复旦大学数学科学学院 2016~2017学年第一学期期末考试试卷 口A卷 课程名称:高等数学B(上)课程代码:MATH120003 开课院系:数学科学学院考试形式 闭卷 题目一二三四五六七总分 得分 装订线内不要答题 计算题(每小题6分,共48分) 1.求极限lim/11 2n-1 3.2n-1 2求极限im=1-2 第1页(共9页)
( 题 答 要 不 内 线 订 装 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 复旦大学数学科学学院 2016～2017学年第一学期期末考试试卷 ✷ A 卷 课程名称： 高等数学B（上） 课程代码： MATH 120003 开课院系： 数学科学学院 考试形式： 闭卷 题 目 一 二 三 四 五 六 七 总分 得 分 一、计算题(每小题6分，共48分) 1. 求极限 lim n→+∞ ( 1 3 + 1 2 + · · · + 2n − 1 3 · 2 n−1 ) . 2. 求极限 lim x→0 e x−sin x−cos x 1− √ 1−x 2 . 第1页 ( 共 9页)
3.求极限1imex/1-x-3)a 4.设y=Ve√r√x.求y 第2页(共9页)
3. 求极限 lim x→+∞ e x 1 3 ( 1 − x − 1 3 )x 2 3 . 4. 设 y = √ e 1 x √ x √ cos x. 求 y ′ . 第2页 ( 共 9页)
5.求不定积分∫ sec r tan2rdr 装订线内不要答题 6.求定积分门:xmxm 第3页(共9页)
( 题答要不内线订装) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. 求不定积分 ∫ sec x tan 2 xdx. 6. 求定积分 ∫ e 12 e 14 dx x √ ln x(1 −ln x ). 第3页 ( 共 9 页 )
求定积分m+2,b>0 8.求点(0,4,2)到直线==的距离 第4页(共9页)
7. 求定积分 ∫ 1 0 dx (x 2+b 2) 3 2 , b > 0. 8. 求点 (0, 4, 2) 到直线 x+1 1 = y−1 2 = z 4 的距离. 第4页 ( 共 9页)
二、(本题满分8分)求函数y=(x-2)(x+1)3的极值 三、(本题满分8分)设0<a<b.证明至少存在一点c∈(a,b)使 装订线内不要答题 得 sin- sin a cos c b2-a2 第5页(共9页)
( 题 答 要 不 内 线 订 装 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 二、（本题满分8分） 求函数 y = (x − 2)(x + 1) 2 3 的极值. 三、（本题满分8分）设 0 < a < b. 证明至少存在一点 c ∈ (a, b) 使 得 sin b − sin a b 2 − a 2 = cos c 2c . 第5页 ( 共 9页)
四、(本题满分8分)记在直角坐标系中过点(1,0,0)和(-1,2,2)的 直线绕z轴旋转一周所得的旋转曲面为S.求由S及两平面z=0, z=1所围成的立体的体积 第6页(共9页)
四、（本题满分8分） 记在直角坐标系中过点 (1, 0, 0) 和 (−1, 2, 2) 的 直线绕 z 轴旋转一周所得的旋转曲面为 S. 求由 S 及两平面 z = 0 , z = 1 所围成的立体的体积. 第6页 ( 共 9页)
五、(本题满分8分)已知 02-2 求A 装订线内不要答题 第7页(共9页)
( 题 答 要 不 内 线 订 装 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 五、（本题满分8分） 已知 A ∗ = 1 −2 1 0 2 −2 −1 2 1 , 求 A . 第7页 ( 共 9页)
六、(本题满分10分)证明: r tan cd r Jo r tan adx o tan cdz=167 第8页(共9页)
六、（本题满分10分） 证明： 1. ∫ π 4 0 x tan xdx < π 2 32 . 2. ∫ π 4 0 x tan xdx ≥ π 8 ∫ π 4 0 tan xdx = ln 2 16 π. 第8页 ( 共 9页)
七、(本题满分10分)记 d 3, k 并定义n+1阶行列式 Dn=det(m1-1.-1),k=1…,n+1, 以及qo(x)=1, 20.0m70,1 no k 1 det k mk-1,0m1k-1,1 mk-1, k 装订线内不要答题 证明 1.Dn=Ik=0(k!)2.(注:0!=1) 2.若k≥1,则 gu(a)qi (a) 1,2,,k-1 第9页(共9页)
( 题 答 要 不 内 线 订 装 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 七、（本题满分10分） 记 mj,k = ∫ +∞ 0 x j+k e −x dx, j, k = {0, 1, 2, . . .}, 并定义n + 1阶行列式 Dn = det(mj−1,k−1)j,k=1,...,n+1, 以及 q0(x) = 1, qk(x) = 1 Dk−1 det m0,0 m0,1 · · · m0,k . . . . . . . . . . . . mk−1,0 mk−1,1 · · · mk−1,k 1 x · · · x k , k ≥ 1. 证明： 1. Dn = ∏n k=0(k!)2 . (注: 0! = 1) 2. 若 k ≥ 1, 则 ∫ +∞ 0 qk(x)qi(x)e −x dx = 0, i = 0, 1, 2, . . . , k − 1. 第9页 ( 共 9页)