复旦大学数学科学学院 2010~2011学年第一学期期末考试试卷 口A卷 课程名称:高等数学B(上)课程代码:MATH120003 开课院系 数学科学学院考试形式:闭卷 姓名: 学号 专业: 题目12345678总分 得分 装订线内不要答题 计算题(每小题6分,共36分) 1.求imw2n+sinn 解:y2n-1<√2n+sinn<v2n+1 lim v2n lim v2n+1 n→0 由夹逼定理得,limy2n+sinn=1。 2.求lin In(1+r) I-0 TIn(1+ 解:由 L'Hospital法则,得 n(1+x)-x r→0x+(1+x)ln(1+r 2+ln(1+ 第1页(共5页)
( 题 答 要 不 内 线 订 装 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 复旦大学数学科学学院 2010～2011学年第一学期期末考试试卷 ✷ A 卷 课程名称： 高等数学B(上) 课程代码： MATH120003 开课院系： 数学科学学院 考试形式： 闭卷 姓 名： 学 号： 专 业： 题 目 1 2 3 4 5 6 7 8 总分 得 分 一、计算题(每小题6分，共36分) 1. 求 lim n→∞ √n 2n + sin n 。 解： √n 2n − 1 ≤ √n 2n + sin n ≤ √n 2n + 1, lim n→∞ √n 2n − 1 = 1, lim n→∞ √n 2n + 1 = 1, 由夹逼定理得， lim n→∞ √n 2n + sin n = 1 。 2. 求lim x→0 ln(1 + x) − x x ln(1 + x) 。 解：由L’Hospital法则，得 lim x→0 ln(1 + x) − x x ln(1 + x) = lim x→0 −x x + (1 + x) ln(1 + x) = lim x→0 −1 2 + ln(1 + x) = − 1 2 . 第1页 ( 共 5页)
求由参数方程 3t-t3 2t-t2 所确定的函数y(x)的二阶导数出。 解:女=3=3 ay=是(出)/:=+0 4.求不定积分∫(2+x)1-2dx 解:∫x√1-2d=-/√1-21(1-x2)=-3(1-2)3+C, ∫(2+x)1-x2d 号(1-x2) x2+ arcsinx+C. 5.求不定积分∫sin4xdr 解:由三角函数公式,得 sinad =8/13-4 cos(2 r)+cos(4 c)]d c sin(2r)+ 3 sin(4.)+C 6.求定积分/x1n(1+x)dx 解:由分步积分公式,得 门aln(1+x)d=是2l(1+)-/bd 号ln2-是0bx-1+1+d =ln2-[-号+号m(1+m) 应用计算题(每小题6分,共24分) 第2页(共5页)
3. 求由参数方程 x = 3t − t 3 y = 2t − t 2 所确定的函数y(x)的二阶导数d 2y dx2 。 解：dy dx = 2−2t 3−3t 2 , d 2y dx2 = d dt( dy dx)/ dx dt = −2 9(1+t) 3(1−t) . 4. 求不定积分 R (2 + x) √ 1 − x 2 dx 。 解： R x √ 1 − x 2 dx = − 1 2 R √ 1 − x 2 d(1−x 2 ) = − 1 3 (1−x 2 ) 3 2 +C, R (2 + x) √ 1 − x 2 dx = − 1 3 (1 − x 2 ) 3 2 + x √ 1 − x 2 + arcsin x + C. 5. 求不定积分 R sin4 x dx 。 解：由三角函数公式，得 R sin4 x dx = 1 8 R [3 − 4 cos(2x) + cos(4x)] dx = − 3 8 x − 1 4 sin(2x) + 1 32 sin(4x) + C. 6. 求定积分 R 1 0 x ln(1 + x) dx 。 解：由分步积分公式，得 R 1 0 x ln(1 + x) dx = 1 2 x 2 ln(1 + x)| 1 0 − 1 2 R 1 0 x 2 1+x dx = 1 2 ln 2 − 1 2 R 1 0 [x − 1 + 1 1+x ] dx = 1 2 ln 2 − [ x 2 4 − x 2 + 1 2 ln(1 + x)]| 1 0 = 1 4 . 二、应用计算题(每小题6分，共24分) 第2页 ( 共 5页)
1.求P(1,0,0),P2(0,-4,4)和P3(-5,1,5)构成的三角形的面积。 解:B1P2=(-1,-4,4)B1P3=(-6,1,5) PPXR1P3=(-24,-19,-25),‖PP×B1Pl‖=√1562 三角形的面积为y52 2.求由方程x-y+ SIn y=0所确定的隐函数y(x)在点(0,0)处的 切线方程。 解:1-y+cosy=0,得到y/(0)=2,切线方程为y=2x 3.求由曲线y=x2和直线y=1所围图形绕轴旋转一周,所得旋 转体的体积。 解:广1x(1-x4)dx=5,故所得旋转体的体积为 求方程3x-6x+1=0的实根个数。(需写出详细过程) 解:令f(x)=32-6x+1,f(-∞0)=f(+∞)=+ f(x)=3lm3-6.,从而当x 1h3时r(x)>0.同时f(1)<0.故有2个实根。 三、(每小题5分,共10分) (1)求过点P(0.0),与直线b:==相交,而且与平 面丌:x-y+z+2=0平行的直线方程l1 (2)求直线l绕直线l1旋转一周生成的旋转曲面方程,并指出该曲面 的名称。 解 第3页(共5页)
1. 求P1(1, 0, 0), P2(0, −4, 4)和P3(−5, 1, 5)构成的三角形的面积。 解：P1P2 = (−1, −4, 4), P1P3 = (−6, 1, 5), P1P2 × P1P3 = (−24, −19, −25), kP1P2 × P1P3k = √ 1562 三角形的面积为 √ 1562 2 。 2. 求由方程x − y + 1 2 sin y = 0所确定的隐函数y(x)在点(0, 0)处的 切线方程 。 解：1 − y 0 + 1 2 y 0 cos y = 0, 得到y 0 (0) = 2, 切线方程为y = 2x. 3. 求由曲线y = x 2和直线y = 1所围图形绕x轴旋转一周，所得旋 转体的体积。 解： R 1 −1 π(1 − x 4 ) dx = 8π 5 , 故所得旋转体的体积为8π 5 . 4. 求方程3 x − 6x + 1 = 0的实根个数。(需写出详细过程) 解：令f(x) = 3x − 6x + 1, f(−∞) = f(+∞) = +∞, f 0 (x) = 3x ln 3 − 6, 从而当x ln 6−ln(ln 3) ln 3 时f 0 (x) > 0. 同时f(1) < 0.故有2个实根。 三、(每小题5分，共10分) (1) 求过点P(1, 0, 0)，与直线l0 : x−2 1 = y−3 1 = z−4 2 相交，而且与平 面π : x − y + z + 2 = 0平行的直线方程l1。 (2) 求直线l0绕直线l1旋转一周生成的旋转曲面方程，并指出该曲面 的名称。 解： 第3页 ( 共 5页)
(1)设l1的方向为(X,Y,Z),与平面丌平行,所以有X-Y+Z=0 又1过点P(1,0,0),与直线相交,故 X 0 2-13-04-0 从而 X-Y+Z=0, (-2X-2y+2z2=0 X=0,令Y=1,则Z=1.故直线方程为 l1 (2)直线1与h1相交于P:(1,2,2),l0和1的方向分别为a=(1,1,2) B=(011).由am=過得到a,夹角为设所求旋转曲面 为I,在上任取一点P:(,),则=,故旋转曲面为 锥面,方程为 2(y+z-4)2=3(x-1)2+(y-2)2+(z-2)2 四、(每小题5分,共10分) (1)判别广义积分/厘2(1+c-)d(其中p>0)的敛散性 (2)已知(l)=√示,计算广义积分/√me-d。 解: 第4页(共5页)
(1) 设l1的方向为(X, Y, Z)，与平面π平行，所以有X − Y + Z = 0; 又l1过点P(1, 0, 0)，与直线l0相交，故 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ X Y Z 1 1 2 2 − 1 3 − 0 4 − 0 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = 0; 从而 X − Y + Z = 0, −2X − 2Y + 2Z = 0, X = 0,令Y = 1,则Z = 1. 故直线方程为 l1 : x = 1 y = z. (2) 直线l0与l1相交于P0 : (1, 2, 2), l0和l1的方向分别为α = (1, 1, 2), β = (0, 1, 1)。由 α·β kαkkβk = √ 3 2 得到α, β夹角为π 3 . 设所求旋转曲面 为Γ, 在Γ上任取一点P : (x, y, z), 则 P0P·β kP0Pkkβk = √ 3 2 , 故旋转曲面为 锥面，方程为 2(y + z − 4)2 = 3[(x − 1)2 + (y − 2)2 + (z − 2)2 ]. 四、(每小题5分，共10分) (1) 判别广义积分 R +∞ 0 ln(1+x) x p (1 + e −x ) dx (其中p > 0) 的敛散性。 (2) 已知Γ(1 2 ) = √ π，计算广义积分 R +∞ 0 √ xe−x 3 dx 。 解： 第4页 ( 共 5页)
(1)对于1((1+c-)d,由于当x→0时,中2(1+e-) 2-,故当p1时收敛当p≤1时发散 故当 2时/+1+2(1+e-)d收敛当p≥2或者p≤ 1时/+m+2(1+e-)d发散; 令 d 五、(本题7分)求cos2(sinx)的带 Peano余项的6阶 Maclaurin公式 解:s=x一量++(r) cos=1-+一司+o0() #o cos(sin c)=1-x2+3c-45c+o(r) 六、(本题8分)求lim{(=)+(=)+…+(-)+(=)鬥sin}, 其中p 解:由于in~是,故 im{[(=)+(=)2+…+(-)y2+(=)]sin-} 七、证明题(本题5分)如果0≤p≤1;a≥0.,β≥0,7≥0,而 且a+≥,则a2+P 证明:定义g(x)=x+-(x+),x≥0 有g(x)=plx-1-(x+B)2-1 由于0≤p≤1,x,B≥0,所以g(x)≥0,从而g(a)≥9(0)=0.即 +2≥(a+B)≥ 第5页(共5页)
(1) 对于 R 1 0 ln(1+x) x p (1 + e −x ) dx，由于当x → 0时，ln(1+x) x p (1 + e −x ) ∼ 1 x p−1 , 故当p 1时收敛,当p ≤ 1时发散； 故当1 −1 。 解：由于sin 1 n ∼ 1 n， 故 lim n→∞ {[( 1 n ) p + ( 2 n ) p + · · · + (n − 1 n ) p + (n n ) p ] sin 1 n } = Z 1 0 x p dx = 1 1 + p . 七、证明题(本题5分) 如果0 ≤ p ≤ 1; α ≥ 0, β ≥ 0, γ ≥ 0, 而 且α + β ≥ γ, 则α p + β p ≥ γ p 。 证明: 定义 g(x) = x p + β p − (x + β) p , x ≥ 0. 有 g 0 (x) = p[x p−1 − (x + β) p−1 ]. 由于0 ≤ p ≤ 1, x, β ≥ 0, 所以g 0 (x) ≥ 0, 从而g(α) ≥ g(0) = 0. 即 α p + β p ≥ (α + β) p ≥ γ p . 第5页 ( 共 5页)