复旦大学数学科学学院 2015~2016学年第二学期期末考试试卷 A卷 课程名称:高等数学(A)(下) 课程代码:MATH120002 开课院系:数学科学学院 考试形式:闭卷 题号 2 3 4 5 6 总分 得分 11.(本题共40分,每小题5分)计算下列各题 1(1)设二=xye2),求x"n。 解: =(1+2x2)(1 翰!(2)解方程y"-3y+2y=x2。 长}解:对应齐次方程有通解y=+ee,设原方程的一个特解为 ∞y=ax2+bx+c。代入原方程,2a-3x2am+b)+2(ax2+bx+c)=x2, b 故原方程的通解y=ce+e1,2+3,7 t-x (3)求椭球面x+y+=1在点(1,-1,1)处的切平面方程。 解:记F(xy:)=x++-1,则F=x,F=2,F=三, 在点(1,-1,1)处的切平面方程为2(x-1)-(y+1)+z-1=0。 1(4)求函数n=x2+y2-8x+4y在D:x2+y2≤9上的最值 1解:先求驻点,2=2x-8=2y+4,得驻点(4,-2),该点不在D内,所以函 数在D内无驻点,这表明,函数在D上的最值应在边界OD:x2+y2=9上取到
1 复旦大学数学科学学院 2015～2016 学年第二学期期末考试试卷 A 卷 1. （本题共 40 分，每小题 5 分）计算下列各题 (1)设 2 2 x y z xye ，求 xy z 。 解： x z 2 2 (1 2 ) 2 x y y x e ， xy z 2 2 (1 2 )(1 2 ) 2 2 x y x y e 。 (2)解方程 2 y 3y 2y x 。 解 ： 对应齐次方程有通解 x x y c e c e 2 1 2 ， 设原方程的一个特解为 y ax bx c 2 。代入原方程， 2 2 2a 3(2ax b) 2(ax bx c) x ， 得 4 7 , 2 3 , 2 1 a b c ， 故原方程的通解 4 7 2 3 2 2 1 2 y c1 e c2 e x x x x 。 (3)求椭球面 1 2 4 4 2 2 2 x y z 在点(1,-1,1)处的切平面方程。 解： 记 F(x, y,z) 1 2 4 4 2 2 2 x y z ，则 2 , 2 , z F y Fx x Fy x ， 在点(1,-1,1)处的切平面方程为 2(x 1) ( y 1) z 1 0 。 (4) 求函数 u x y 8x 4y 2 2 在 : 9 2 2 D x y 上的最值。 解：先求驻点， u x 2x 8, u y 2y 4 ，得驻点（4,-2），该点不在 D 内，所以函 数在 D 内无驻点，这表明，函数在 D 上的最值应在边界 : 9 2 2 D x y 上取到。 （ 装 订 线 内 不 要 答 题 ）
3cos t 令 3sin t 代入函数得u=9-24cost+12snt,所以函数的最大值 9+12√5,最小值u=9-12√5 (5)计算[(x+y)ds,其中L:x2+y2=2x。 解:由对称性,「=0,令{=1+102n) y=s t 所以∫(x+y)d=(+os=2z。 (6计算∫(x+y+dh,其中92:(x-12+(y-1)2+(2-1)s1 解:作坐标平移{v=y-1,则由对称性, 原式=3+n+y+)h=Jj3hhp=4x,其中s:n2+y2+y2s1 (7)讨论级数∑m收敛性 解:由lm +∞,而∑发散,由比较判别法,原级数发散 I n (8)求幂级数∑”(x-1)的收敛半径与收敛区间。 解: D=lm3′ ,所以收敛半径R=3, 当x=-2时,级数∑(-1)"n3发散, 当x=4时,级数∑n3发散,所以收敛区间为(-2,4)。 2.(本题共10分)求级数∑ 的和 2
2 令 y t x t 3sin 3cos ， 代 入 函 数 得 u 9 24cost 12sin t ， 所以函数的最大值 umax 9 12 5 ，最小值 umin 9 12 5 。 (5)计算 L (x y)ds ，其中 L : x y 2x 2 2 。 解：由对称性， 0 L yds ，令 0 2 ) sin 1 cos t y t x t（ 所以 ( ) (1 cos ) 2 2 0 x y ds t dt L 。 (6)计算 （x y z)dxdydz ，其中 : ( 1) ( 1) ( 1) 1 2 2 2 x y z 。 解：作坐标平移 1 1 1 w z v y u x ，则由对称性， 原式= （3 u v w)dudvdw 3 4 dudvdw ，其中 : 1 2 2 2 u v w 。 (7)讨论级数 2 2 1 1 n ln n n n 收敛性。 解：由 n n n n n 1 ln 1 1 lim 2 ，而 1 1 n n 发散，由比较判别法，原级数发散。 (8) 求幂级数 1 3 ( 1) n 3 n n x n 的收敛半径与收敛区间。 解： 3 1 3 3 ( 1) lim 3 1 3 n n n n n ，所以收敛半径 R 3， 当 x 2 时，级数 3 1 ( 1) n n n 发散， 当 x 4 时，级数 3 1 n n 发散，所以收敛区间为 (2,4)。 2.（本题共 10 分）求级数 2 2 ( 1)2 1 n n n 的和
解:讨论幂级数∑ (m2-1)x”,其收敛半径R=1,收敛区间为-1 记S(x)=∑ S(x) n+1 l(1-x)+h(1-x)++x,x∈(-1,0)U(0,1), 于是S() 53 台(m2-1)284 3.(本题共10分)求∫(2xsny+y)r+(x2cosy+2x,其中L:x2+y2=2ar(a>0) 从(0,0)到(2a,0)的上半圆周。 解:补充由对称性,Ly=0x:2n→0,∫x=∫yd=∫=2h, 则由rem公式,∫(2xmy+y)+( cosy+2x)=d=2m, ∫(2xny+y)+(y+21b=o=0 所以「(2xsny+y)x+(x2cosy+2x)db 4.(本题共10分)求球面x2+y2+=2=a2(a>0)被平面=2与z=所夹部分的面 积 解:设所夹部分为X:=a2-x2-y2(3a2≤x2+y2515a2) 则 于是所求面积4=4s=』_ab
3 解：讨论幂级数 n n x n 2 2 ( 1) 1 ，其收敛半径 R 1 ，收敛区间为 [1,1]。 记 n n x n S x 2 2 ( 1) 1 ( ) ， x [1,1]， 则 n n n n x n x n S x 2 2 1 1 2 1 1 1 2 1 ( ) 1 2 1 2 1 1 2 1 1 1 2 n n n n x x n x n x , ( 1,0) (0,1) 4 1 2 1 ln(1 ) 2 1 ln(1 ) 2 x x x x x x ， 于是 ln 2 4 3 8 5 ) 2 1 S( ，即 2 2 ( 1)2 1 n n n ln 2 4 3 8 5 。 3.（本题共 10 分）求 (2x sin y y)dx (x cos y 2x)dy 2 L ，其中 : 2 ( 0) 2 2 L x y ax a 从(0,0)到 （2a, 0） 的上半圆周。 解：补充由对称性， L1 : y 0, x : 2a 0 ， x ds y ds z ds 2 2 2 ， 则由 Green 公式， 2 2 L L 2 1 (2 sin ) ( cos 2 ) 1 x y y dx x y x dy dxdy a D ， 而 (2 sin ) ( cos 2 ) 0 0 0 2 2 L1 a x y y dx x y x dy dx ， 所以 2 2 L 2 1 (2x sin y y)dx (x cos y 2x)dy a 。 4.（本题共 10 分）求球面 ( 0) 2 2 2 2 x y z a a 被平面 4 a z 与 2 a z 所夹部分的面 积。 解：设所夹部分为 ) 16 15 4 3 : ( 2 2 2 2 2 2 2 z a x y a x y a ， 则 2 2 2 2 2 2 , a x y y z a x y x z x y ， 2 2 1 x y z z 2 2 2 a x y a ， 于是所求面积 D dxdy a x y a A dS 2 2 2 2 4 15 2 3 2 2 2 0 2 1 dr a a r ar d a a
其中D 5.(本题共10分)计算「(x+y2=)h+(4y+1)ahx+zdd,其中Σ为曲面 =√x2+y2(0≤z≤1)的下侧。 解:设有向曲面Σ1:z=1(x2+y2≤1),取上侧。 由 Gauss公式得 (x+y'=dyd=+(4y+1)dxdx+addy= 6dxdyd==2 J(x+y2=dyd:(4y+1)dedr+ =drdy[dxdy=T 于是「(x+y2)dh+(4y+1)dx+hdy= 6.(本题共10分)设∫(x)=smn(ax),x∈[-r,n)(a不取整数),求其 Fourier级数及 Fourier级数的和函数S(x 解:an=0,n=0,12 f sin ar sin nxd=_n(cos(a-m)x-cos(a+n)x)dr (l)"2nsin aT n=1.2 所以f(x)的 Fourier级数为 2SIn az smnx。 由收敛性定理,可知其和函数 S(x)= 7.(本题共10分)设可微函数f(x)是方程(x-2y)x+3xya=0的解且f(1)=1, (1)求f(x)的表达式:(2)讨论级数y(f(n)收敛性。 2(nn) 解:(1)令z==y3,方程可改写为x-2z=-1,解得二=x+cx2,由x=1时,y=1
4 其中 2 2 2 2 16 15 4 3 D : a x y a 。 5.（本题共 10 分）计算 (x y z)dydz (4y 1)dzdx zdxdy 2 ，其中 为曲面 (0 1) 2 2 z x y z 的下侧。 解：设有向曲面 : 1 ( 1) 2 2 1 z x y ，取上侧。 由 Gauss 公式得 1 ( ) (4 1) 2 x y z dydz y dzdx zdxdy 6 2 dxdydz 。 而 1 ( ) (4 1) 2 x y z dydz y dzdx zdxdy 1 dxdy ， 于是 (x y z)dydz (4y 1)dzdx zdxdy 2 。 6.（本题共 10 分）设 f (x) sin(ax), x[,) (a不取整数) ,求其 Fourier 级数及 Fourier 级数的和函数 S(x)。 解：an 0, n 0,1,2, , , 1,2, ( ) ( 1) 2 sin (cos( ) cos( ) ) 1 sin sin 2 2 2 0 0 n a n n a b ax nxdx a n x a n x dx n n , 所以 f (x) 的 Fourier 级数为 f (x)～ 1 2 2 sin 2sin ( 1) n n nx a n a n 。 由收敛性定理，可知其和函数 x ax x S x 0, sin , ( , ) ( ) 。 7.（本题共 10 分）设可微函数 f (x) 是方程 ( 2 ) 3 0 3 2 x y dx xy dy 的解且 f (1) 1， (1)求 f (x) 的表达式；(2)讨论级数 2 3 ln (ln ) ( ( )) n n n n f n 收敛性。 解：(1) 令 3 z y ，方程可改写为 1 2 z x z ，解得 2 z x cx ，由 x 1时, y 1 （ 装 订 线 内 不 要 答 题 ）
可知c=0,所以f(x)=vx。 (2)级数∑((n) 2(n n In"n 由 lim expn( / h)}=0 可得当n充分大时,n <,所以由比较判别法,∑收敛 In"n 即y((3) 收敛
5 可知 c 0，所以 3 f (x) x 。 （2）级数 2 n ln 2 3 ln (ln ) ln ( ( )) n n n n n n n n f n ， 由 } 2 ln lim exp{ln ln ) 2 ln( lim 2 ln n n n n n n n n n ， )} 0 2 ln ln ln lim exp{ ( 2 n n n n n n ， 可得 n n n n n n n 2 1 ) 2 2 ln( ln 当 充分大时， ，所以由比较判别法， 2 n ln n ln n n n 收敛， 即 2 3 ln (ln ) ( ( )) n n n n f n 收敛