复旦大学数学科学学院 2015~2016学年第一学期期末考试试卷 A卷 课程名称:《高等数学B(I)》 课程代码:MATH20003 开课院系: 数学科学学院 考试形式:闭卷 姓名: 学号: 专业: 题号1284567总分 得分 (本题满分40分,每小题5分)计算下列各题: (1)确定常数b,使得直线y=9x+b为曲线y=x3-3x的切线; 装订线内不要答题 (2)求极限lim ln(x2+3x+1) ln(x3+2x+1)
1 复旦大学数学科学学院 2015～2016 学年第一学期期末考试试卷 A 卷 数学科学学院 1．（本题满分 40 分，每小题 5 分）计算下列各题： （1）确定常数 b，使得直线 y x b 9 为曲线 3 y x x 3 的切线； （2）求极限 2 3 ln( 3 1) lim ln( 2 1) x x x x x ； （ 装 订 线 内 不 要 答 题 ）
(3)求函数f(x)=(x+1)hn(x+1)的单调区间和极值 (4)求不定积分= (5)设∫(x)= 0≤x≤1, 求「。f(x-2)e-dx; 1< 2
2 （3）求函数 f x x x ( ) ( 1)ln( 1) 的单调区间和极值； （4）求不定积分 4 d 4 x x x ； （5）设 , 0 1, ( ) 2 , 1 , x x f x x x 求 4 2 ( 2)e dx f x x ；
(6)问反常积分(x+2+x dx是否收敛?请说明理由 (7)求矩阵-25-4的逆矩阵 (8)求经过原点,且与两平面x+2y+3z-13=0和3x+y-z-1=0都垂直的平面的 方程
3 （6）问反常积分 3 1 3 cos d ( 2e ) 1 x x x x x 是否收敛？请说明理由； （7）求矩阵 1 4 6 2 5 4 1 2 1 的逆矩阵； （8）求经过原点，且与两平面 x 2y 3z 13 0 和 3x y z 1 0 都垂直的平面的 方程
2.(本题满分10分)问方程2x3-3x2+=0有几个实根?请说明理由 3.(本题满分10分)要制作一个体积为V的圆柱形无盖铁桶,问如何确定其底面半 径和高才能用料最省?
4 2．（本题满分 10 分）问方程 3 2 1 2 3 0 2 x x 有几个实根？请说明理由。 3．（本题满分 10 分）要制作一个体积为 V 的圆柱形无盖铁桶，问如何确定其底面半 径和高才能用料最省？
4.(本题满分10分)设函数∫在(-∞,+∞)上有连续二阶导数,且满足方程 xf(x)=f(x)+140x。 (1)求f(x)的表达式 2)问曲线y=f(x)是否有拐点?请说明理由。 (3)是否存在函数f,它在开区间(0,1)上大于零,并满足上面的方程,且曲线 y=f(x)(x∈[O,1)与直线x=1和y=0所围的图形D的面积为2?请说明理由
5 4．（本题满分 10 分）设函数 f 在 ( , ) 上有连续二阶导数，且满足方程 6 x f x f x x ( ) ( ) 140 。 （1）求 f (x) 的表达式； （2）问曲线 y f x ( ) 是否有拐点？请说明理由。 （3）是否存在函数 f ，它在开区间 (0, 1) 上大于零，并满足上面的方程，且曲线 y f (x) （ x[0,1] ）与直线 x 1 和 y 0 所围的图形 D 的面积为 2？请说明理由
5.(本题满分10分)证明:当x>0时成立 ln(1+ 6.(本题满分10分)证明:「1+sinx (n=1,2,…); (2)求极限lim[1+ sin=x dx 6
6 5．（本题满分 10 分）证明：当 x 0 时成立 1 1 1 2 3 4 ln 1 2 3 4 x x x x x 。 6．（本题满分 10 分）证明： 1 1 0 π 2 1 1 sin d 2 1 n n x x n （ n 1, 2, ）； （2）求极限 1 1 0 π lim 1 sin d 2 n n n x x
7.(本题满分10分)设过点(1c,)的直线L的方程为{+y+=°,其中c为实 +c2 (1)求直线L的对称式方程 (2)当c连续变化时,L随之移动而生成曲面∑,求曲面∑与平面z=t的交线的 方程,其中t为常数 (3)求由曲面∑,平面z=0和z=1所围立体的体积。 7
7 7．（本题满分 10 分）设过点 ( 1, , ) c c 的直线 L 的方程为 , 1, cx y z c x cy cz 其中 c 为实 数。 （1）求直线 L 的对称式方程； （2）当 c 连续变化时，L 随之移动而生成曲面 ，求曲面 与平面 z t 的交线的 方程，其中 t 为常数； （3）求由曲面 ，平面 z 0 和 z 1 所围立体的体积
