Σ为曲 面z=1-√1-x2-y2(0≤2≤1)的下侧 (8).求 gradf(r),其中为可微函数,r=√r2+y2+2 第3页(共7页)

(6). ÚºÍf(x) = 1, x ∈ [0, π]–m§u?Í" (7). Oé R R Σ (x + yz)dydz + (y + zx)dzdx + zdxdyߟ•Σè­ °z = 1 − p 1 − x 2 − y 2 (0 ≤ z ≤ 1)e˝" (8). ¶gradf(r)ߟ•fèåáºÍßr = p x 2 + y 2 + z 2 . 13ê (
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2、计算题(本题满分8分)已知函数Z=x2-y2+2,求Z在椭圆 域D={(0|2+号≤1}上的最大值和最小值 3、计算题(本题满分8分)设平面区域D={(x,y)1≤x2+y2≤ 4,x≥0,y≥0},计算二重积分∫Dx+ dzdy. 第4页(共7页)

2!OéK£K˜©8©§ ƺÍZ = x 2 − y 2 + 2߶Z3˝ çD = n (x, y)|x 2 + y 2 4 ≤ 1 o ˛Ååä⁄Åä" 3!OéK£K˜©8©§ ²°´çD = {(x, y)|1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4, x ≥ 0, y ≥ 0}ßOé­»© RR D x √ x 2+y 2 x+y dxdy. 14ê (
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4、计算题(本题满分10分)求幂级数∑≌0(7+1)(n+3)x的收敛 域及和函数。 5、计算题(本题满分10分)设 1+ -arc tan x,x≠0 求f((0) 第5页(共7页)

4!OéK£K˜©10©§ ¶ò?Í P∞ n=0(n + 1)(n + 3)x n¬Ò ç9⁄ºÍ" 5!OéK£K˜©10©§  f(x) =    1+x 2 x arc tan x, x 6= 0 1 x = 0 ¶f (n) (0). 15ê (
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6、计算题(本题满分8分)设f(x)在(-∞,∞)上二阶连续可 f(e cos y) (1)求及器 (2).若+器=e2(42+8cc0sy),且f(O)=f(0)=0,试求 出f()的表达式 第6页(共7页)

6!OéK£K˜©8©§ f(x)3(−∞,∞)˛ÎYå ßz = f(e x cos y)" (1). ¶∂ 2 z ∂x2 9 ∂ 2 z ∂y2 . (2). e∂ 2 z ∂x2 + ∂ 2 z ∂y2 = e 2x (4z + 8e x cos y)ßÖf(0) = f 0 (0) = 0ߣ¶ —f(u)Là™" 16ê (
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7、证明题(本题满分8分)设数列{an},{b}满足0<an,bn< (n=1,2,…),且 cos an-an= cos bn,由∑=1bn收敛,证明 (1)an→0(n→∞),(2)∑1a收敛 第7页(共7页)

7!y²K£K˜©8©§ Í{an}, {bn}˜v0 < an, bn < π 2 (n = 1, 2, . . .)ßÖcos an − an = cos bnßd P∞ n=1 bn¬Òßy² (1) an → 0 (n → ∞), (2) P∞ n=1 an bn¬Ò" 17ê (
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