复旦大学数学科学学院 2015~2016学年第二学期期末考试试卷 A卷参考答案 1课程名称:高等数学B课程代码:MTH12004 1开课院系:数学科学学院考试形式:闭卷 ∴计算和简答(6分×8=48分) 11.设z=xyf(2x+3y),其中f(t)为一元二阶可导函数,求和 1=y(f(2x+3y)+2xf(2x+3y) a=f(2x+3y)+(2x+3y)f(2x+3y)+6xyf"(2x+3y) 铷长 2.求曲面z3=2xyz-a3和曲面x2=3(xy+yz)的交线在点A(a,a,a)处的切线方 程(a≠0为常数)。 设F(x,y2)=z2-2x+a3,(E,F,E儿 iG(x,y, z)=x2-5(xy+yz),(G, Gy, G2)=Ga,-a,a) 交线在A点的切向为(2-21x1=2=(2,5 所求切线方程: y-a 13.设(x)=y,求(xldx So f(x)dx=Jo dx fo e- dy=So dyS 14.求z=x3+2xy-y3的极大值和极小值 驻点(0P2(33),B(P)=(3),B()=(24 P1不是极值点,P2是极小值点。z(xy)无极大值,极小值为 1/5
1 / 5 复旦大学数学科学学院 2015～2016 学年第二学期期末考试试卷 A 卷 参考答案 课程名称： 高等数学 B 课程代码： MATH120004 开课院系： 数学科学学院 考试形式： 闭卷 一. 计算和简答（6 分×8=48 分） 1. 设𝑧 = 𝑥𝑦𝑓(2𝑥 + 3𝑦), 其中𝑓(𝑡)为一元二阶可导函数，求 ∂z ∂x 和 ∂ 2z ∂x ∂y ∂z ∂x = 𝑦( 𝑓(2𝑥 + 3𝑦) + 2𝑥𝑓 ′ (2𝑥 + 3𝑦) ) ∂ 2z ∂x ∂y = 𝑓(2𝑥 + 3𝑦) + (2x + 3y)𝑓′(2𝑥 + 3𝑦) + 6𝑥𝑦𝑓′′(2𝑥 + 3𝑦) 2. 求曲面z 3 = 2xyz − 𝑎 3 和曲面x 2 = 1 2 (𝑥𝑦 + 𝑦𝑧)的交线在点 A(𝑎，𝑎 ，𝑎 )处的切线方 程(𝑎 ≠ 0 为常数)。 设 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = z 3 − 2xyz + 𝑎 3 , (𝐹𝑥 ′ , 𝐹𝑦 ′ , 𝐹𝑧 ′ )| 𝐴 = (−2𝑎 2 , −2𝑎 2 , 𝑎 2 ) 设 𝐺(𝑥, 𝑦, 𝑧) = x 2 − 1 2 (𝑥𝑦 + 𝑦𝑧) , (𝐺𝑥 ′ , 𝐺𝑦 ′ , 𝐺𝑧 ′ )| 𝐴 = ( 3 2 𝑎, −𝑎, − 1 2 𝑎) 交线在 A 点的切向为：(−2， − 2，1) × ( 3 2 , −1, − 1 2 ) = （2， 1 2 ，5） 所求切线方程：𝑥−𝑎 4 = 𝑦 − 𝑎 = 𝑧−𝑎 10 3. 设f(x) = ∫ 𝑒 −𝑦 𝑦−1 𝑑𝑦 𝑥 0 ，求∫ f(x)𝑑𝑥 1 0 ∫ f(x)𝑑𝑥 1 0 =∫ 𝑑𝑥 ∫ 𝑒 −𝑦 𝑦−1 𝑑𝑦 𝑥 0 1 0 =∫ 𝑑𝑦 ∫ 𝑒 −𝑦 𝑦−1 𝑑𝑥 1 𝑦 1 0 = 𝑒 −1 − 1 4. 求𝑧 = 𝑥 3 + 2xy − 𝑦 3 的极大值和极小值。 驻点𝑃1 (0,0)，𝑃2 ( 2 3 , 2 3 ) , 𝐻(𝑃1 ) = ( 0 2 2 0 ) , 𝐻(𝑃2 ) = ( 4 2 2 4 ) 𝑃1不是极值点，𝑃2是极小值点。 𝑧(x, y)无极大值，极小值为 − 8 27 姓名： 学号： 专业： （ 装 订 线 内 不 要 答 题 ）
5.求n(x+y) dxdydz其中9=(xy2)lx2+y2+z2sR2,y≥0z≥0 (x t y)dxdydz= I 8 n+(-3) 6.级数 5 是否收敛?如果收敛求其和。 (-3) 级数 是公比为一3的等比级数,故收敛,其和为-3 n+1 级数∑是正项级数,且1im52=1<1,故收敛,其和为5 (-3) n+(-3) n=1 5 n+(-3) 则级数 收敛,其和为 将函数f(x)=a-2x(丌≤x<2)展开成周期为2n的余弦级数,并求 1 (2k-1)2 f(x)按周期为2m的偶函数延拓成: 丌+÷xx∈[0,丌) f(x)是(-∞,+∞)上的连续函数 丌-xx∈[-,0) 7(-x+2x) an=/(-m+2x) 0 n为偶数 cosnxdx cost n=2k-1 =1(2k-1)2cOs(2k-1)x (2k-1
2 / 5 5. 求∭ (x + y)dxdydz, 其中 Ω = *(x, y, z)|x 2 + y 2 + z 2 ≤ R 2 , y ≥ 0, z ≥ 0+ Ω ∭(x + y)dxdydz = Ω 1 8 𝜋𝑅 4 6. 级数 1 5 ( 3) n n n n 是否收敛？如果收敛求其和。 级数 1 5 ( 3) n n n 是公比为− 3 5 的等比级数，故收敛，其和为− 3 8 级数 n 1 5 n n 是正项级数, 且 1 5 1 5 5 1 lim 1 n n n n n ,故收敛，其和为 5 16 1 5 ( 3) n n n + n 1 5 n n = 1 5 ( 3) n n n n 则级数 1 5 ( 3) n n n n 收敛， 其和为− 1 16 7. 将函数 f(x) = 7 8 𝜋 − 1 2 𝑥 ( 𝜋 ≤ 𝑥 < 2𝜋 ) 展开成周期为2𝜋 的余弦级数，并求 1 2 (2 1) 1 k k 。 f(x)按周期为2π 的偶函数延拓成： f(x) = { − 1 8 𝜋 + 1 2 𝑥 𝑥 ∈ ,0，𝜋) − 1 8 𝜋 − 1 2 𝑥 𝑥 ∈ ,−𝜋, 0) f(x) 是(-∞, +∞)上的连续函数 a0 = 2 𝜋 ∫ (− 1 8 𝜋 + 1 2 𝑥) 𝑑𝑥 = 1 4 𝜋 𝜋 0 a𝑛 = 2 𝜋 ∫ (− 1 8 𝜋 + 1 2 𝑥) 𝑐𝑜𝑠𝑛𝑥𝑑𝑥 = 1 𝑛2 𝜋 𝑐𝑜𝑠𝑛𝑥| 0 𝜋 𝜋 0 = { 0 𝑛为偶数 − 2 𝜋(2𝑘−1) 2 𝑛 = 2𝑘 − 1 f(x)~ 1 8 𝜋 − 2 𝜋 ∑ 1 (2𝑘−1) 2 ∞ 𝑘=1 cos(2𝑘 − 1)𝑥 , 1 2 (2 1) 1 k k = 1 8 𝜋 2
x2+y2≠0 8.函数f(xy)= 在(0,0)是否可微 fx(0,0)=0,fy(0.0)=0 f(x,△y)-f(0,0)-f(0,0)-f(0,0) Ax△y △x-+△y y2->0△x+△y 极限不存在,故f(xy)在(0,0)不可微 二(10分)求积分Jn(x+y)dxdy,其中Ω是直线y=xy=2x,x+y=1 和x+y=3所围成的区域 作变换 t=x+y x+y=t D(S, t) x+y(1+s)2 D(x,y) t Jo (x+y)dxdy =f ds f(t alez)dt= (10分)求级数 的收敛域与和函数。 收敛半径R=3,收敛域为[-2,4) X 当x≠1时,(x-1)s(x)= 3 ln(1+ 3)=1n3-1n(4-x) 1 和函数s(x) n3-n(4-x) x∈[-24),x≠1 3/5
3 / 5 8. 函数f(x, y) = { xy √x 2+y 2 x 2 + y 2 ≠ 0 0 x 2 + y 2 = 0 在(0,0 )是否可微？ f ′ 𝑥 (0,0) = 0, f ′ 𝑦 (0,0) = 0 2 2 0 2 2 x y 0 2 2 2 2 lim ( , ) (0,0) (0,0) - (0,0) lim x y x y x y f x y f f f x y x y 极限不存在，故f(x, y) 在(0,0 )不可微 二. (10 分 ) 求积分 ∬ (x + y) 2dxdy Ω , 其 中 Ω 是直线𝑦 = 𝑥, 𝑦 = 2𝑥, x + y = 1 ， 和 x + y = 3 所围成的区域 作变换 { 𝑠 = y x t = x + y { 𝑥 = t 1+s x + y = t 𝐷(𝑠,𝑡) 𝐷(𝑥,𝑦) = − 𝑥+𝑦 𝑥 2 = - (1+𝑠) 2 𝑡 ∬ (x + y) 2dxdy Ω =∫ 𝑑𝑠 ∫ ( 𝑡 2 × 𝑡 (1+𝑠) 2 )𝑑𝑡 3 1 2 1 = 10 3 三. (10 分) 求级数 1 1 ( 1) 3 1 n n n x n 的收敛域与和函数。 收敛半径 R=3， 收敛域为 [2,4) 当x = 1 时，s(x) = 1 3 当x ≠ 1 时，(x − 1)s(x) = 1 3 1 ( 1) n n n x n = n n n x n 1 1 3 ( 1) 1 = ) 3 1 ln(1 x =ln 3 ln(4 x) 和函数 s(x) = { 1 3 𝑥 = 1 𝑙𝑛3−ln(4−𝑥) 𝑥−1 𝑥 ∈ ,−2,4), 𝑥 ≠ 1
四.(10分)设由函数y=fx)(在(_∞,)上二阶连续可导)所确定的曲线在x=0处 的切线方程为y=x-1,且满足2-40f(dt=2,求曲线的方程 f(x)-4Af(t)dt =ezx 两边关于x求导得:f-4f(x)=2e2x y"-4y=2e 问题化为:y(0)=-1 y(0)=1 齐次方程的通解为:C1e2x+C2e-2x 非齐次方程的通解为:C1e2x+C2e-2x+xe2x 所求曲线的函数为:f(x)=-3e2x-5e-2x+1xe2x 五.(10分)求曲面x2+(y-x)2+z2=4离原点最远和最近的距离。 曲面上任一点(x,y,z)到原点的距离为d=√x2+y2+z2 问题化为条件极值问题:目标函数f(xy,z)=x2+y2+z2 t.x2+(y-x)2+z2=4 作L(x,y,z,1)=x2+y2+z2+(x2+(y-x)2+z2-4) L'V=0 由 Lz2=0 得 L=O u=-1,x=0,y=0,2=±2,f(x,y,z)=4 1±√5 z=0,= y,f(x,y,z)=(√5±1) z=0且μ=-1,无解 所以最远距离为:√5+1 最近距离为:√5-1
4 / 5 四. (10 分) 设由函数y = f(x)（在(−∞, ∞)上二阶连续可导）所确定的曲线在x = 0处 的切线方程为y = x − 1, 且满足 𝑑𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 − 4 ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 𝑥 0 = 𝑒 2𝑥 , 求曲线的方程. f′(x) − 4 ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 𝑥 0 = 𝑒 2𝑥 两边关于 x 求导得：𝑓′′ − 4f(x) = 2𝑒 2𝑥 问题化为：{ 𝑦′′ − 4y = 2𝑒 2𝑥 𝑦(0) = −1 𝑦 ′ (0) = 1 齐次方程的通解为：𝐶1e 2x + 𝐶2e −2x 非齐次方程的通解为：𝐶1e 2x + 𝐶2e −2x + 1 2 𝑥e 2x 所求曲线的函数为：𝑓(𝑥) = − 3 8 e 2x − 5 8 e −2x + 1 2 𝑥e 2x 五. (10 分) 求曲面 𝑥 2 + (𝑦 − 𝑥) 2 + 𝑧 2 = 4 离原点最远和最近的距离。 曲面上任一点 (𝑥, 𝑦, 𝑧) 到原点的距离为 d = √𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 问题化为条件极值问题：目标函数 f(x, y, z) = 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 s.t. 𝑥 2 + (𝑦 − 𝑥) 2 + 𝑧 2 = 4 作 𝐿(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝜇) = 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 + 𝜇(𝑥 2 + (𝑦 − 𝑥) 2 + 𝑧 2 − 4 ) 由 { 𝐿′ 𝑥 = 0 𝐿′ 𝑦 = 0 𝐿′ 𝑧 = 0 𝐿′ 𝜇 = 0 得: { μ = −1, 𝑥 = 0, 𝑦 = 0, 𝑧 = ±2, 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 4 𝑧 = 0, 𝜇 = −3±√5 2 , 𝑥 = −1±√5 2 𝑦 , 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (√5 ± 1) 2 𝑧 = 0 且 μ = −1，无解 所以 最远距离为 ：√5 + 1 最近距离为 ：√5 − 1
六.(12分)一蓄水池内有含盐100kg的200升盐水。如果从某时刻起,以6升/ 分钟的速度向蓄水池中注入每升含盐2kg的盐水,同时以4升/分钟的速度从蓄水池流 出浓度均匀的盐水。(假设在混合过程中盐水的体积不变) )求蓄水池中盐水的体积随时间变化的函数;2)求60分钟后蓄水池中盐的含量。 1)设盐水的体积为L(t),t为时间变量,单位分钟 L(t)=200+2t,t≥0 2)解法一 设t时刻蓄水池中盐水的浓度为x(t) 从t到t+△t蓄水池中盐量的变化: L(t+△t)x(t+△t)-L(t)x(t)=2×(6△t)-x(t+△t)(4△t), 0≤≤1,Δt→0 可得方程:(200+2tx'(t)=12-6x(t) 问题化为:{x(t)+-3x(t)=101 100+t x(0)=0.5 解得x(t)=2 3×100 2(100+ 盐量s(t)=L(t)x(t)=4(100+t) 3×100 2(100+t)2 s(60)=5228125kg 解法二 设t时刻蓄水池中盐量为s(t) 从t到t+Δt蓄水池中盐量的变化: t+△t)-s(t)=2×(6△t) L(+6(4△)0≤6≤1,△t→0 问题化为:s()+m+x()=12 s(0)=100 解得S(t)=4(00+0)-20102,s(60=5228125g 5/5
5 / 5 六. (12 分) 一蓄水池内有含盐 100kg 的 200 升盐水。 如果从某时刻起， 以 6 升/ 分钟的速度向蓄水池中注入每升含盐 2kg 的盐水, 同时以 4 升/分钟的速度从蓄水池流 出浓度均匀的盐水。（假设在混合过程中盐水的体积不变） 1）求蓄水池中盐水的体积随时间变化的函数； 2）求 60 分钟后蓄水池中盐的含量。 1）设盐水的体积为 L(t), t 为时间变量，单位分钟 L(t) = 200 + 2t , t ≥ 0 2) 解法一 设 t 时刻蓄水池中盐水的浓度为𝑥(𝑡) 从 t 到 t + ∆𝑡 蓄水池中盐量的变化： 𝐿( t + ∆𝑡)𝑥( t + ∆𝑡) − 𝐿(𝑡)𝑥(𝑡) = 2 × (6∆𝑡) − 𝑥(𝑡 + 𝜃∆𝑡)(4∆𝑡), 0 ≤ θ ≤ 1 , ∆𝑡 → 0 可得方程：(200 + 2t)x ′ (t) = 12 − 6x(𝑡) 问题化为：{ 𝑥 ′ (𝑡) + 3 100+𝑡 𝑥(𝑡) = 6 100+𝑡 𝑥(0) = 0.5 解得𝑥(𝑡) = 2 − 3×1003 2(100+𝑡) 3 盐量𝑠(𝑡) = 𝐿(𝑡)𝑥(𝑡) = 4(100 + 𝑡) − 3×1003 2(100+𝑡) 2 , s(60) = 522.8125kg 解法二 设 t 时刻蓄水池中盐量为𝑠(𝑡) 从 t 到 t + ∆𝑡 蓄水池中盐量的变化： 𝑠( t + ∆𝑡) − 𝑠(𝑡) = 2 × (6∆𝑡) − 𝑠(𝑡+𝜃∆𝑡) 𝐿(𝑡+𝜃∆𝑡) (4∆𝑡),0 ≤ θ ≤ 1, ∆𝑡 → 0 问题化为：{ 𝑠 ′ (𝑡) + 2 100+𝑡 𝑥(𝑡) = 12 𝑠(0) = 100 解得𝑠(𝑡) = 4(100 + 𝑡) − 300×1002 2(100+𝑡) 2 , 𝑠(60) = 522.8125kg