复旦大学：《高等数学》课程往年试题（高等数学B）高等数学B（上）-MATH120003.02-05-200902-A答案

复旦大学复旦学院 2009~2010学年第一学期期末考试试卷 國A卷口B卷 课程名称:高等数学B(上 课程代码:MATH120003.02 开课院系:数学科学学院 考试形式:闭卷 姓名 学号: 专业: 题号12345678910总分 得分 、(10分)判断下列叙述是否正确 装订线内不要答题 1.若m(x)=0,则lmf(x)=0 2.初等函数在定义区间内部一定可导 (×) 3.若∫(x)在x处取得极大值或极小值,则∫(x0)=0 4.若f(x)可导,则[f(x)dx=f(x) 5.向量a与b的外积等于以a与b为邻边的平行四边形的面积 、(10分)求下列极限: 1.m?n2 n2+11(5分) 2n2-n+1/n li 1+sinx-I (5分) 、(10分)计算下列微分或导数 设y=ehx,求 解: =e Inx +e-=eInx+ (5分) 求d 解:ydx+xdhy=ex+(dx+d);(3分) (2分)

1 复旦大学复旦学院 2009～2010 学年第一学期期末考试试卷 □√ A 卷 □B 卷 B 一、（10 分）判断下列叙述是否正确： 1．若 lim ( ) 0 0   f x x x ，则 lim ( ) 0 0   f x x x . （ √ ） 2．初等函数在定义区间内部一定可导. （ × ） 3．若 f (x)在 x0处取得极大值或极小值，则 f '(x0 )  0 . （ × ） 4．若 f (x) 可导，则 f '(x)dx  f (x)  . （ × ） 5．向量 a 与 b 的外积等于以 a 与 b 为邻边的平行四边形的面积. （ × ） 二、（10 分）求下列极限： 1． 2 1 2 1/ 1 lim 2 2      n n n n n . （5 分） 2． 2 1 1 1 sin 1 lim 0      x x e x . （5 分） 三、（10 分）计算下列微分或导数： 1．设 y e x x  ln ，求 dx dy . 解：           x e x x e x e dx dy x x x 1 ln 1 ln . （5 分） 2．设 x y xy e   ，求 dy. 解： ydx xdy e (dx dy) x y     ; （3 分） e x dy e y dx x y x y (  )  (  )   , dx e x e y dy x y x y       . （2 分） （ 装 订 线 内 不 要 答 题 ）

四、(10分)求下列不定积分与定积分: (2分) 1+ arc icbc (3分) n(1+x) 解:m+k=x(+x- d=ln2-(x-lh(1+x)6=2h2 (3分) 五、(10分)讨论函数y=x2-1的定义域(1分)、单调性(2分)、极值(1分)、 凸性(2分)、拐点(1分)、渐近线(1分),并作出大致图象(2分) 解:定义域D(y)=(∞0)∪(0,∞) 驻点 拐点(1 x(-x-1/y2)-1/2(-1/v20)0. (1,+∞) 0 极小值 拐点 下凸 32 下凸上凸 下凸 =-∞,x=0是垂直渐近线,没有水平和斜渐近线 作图:

2 四、（10 分）求下列不定积分与定积分： 1．   dx x x 2 1 cos sin . 解：       d x x dx x x cos 1 cos 1 1 cos sin 2 2 （2 分）  arctan(cos x) C （3 分） 2．   1 0 ln(1 x)dx . 解：        1 0 1 0 1 0 ln(1 x)dx x ln(1 x) xdln(1 x) （2 分）           1 0 1 0 ln 2 ( ln(1 )) 2ln 2 1 1 ln 2 dx x x x x （3 分） 五、（10 分）讨论函数 x x y 1 3   的定义域（1 分）、单调性（2 分）、极值（1 分）、 凸性（2 分）、拐点（1 分）、渐近线（1 分），并作出大致图象（2 分）. 解：定义域 D(y)  (,0) (0,) . 2 3 2 1 ' x x y   , 驻点 3 2 1 x   . 3 3 2 2 ' ' x x y   , 拐点(1, 0). x 3 (,1/ 2 ) 3 1/ 2 ( 1/ 2,0) 3  (0,1) 1 (1, ) y'  0 + + + + y' '     0 + y ↘下凸 极小值 2 3 2 3 ↗下凸 ↗上凸 拐点 (1,0) ↗下凸           x x x x x x 1 , lim 1 lim 3 0 0 3 0 0 , x  0 是垂直渐近线, 没有水平和斜渐近线. 作图： 3 1/ 2 1

六、(10分)求y=x2,x=1与x轴所围图形的面积及该图形绕y轴旋转所成旋转 体的体积 解:面积==3(4分) 旋转体积=2nx*x2h=,(6分) 七、(10分)设p20,讨论反常积分 m(x2+1)的敛散性 解: (1分) 积分∫ ln(x2+1) dx当p>1时收敛,当0sp≤1时发散;(4分) 积分/hx2+ 1) dx当p-2<1时收敛,当p-2≥1时发散 (4分) 所以,原积分当1<p<3时收敛,当0≤p≤1和p≥3时发散。(1分) 八、(0分)直线x4y-3=三与直3+3=0 x-y-3=0 否在同一平面上?若是,求 出它们所在的平面方程。若不是,求出与这两条直线相交且与它们都垂直的 直线方程 解:{3x-y-3=0的点向式方程是x=+3=,两条直线的方向向量分别是 y-3+3=0 1=(3,3,-1)和2=(13,P(4,3,0)和P2(O,-3,0)分别是两条直线上的点 由于 (1×l2)PP2 336 12-6+12-18=0,所以,两直线在同一平面上(5分) k 所在平面方程的法向量是示=33-1=6-4+6k=(6-4+6),所以,平面方 程是3x-2(y+3)+3=0,或 3x-2y-3+6=0.(5分) 解2:作平面束3x-y-3+1(y-3x+3)=0,先求此平面束中过点(430)的平面将(4,30) 代入平面束方程解出t=-1,即得平面方程3x-2y+3-6=0.(5分)两条直 线共面当且仅当直线x4=2-3=三落在平面3x-2y+32-6=0上,当且仅当 7=(3,3-1)⊥=(3-2,3).由于7·亓=0→1⊥n,所以给定的二条直线在同一平面 上,(5分)该平面方程是3x-2y+3z-6=0

3 六、（10 分）求 y = x 2， x =1 与 x 轴所围图形的面积及该图形绕 y 轴旋转所成旋转 体的体积. 解：面积 =   1 0 2 3 1 x dx . （4 分） 旋转体体积 = 2 2 1 0 2      x x dx . （6 分） 七、（10 分）设 p  0 ，讨论反常积分    0 2 ln( 1) dx x x p 的敛散性. 解：           1 0 2 1 2 0 2 ln( 1) ln( 1) ln( 1) dx x x dx x x dx x x p p p . （1 分） 积分    1 2 ln( 1) dx x x p 当 p 1 时收敛，当 0  p 1 时发散; （4 分） 积分  1  0 2 ln( 1) dx x x p 当 p  2 1 时收敛，当 p  2 1 时发散。 （4 分） 所以，原积分当 1 p  3 时收敛，当 0  p 1 和 p  3 时发散。 （1 分） 八、（10 分）直线 3 1 3 3 4     x  y z 与直线          3 3 0 3 3 0 y z x y 否在同一平面上？若是，求 出它们所在的平面方程。若不是，求出与这两条直线相交且与它们都垂直的 直线方程. 解：          3 3 0 3 3 0 y z x y 的点向式方程是 z y x    3 3 , 两条直线的方向向量分别是 (3,3, 1) l1    和 (1, 3,1) l2   , (4,3,0) P1 和 (0, 3,0) P2  分别是两条直线上的点. 由于 12 6 12 18 0 4 6 0 1 3 1 3 3 1 ( ) 1 2 1 2       l  l  P P    , 所以，两直线在同一平面上.（5 分） 所在平面方程的法向量是 6 4 6 (6, 4, 6) 1 3 1  3 3 1  i  j  k    i j k n        , 所以, 平面方 程是 3x  2(y  3)  3z  0 , 或 3x  2y  3z  6  0 . （5 分） 解 2：作平面束 3x y 3t(y 3z 3)  0 ，先求此平面束中过点 (4,3,0) 的平面. 将 (4,3,0) 代入平面束方程解出 t  1 ，即得平面方程 3x2y 3z 6  0 . （5 分）两条直 线共面当且仅当直线 3 1 3 3 4     x  y z 落在平面 3x2y 3z 6  0 上，当且仅当 l  (3,3,1)  n  (3,2,3)   . 由于 l n  0   l n     , 所以给定的二条直线在同一平面 上，（5 分）该平面方程是 3x2y 3z 6  0

九、(10分)设函数∫在区间[AB]连续(没有假定∫可导),A<a<b<B,求 lim[/(x+h)-/(x)dx h 解:(已=如[/+-/(x[广// (4分) 由于f连续,[f(x)x关于变量h可导,利用 Hospital i法则,得到 B”,(x)-(减=m(b+1)-/a+=(b)-f(a) (4分) lim[b/(r+h) dx=f(b)-f(a).(2分) h 、(10分)设在区间上连续,且/(xk=0,列(xk=0,∫x/)k=1, 证明在0,上至少存在一点使得|(≥12 证:(x=2)((h(+)=,(4分) 反证:如果不存在5∈[0,使得(5)212,则对任意x∈0,|f(x)k12(2分) 因此 [-2/p2(+gh=4x=2y1盾(4分)

4 九、（10 分）设函数 f 在区间[A,B]连续（没有假定 f 可导），A < a < b < B，求     b h a dx h f (x h) f (x) lim 0 . 解：                          b a b h h a h b a b h a b h a f x dx f x dx h f x h dx f x dx h dx h f x h f x ( ) ( ) 1 ( ) ( ) lim 1 lim ( ) ( ) lim 0 0 0 （4 分）. 由于 f 连续,    b h a h f (x)dx 关于变量 h 可导, 利用 l’Hospital 法则, 得到 ( ) ( ) lim[ ( ) ( )] ( ) ( ) 1 lim 0 0 f x dx f x dx f b h f a h f b f a h h b a b h h a h                  . （4 分） 因此： ( ) ( ) ( ) ( ) lim 0 dx f b f a h b f x h f x h a       . （2 分） 十、（10 分）设 f 在区间[0, 1]上连续，且   1 0 f (x)dx 0 ，  1 0 xf (x)dx 0，  1 0 2 x f (x)dx 1， 证明在[0, 1]上至少存在一点 ξ 使得 f ()  12 . 证：          1 0 1 0 1 0 1 0 2 2 ( ) 1 4 1 ) ( ) ( ) ( ) 2 1 (x f x dx x f x dx xf x dx f x dx , （4 分） 反证：如果不存在  [0,1] 使得 f ()  12 , 则对任意 x[0,1], | f (x)|12 （2 分）. 因此            1 0 1 0 1 0 2 2 3 1 0 2 ) 1 2 1 ) 4( 2 1 ) ( ) 12 ( 2 1 ) ( ) ( 2 1 (x f x d x x f x d x x d x x . 矛盾. （4 分）